Mathematics (Literary) Tawjihi cheat sheet 2026

حل معادلة خطية بمتغير واحد

إتقان تحويل المسائل اللفظية إلى معادلات جبرية على الصورة أ س + ب = 0 وحلها باستخدام الخصائص الجبرية.

تعريف المعادلة الخطية

• الصورة العامة: ax + b = 0
• الشرط الأساسي: a, b R و a 0
• المتغير: x (أو س) مرفوع للقوة 1 فقط.

حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين

دليل شامل لحل الأنظمة الخطية باستخدام طريقتي التعويض والحذف مع التركيز على النمذجة الرياضية والتحقق من النتائج.

طريقة التعويض

• الخطوة 1: جعل أحد المتغيرين موضوعاً للقانون في إحدى المعادلتين (مثال: ص = 3 + س).
• الخطوة 2: تعويض قيمة المتغير في المعادلة الأخرى.
• الخطوة 3: حل المعادلة الناتجة بمتغير واحد.
• الخطوة 4: إيجاد قيمة المتغير الثاني بالتعويض في المعادلة الأصلية.

حل نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين باستخدام الرسم البياني

حل نظام المعادلات بيانياً يعني إيجاد نقطة تقاطع المستقيمين الممثلين للمعادلتين على المستوى الديكارتي، حيث تمثل هذه النقطة الزوج المرتب (س، ص) الذي يحقق المعادلتين معاً.

خطوات الحل العملي

• 1. إنشاء جدول قيم لكل معادلة (اختيار قيم لـ س وإيجاد ص).
• 2. رسم المستقيمين على المستوى الديكارتي.
• 3. تحديد نقطة التقاطع (س، ص).
• 4. التحقق من صحة الحل ← تعويض قيم (س، ص) في المعادلتين الأصليتين.

حل نظام من معادلتين: إحداهما خطية، والأخرى تربيعية

تعتمد استراتيجية حل الأنظمة غير الخطية على عزل متغير في المعادلة الخطية والتعويض به في المعادلة التربيعية لإيجاد نقاط التقاطع.

خطوات الحل الجبري (طريقة التعويض)

• الخطوة 1: اجعل أحد المتغيرين (س أو ص) موضوعاً للقانون في المعادلة الخطية.
• الخطوة 2: عوّض المقدار الناتج في المعادلة التربيعية.
• الخطوة 3: حل المعادلة الناتجة (بمتغير واحد) لإيجاد قيم المتغير.
• الخطوة 4: عوّض القيم الناتجة في المعادلة الخطية لإيجاد قيم المتغير الآخر.

حل نظام من متباينتين خطيتين بمتغيرين بيانياً

تحديد منطقة الحل المشتركة لنظام متباينات خطية من خلال التمثيل البياني الدقيق للمستقيمات الحدودية وتظليل مناطق الحل.

خطوات الحل (الخوارزمية)

• 1. رسم المستقيم الحدودي: ax + by = c باستخدام جدول قيم.
• 2. تحديد منطقة الحل: اختيار نقطة اختبار وتعويضها في المتباينة.
• 3. التظليل: تظليل المنطقة التي تحقق المتباينة.
• 4. التقاطع: منطقة الحل المشتركة لنظام المتباينات هي المنطقة المظللة مرتين.

تطبيقات عملية (البرمجة الخطية)

استراتيجية منهجية لتحويل المسائل الحياتية إلى نماذج رياضية وإيجاد القيم المثلى (العظمى/الصغرى) باستخدام رؤوس منطقة الحل.

خطوات الحل (خوارزمية البرمجة الخطية)

• تحديد المتغيرات ← (س، ص) تمثل الكميات المجهولة.
• صياغة القيود ← تحويل الشروط اللفظية إلى نظام متباينات.
• تمثيل منطقة الحل ← رسم المتباينات وتظليل المنطقة المشتركة.
• تحديد الرؤوس ← إيجاد نقاط تقاطع المستقيمات (المناطق المتطرفة).

البحث العلمي

البحث العلمي هو عملية منظمة وموضوعية تهدف إلى إيجاد حلول للمشكلات من خلال خطوات منهجية تبدأ بتحديد المشكلة وتنتهي بالتوصيات.

خطوات البحث العلمي (بالترتيب)

• 1. تحديد المشكلة والأهداف ← القراءة والاطلاع الميداني.
• 2. صياغة الفرضيات ← استنتاجات أو تخمينات مؤقتة.
• 3. جمع المعلومات ← استخدام أدوات (المقابلة، الاستبانة، الملاحظة).
• 4. تحليل البيانات ← الوصول إلى النتائج والتوصيات.

العينات الإحصائية

دليل شامل للتمييز بين أساليب جمع البيانات واختيار العينات الإحصائية لضمان دقة البحث العلمي.

أنواع العينات الاحتمالية

• العشوائية البسيطة: فرص متساوية لكل فرد (طريقة القرعة أو جداول الأرقام العشوائية).
• العشوائية الطبقية: تقسيم المجتمع لطبقات غير متجانسة ثم اختيار عينة من كل طبقة. القانون: عدد أفراد العينة في الطبقة = عدد أفراد الطبقةعدد أفراد المجتمع × حجم العينة.
• العشوائية المنتظمة: اختيار مفردات بترتيب معين بعد اختيار نقطة بداية عشوائية. المسافة الثابتة k = عدد أفراد المجتمعحجم العينة.

