ملخصات الرياضيات توجيهي الأردن: قوانين وأفكار

نظريتا الباقي والعوامل

الطريقة 1: القسمة الطويلة

• (2x² - x - 3)/(x - 3 ) 2x³ - 7x² + 0x + 5)
• ((-) 2x³ - 6x²)/(-x² + 0x)
• ((-) -x² + 3x)/(-3x + 5)
• ((-) -3x + 9)/(-4)

الكسور الجزئية

• (x+14)/((x-4)(x+2)) = 3/(x-4) + (-2)/(x+2)
• تعلَّمتُ في المثال السابق تجزئة مقادير نسبية، جميع عوامل مقاماتها كثيرات حدود خطّية.
• ولكن في بعض الحالات، قد يحوي تحليل المقام عاملاً تربيعيًا لا يُمكن تحليله، عندئذٍ ينتج من العامل التربيعي كسر جزئي بسطه كثير حدود خطّي في صورة Ax+B، ومقامه العامل التربيعي.

المتطابقات المثلثية 1

متطابقات المجموع والفرق

• تعلَّمتُ في الأمثلة السابقة كيفية استعمال المتطابقات المثلثية لإيجاد قيم اقترانات مثلثية، وتبسيط عبارات مثلثية، وإثبات صحَّة متطابقات أُخرى.
• وسأتعلم الآن كيفية استعمال مجموعة من المتطابقات لإيجاد قيمة اقتران مثلثي لمجموع زاويتين أو الفرق بينهما.

المتطابقات المثلثية 2

مفهوم أساسي

• sin α sin β= 1/2 [ cos (α-β) - cos (α+β)]
• sin α cos β= 1/2 [ sin (α-β) + sin (α+β)]
• cos α cos β= 1/2 [ cos (α-β) + cos (α+β)]
• sin α+ sin β= 2 sin ((α+β)/2) cos ((α-β)/2)
• cos α+ cos β= 2 cos ((α+β)/2) cos ((α-β)/2)
• sin α- sin β= 2 cos ((α+β)/2) sin ((α-β)/2)

حل المعادلات المثلثية

• يُطلق على المعادلة التي تحوي اقترانات مثلثية اسم المعادلة المثلثية (trigonometric equation).
• وتُعدّ المتطابقات المثلثية التي تعرّفتها سابقًا حالة خاصة من المعادلات المثلثية.
• لأنها صحيحة لجميع قيم المتغيرات المُعرّف عندها طرفا المعادلة، ولكن بعض هذه المعادلات تكون صحيحة فقط عند قيم مُحدّدة للمتغير.
• سأتعلم في هذا الدرس كيفية إيجاد حلّ لهذا النوع من المعادلات.
• المعادلة المثلثية الأساسية (basic trigonometric equation) هي معادلة في صورة T(θ) = c، حيث T(θ) اقتران مثلثي، و c ثابت.
• لحلّ أي معادلة مثلثية، يجب تبسيطها بحيث تصبح معادلة مثلثية أساسية.

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

مشتقة ضرب اقترانين

• تعَلَّمتُ سابقًا إيجاد مشتقات اقترانات مختلفة، مثل: اقترانات القوّة، والاقتران الأُسّي الطبيعي، والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي، واقتران جيب التمام.
• تعَلَّمتُ أيضًا إيجاد مشتقات مضاعفات هذه الاقترانات والاقترانات الناتجة من جمعها وطرحها.
• لنفرض أنَّ: (f(x))/(g(x)) = u/v, y = (f(x))/(g(x)) = u, y = uv. ومنه، فإنَّ: y = uv.
• وبما أنَّ الاقتران u هو حاصل ضرب اقترانين، فإنَّه يُمكن إيجاد مشتقته باستعمال قاعدة المشتقة الضرب على النحو الآتي:
• d/dx( tan x) = sec ² x d/dx( cot x) = - csc ² x
• d/dx( sec x) = sec x tan x d/dx( csc x) = - csc x cot x

قاعدة السلسلة

• تعلَّمتُ سابقًا إيجاد مشتقة الاقتران الناتج من تركيب اقتراني قوّة، وذلك بإيجاد مشتقة الاقتران الخارجي وقيمته عند الاقتران الداخلي، ثمّ ضربه في مشتقة الاقتران الداخلي.
• تُعَدّ هذه الطريقة إحدى أهم قواعد الاشتقاق، وتُسمّى قاعدة السلسلة (the chain rule).
• يُشكِّل هذان الاقترانان معًا معادلة وسيطية (parametric equation) للمنحنى C، ويُسمَّى المتغيّر الوسيط (parameter)؛ لأنَّ كل قيمة له تُحدِّد قيمة للمتغيّر x، وقيمةً أخرى للمتغيّر y.
• وعند تمثيل الأزواج المُرتبة (x, y) في المستوى الإحداثي، ينتج المنحنى C.
• x = h(t), y = g(t) t₀ ≤t ≤t₁

الاشتقاق الضمني

• مسألة اليوم: يقود سائق سيارته في اتجاه لافتة على طريق سريع كما في الشكل المجاور.
• إذا كانت θ زاوية رؤية السائق للافتة، و x المسافة بينه وبين اللافتة بالأمتار، وكانت العلاقة التي تربط θ بـ x هي: tan θ= 4x/(x² + 252).
• تعلّمتُ في الأمثلة السابقة استعمال الاشتقاق الضمني لإيجاد dy/dx.
• وسأتعلم الآن كيف أجد (d²y)/(dx²) باستعمال الاشتقاق الضمني، وذلك باشتقاق dy/dx بالنسبة إلى المتغيّر x، علماً بأنّه إذا احتوت المشتقة الأولى على y…

المعدلات المرتبطة

مُعدَّل تغيّر الزاوية بالنسبة إلى الزمن

• تعلَّمتُ سابقًا أنَّ زاوية الارتفاع هي الزاوية المحصورة بين خطِّ النظر إلى الأعلى والخطُّ الأفقي، وأنَّ زاوية الانخفاض هي الزاوية المحصورة بين خطِّ النظر إلى الأسفل والخطُّ الأفقي.
• والآن سأتعلَّم حساب مُعدَّل تغيّر زاوية الارتفاع وزاوية الانخفاض بالنسبة إلى الزمن.

الأعداد المركبة

سعة العدد المركب

• (z) = Arg(z) + 2πn = θ+ 2πn, n = ±1, ±2, ±3, …
• θ= Arg(z) = tan ⁻¹(b/a)
• إذا وقع العدد المركب z في الربع الثاني، فإنّ سعته تكون زاوية مُنفرجة؛ لذا تُستعمل مُكمّلتها لإيجادها.
• إذا كانت سعة z هي الزاوية المُنفرحة θ، فإنّ مُكمّلتها θ' هي زاوية حادة.
• لذا يُرسم في الربع الثاني مثلث قائم، أحد رؤوسه z، وإحدى زواياه θ' كما في الشكل المجاور، وتُستعمل النسب المثلثية لإيجاد قياس θ' .

العمليات على الأعداد المركبة

الجذر التربيعي للعدد المُرَكَّب

• يوجد لكل عدد مُرَكَّب جذران تربيعيان، وهما عددان مُرَكَّبان أيضًا. فإذا كان: √z = x + iy، فإنَّ: z = (x + iy)².
• ومن ثمَّ، يُمكن إيجاد قيمة كلّ من x، و y الحقيقيتين بتربيع الطرفين، ثمَّ المقارنة بين الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية في طرفي المعادلة.

المحل الهندسي في المستوى المركب

الشعاع الذي يبدأ بالنقطة (0, 0)

• إن سعة جميع الأعداد المركبة التي تُحقّق المعادلة: Arg(z) = θ₀ هي θ₀.
• لذا فإنها تقع على شعاع (ray) يصنع زاوية قياسها θ₀ راديان مع المحور الحقيقي الموجب، ويبدأ (الشعاع) بنقطة الأصل، ويمتدّ بصورة لانهائية في أحد اتجاهيه كما في الشكل المجاور.
• Arg(z₂ - z₁) = tan ⁻¹ ( (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) ) = θ
• ومن ثَمَّ، فإنَّ الأعداد المُركبة z التي تُحقّق المعادلة: θ= Arg(z - (a + ib)) تقع جميعها على الشعاع الذي بدايته (a, b)، وهو يصنع زاوية قياسها θ راديان مع مستقيم يوازي المحور الحقيقي كما في الشكل المجاور.
• وبما أنَّ ناتج تعويض نقطة بداية الشعاع في المعادلة هو Arg(0) (قيمة غير مُعرَّفة)، فإنَّ نقطة بداية الشعاع تُستثنى، ويُعبَّر عنها بدائرة مُفرغة.
• بدايةً، يُرسَم منحنى المعادلة المرتبطة بالمتباينة بعد استعمال رمز المساواة (=) بدلًا من رمز المتباينة (, ≤, ≥)، حيث تُمثِّل المعادلة الناتجة منحنى يُسمّى المنحنى الحدودي.

تكامل اقترانات خاصة

• 📅 مسألة اليوم: يُمثّل الاقتران (P(t عدد الخلايا البكتيرية بعد t يومًا من بَدْء دراستها في مجتمع بكتيري.
• إذا كان عدد هذه الخلايا عند بَدْء الدراسة هو 200000 خلية، فأجد عددها في المجتمع البكتيري بعد 12 يومًا من بَدْء الدراسة، علمًا بأنّها تتغيّر بمُعدّل: P'(t) = 200e^(0.1t) + 150e^(-0.03t).
• ∫f(x)dx = F(x) + C
• ∫ab f(x)dx = F(x) |ab = F(b) - F(a)
• ∫ex dx = ex + C
• ∫kx dx = (kx)/(ln k) + C

التكامل بالتعويض

• تعلَّمتُ سابقًا أنَّه يُمكن استعمال التكامل لإيجاد اقتران أصلي للاقتران المُكامل، وذلك بالبحث عن اقتران مشتقته تعطي الاقتران المُكامل.
• ولكن، لا يُمكن إيجاد اقتران أصلي لبعض التكاملات مباشرة، مثل: ∫2x√(x² + 6) dx.
• لذا نلجأ إلى طرائق أخرى للتكامل، منها طريقة التكامل بالتعويض (integration by substitution)، التي تتضمَّن استعمال مُتغيّر جديد بدلًا من مُتغيّر التكامل.