المتغير العشوائي

دراسة المتغير العشوائي كقيمة عددية مرتبطة بنتائج تجربة عشوائية، مع التركيز على شروط التوزيع الاحتمالي.

التوزيع الاحتمالي وخصائصه

• التوزيع الاحتمالي: مجموعة قيم المتغير العشوائي (س) مع احتمالاتها ل(س).
• الشرط الأول: 0 ≤ ل(س) ≤ 1 لكل قيمة من قيم س.
• الشرط الثاني: Σ ل(س) = 1 (مجموع الاحتمالات يساوي صحيحاً).

توقع المتغير العشوائي المنفصل

التوقع الرياضي هو القيمة المتوسطة المرجحة للمتغير العشوائي، ويُحسب بضرب كل قيمة في احتمالها وجمع النواتج.

خطوات الحل الذهبية

• 1. التأكد من أن مجموع الاحتمالات = 1.
• 2. رسم جدول (س) و (ل(س)) و (س × ل(س)).
• 3. جمع نواتج العمود الأخير للحصول على التوقع.

المتتاليات

المتتالية هي اقتران مجاله مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة 1، 2، 3، ...، ن ومداه مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية، وتُستخدم لنمذجة الأنماط الرياضية والحياتية.

أنواع المتتاليات والتعامل معها

• إيجاد الحدود ← التعويض المباشر عن قيمة ن في الحد العام
• استنتاج الحد العام ← البحث عن علاقة ثابتة بين ترتيب الحد (ن) وقيمته (ح_ن)
• النمذجة الحياتية ← تحويل المعطيات اللفظية إلى متتالية ثم استخراج الحد العام

المتتالية الحسابية

المتتالية الحسابية هي نمط عددي يتميز بوجود فرق ثابت (أساس) بين كل حد وسابقه، ويُعبر عنها بالحد العام ح_ن = أ + (ن - 1) × د.

تعريف ومكونات المتتالية

• المتتالية الحسابية: هي المتتالية التي يكون الفرق فيها بين الحد وسابقه مقداراً ثابتاً دائماً.
• الأساس (د): هو المقدار الثابت (د = ح_ن - حن-1).
• الحد الأول (أ): هو الحد الذي تبدأ به المتتالية.
• الصورة العامة: أ، أ + د، أ + 2د، أ + 3د، ...

المتتالية الهندسية

المتتالية الهندسية هي نمط عددي تكون فيه النسبة بين أي حد والحد الذي يسبقه مباشرة قيمة ثابتة تسمى (أساس المتتالية).

المفاهيم الأساسية والقوانين

• الحد العام: ح_ن = أ × رن-1
• أساس المتتالية (ر): ر = ح_نحن-1
• الحد الأول: يرمز له بالرمز (أ)
• رتبة الحد: يرمز لها بالرمز (ن)

نهاية الاقتران

النهاية هي القيمة التي يقترب منها الاقتران ق(س) عندما تقترب س من عدد معين (أ)، دون الحاجة لأن يكون الاقتران معرفاً عند ذلك العدد.

مفهوم النهاية (التعريف الرياضي)

• نهاية الاقتران ق(س) تساوي ل عندما س ← أ إذا وفقط إذا كانت النهاية من اليمين تساوي النهاية من اليسار.
• الرمز: → a^+ q(s) = → a^- q(s) = L
• إذا كانت النهاية من اليمين ≠ النهاية من اليسار ← النهاية غير موجودة.

قوانين النهايات

دليل شامل لقوانين النهايات الجبرية وكيفية التعامل مع حالات عدم التعيين (0/0) باستخدام التحليل إلى العوامل.

معالجة حالات عدم التعيين (0/0)

• الناتج (0)/(0) يعني وجود عامل مشترك يجب التخلص منه.
• الخطوة 1: تحليل البسط والمقام إلى عوامل أولية.
• الخطوة 2: اختصار العامل المسبب للصفر.
• الخطوة 3: التعويض المباشر في المقدار المبسط.

نهاية اقتران متعدد القاعدة

توجد نهاية الاقتران متعدد القاعدة عند نقطة التشعب إذا وفقط إذا تساوت النهاية من اليمين مع النهاية من اليسار.

مفهوم النهاية عند نقطة التشعب

• نقطة التشعب (الحد الفاصل) ← النقطة التي يتغير عندها تعريف الاقتران.
• شرط وجود النهاية: → a^+ f(x) = → a^- f(x) = L.
• إذا كانت → a^+ f(x) → a^- f(x) ← النهاية غير موجودة.

الاتصال

يكون الاقتران ق(س) متصلاً عند س = أ إذا تحقق شرط التطابق بين قيمة الاقتران ونهايته عند تلك النقطة.

قواعد الاتصال للعمليات

• كثيرات الحدود: متصلة دائماً في مجالها (ح).
• الجمع والطرح: (ق ± هـ) متصل عند س = أ.
• الضرب: (ق × هـ) متصل عند س = أ.
• القسمة: (ق / هـ) متصل عند س = أ بشرط هـ(أ) ≠ 0.

What is the Mathematics (Literary) Tawjihi cheat sheet?

Concise revision pages for Mathematics (Literary) that gather the key laws, ideas, and exam tips for each lesson.

Is it based on the prescribed curriculum?

Yes — built from the prescribed curriculum and official units. You can preview cheat sheets inside TawjihiAI.