التكامل بالكسور الجزئية

• تعلَّمتُ أيضًا تجزئة المقادير النسبية.
• وهي عملية تُفضي إلى كتابة المقدار النسبي في صورة مجموع مقادير نسبية أبسط، كُلّ منها في صورة: (P(x))/(Q(x))، حيث P و Q كثير حدود لا توجد بينهما عوامل مشتركة، ودرجة P أقلّ من درجة Q، وكُلّ منهما يُسمَّى كسرًا جزئيًا.
• تعلَّمتُ سابقًا أنَّ تحليل مقام مقدار نسبي قد يحوي عاملاً تربيعيًا غير مُكرَّر، ولا يُمكن تحليله (مُميِّزه سالب).
• وفي هذه الحالة، ينتج عن العامل التربيعي كسر جزئي بسطه كثير حدود خطي في صورة: Ax + B، ومقامه العامل التربيعي نفسه.

التكامل بالأجزاء

• d/dx(uv) = u dv/dx + v du/dx
• uv = ∫u dv/dx dx + ∫v du/dx dx
• ∫u dv/dx dx = uv - ∫v du/dx dx
• ∫u dv = uv - ∫v du
• ∫f(x) dx = ∫u dv = uv - ∫v du
• ∫ab u dv = uv |ab - ∫_ab v du

المساحات والحجوم

• أجد إحداثيي كُلّ من النقاط: A، و B، و C.
• أجد مساحة كُلّ من المنطقة R₁، والمنطقة R₂.
• A = ∫ab f(x) dx - ∫ab g(x) dx
• A = ∫_ab (f(x) - g(x)) dx
• أكتب الاقتران: f(x) = x² + 1 في شريط الإدخال، ثمّ أضغط على زرّ الإدخال (Enter)، ثمّ أكتب الاقتران: g(x) = 7 - x، ثمّ أضغط على زرّ الإدخال (Enter).
• أجد نقاط التقاطع بين منحنيي الاقترانين، وذلك باختيار أيقونة Intersect، ثمّ نقر منحنيي الاقترانين تباعًا، فيظهر إحداثيا نقطتي التقاطع في شريط الإدخال: ((A(-3, 10), B(2, 5)).

المعادلات التفاضلية

الدرس 6: المعادلات التفاضلية

• أحلّ المعادلة التفاضلية لإيجاد درجة حرارة السائل بعد t ساعة، علمًا بأنّ درجة حرارته عند وضعه في الغرفة هي 5°C.
• بعد كم ساعة تصبح درجة حرارة السائل 18°C؟
• تعلّمتُ في المثال السابق حلّ معادلات تفاضلية في صورة: dy/dx = g(x) عن طريق إيجاد التكامل لطرفي المعادلة مباشرة، ولكنّ ذلك لا ينطبق على جميع المعادلات التفاضلية.
• فبعضها يحتوي على المتغيّرين x و y معًا في أحد طرفي المعادلة.
• وفي هذه الحالة، فإنّ الحلّ يتطلّب أوّلًا فصل dy عن dx، وذلك بكتابة dx في أحد طرفي المعادلة، وكتابة dy في الطرف الآخر، ثمّ نقل جميع الحدود التي تحوي المتغيّر x إلى طرف المعادلة الذي يحوي dx…

التوزيع الطبيعي

مفهوم أساسي: القاعدة التجريبية

• 7% من البيانات تقريبًا تقع بين μ-3σ و μ+3σ؛ أي أنّ 99.7% من البيانات لا يزيد البُعد بينها وبين الوسط الحسابي على ثلاثة أمثال قيمة الانحراف المعياري.
• تعلمتُ في المثال السابق أنّ المساحة الواقعة بين قيمتين من البيانات أسفل المنحنى الطبيعي تُمثّل النسبة المئوية للبيانات الواقعة بين هاتين القيمتين.
• وبما أنّ المساحة أسفل المنحنى الطبيعي هي 1، فإنّه يُمكن إيجاد احتمال بعض قيم المُتغيّر العشوائي الطبيعي باستعمال القاعدة التجريبية، بافتراض أنّ المساحة أسفل المنحنى كاملة هي احتمال الحادث الأكيد.
• P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)
• P(z₁ < Z < z₂) = P(Z < z₂) - P(Z < z₁)
• تعلمتُ في المثال السابق إيجاد احتمالات مُتغيّر عشوائي طبيعي (غير معياري)، ولكنّ الاحتمال قد يكون معلومًا في بعض الأحيان، وتكون قيمة المُتغيّر العشوائي X هي المجهولة.