تجاوز إلى المحتوى الرئيسي

مراجعة مكثّفة

ملخصات الرياضيات توجيهي الأردن: قوانين وأفكار

القوانين والأفكار الأساسية لكل درس في مادة الرياضيات، مبنية من المنهج المقرّر. هذه نظرة سريعة — افتح الملخص كاملاً مع البطاقات والأسئلة داخل TawjihiAI.

افتح الملخص كاملاًكل المواد

الاقترانات والمقادير الجبرية

نظريتا الباقي والعوامل

قسمة كثيرات الحدود بطريقة الجدول، إيجاد الباقي بالتعويض، إثبات العوامل، ثم الأصفار النسبية والتحليل الكامل.

القسمة بطريقة الجدول

  • أكتب المقسوم والمقسوم عليه بالصورة القياسية، وأضع 0 مكان كل حد مفقود.
  • أتوقف عندما تصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.
  • التحقق: المقسوم = المقسوم عليه × الناتج + الباقي.
  • مثال: (9x3-x+3)(3x-2) يعطي الناتج 3x2+2x+1 والباقي 5.

الكسور الجزئية

تجزئة مقدار نسبي إلى مجموع كسور أبسط بحسب عوامل المقام: خطية مختلفة، خطية مكررة، تربيعية غير قابلة للتحليل، والكسر غير الفعلي بالقسمة أولاً.

أمثلة محلولة

  • عوامل خطية مختلفة: (2x-13)/(x2-x-2)=(2x-13)/((x-2)(x+1)).
  • عامل مكرر: (-x2+2x+4)/(x3-4x2+4x) بعد إخراج x من المقام.
  • تربيعي غير قابل للتحليل: (x2-3x+16)/((x+1)(x2+9))=(A)/(x+1)+(Bx+C)/(x2+9).
  • كسر غير فعلي: (2x2+13x+6)/(x2+6x-16)=2+(x+38)/(x2+6x-16) ثم نجزّئ الباقي.

المتطابقات والمعادلات المثلثية

المتطابقات المثلثية 1

ملخص درس المتطابقات المثلثية 1، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

أمثلة محلولة

  • مثال 1: أجد θ إذا كان θ=3/5 وπ/2<θ<π.
  • مثال 2: أبسط مقادير مثلثية باستعمال المتطابقات الأساسية.
  • مثال 3: أعيد كتابة 11+ x بحيث لا يحوي كسرا مركبا.
  • مثال 4: أثبت x x= x- x، و( x)/(1- x)= x+ x، و( x)/(1+ x)+(1+ x)/( x)=2 x.

المتطابقات المثلثية 2

ملخص درس المتطابقات المثلثية 2، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

أمثلة محلولة

  • مثال 1: إذا كان θ=35 ، حيث (π)/(2)<θ<π ، فأجد 2θ ، و 2θ ، و 2θ .
  • مثال 2: أكتب 3θ بدلالة θ .
  • مثال 3: أعيد كتابة 2x2x بدلالة القوة الأولى لجيب التمام.
  • مثال 4: أجد قيمة 22.5^ من دون استعمال الآلة الحاسبة.

حل المعادلات المثلثية

ملخص درس حل المعادلات المثلثية، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

أمثلة محلولة

  • مثال 1: أحل x=12 و x=-12 لجميع قيم x .
  • مثال 2: أحل x=0.65 و x=-2 .
  • مثال 3: أحل 3 x-2=5 x-1 ، و 2x-3=0 .
  • مثال 4: أحل 22x-3 x+1=0 و x x=3 x في [0,2π) .

التفاضل وتطبيقاته

مشتقة اقترانات خاصة

ملخص درس مشتقة اقترانات خاصة، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

أمثلة محلولة

  • مثال 1: أجد مشتقة 3ex ، و x2+ex ، و [3]x-2xexx .
  • مثال 2: أجد مشتقة (x4) ، و (xex)+(7x) .
  • مثال 3: أجد مشتقة 3 x+4 ، و 12ex-7 x .
  • مثال 4: إذا f(x)=((x)/(e)) ، أجد المماس والعمودي عند (1,-1) .

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

دليل شامل لقواعد الاشتقاق المتقدمة، بما في ذلك حاصل الضرب، القسمة، الاقترانات المثلثية، والمشتقات العليا مع تطبيقاتها الحياتية.

قواعد الاشتقاق الأساسية

  • مشتقة الضرب: (fg)'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)
  • مشتقة القسمة: ((f)/(g))'(x) = (g(x)f'(x) - f(x)g'(x))/([g(x)]2)
  • مشتقة المقلوب: ((1)/(f))'(x) = (-f'(x))/([f(x)]2)

قاعدة السلسلة

ملخص درس قاعدة السلسلة، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

مصطلحات الدرس

  • قاعدة السلسلة: قاعدة تُستعمل لإيجاد مشتقة الاقتران المركب، وتُعطى بالصيغة: (dy)/(dx) = (dy)/(du) × (du)/(dx).
  • قاعدة سلسلة القوة: حالة خاصة من قاعدة السلسلة تُستعمل لاشتقاق الاقتران المركب الذي يكون في صورة f(x) = [g(x)]n، وتُعطى بالصيغة: (d)/(dx) [g(x)]n = n[g(x)]n-1 × g'(x).
  • المعادلة الوسيطية: هي معادلة للمنحنى C تُكتب فيها إحداثيات النقطة (x, y) كاقترانين بالنسبة لمتغير ثالث يُسمى الوسيط (parameter) t، وتكون على الصورة: x = h(t), y = g(t)
  • المتغير الوسيط: هو متغير (غالباً t) تُحدد كل قيمة له قيمة للمتغير x وقيمة أخرى للمتغير y، مما يؤدي إلى رسم المنحنى C.

الاشتقاق الضمني

ملخص درس الاشتقاق الضمني، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

مصطلحات الدرس

  • العلاقة الضمنية: معادلة تحوي داخلها أكثر من اقتران، ولا يمكن كتابتها بصورة صريحة في صورة اقتران بدلالة x (أي y = f(x)).
  • الاشتقاق الضمني: عملية إيجاد المشتقة dy/dx لعلاقة ضمنية، حيث يُفترض أن y اقتران بالنسبة للمتغير x، مع مراعاة استعمال قاعدة السلسلة عند اشتقاق حدود تتضمن المتغير y.
  • ميل المماس: قيمة المشتقة الأولى dy/dx عند نقطة معينة تحقق معادلة المنحنى.
  • معادلة المماس: المعادلة التي تصف الخط المستقيم المماس للمنحنى عند نقطة معينة، وتُكتب بالصيغة: y - y1 = m(x - x1).

المعدلات المرتبطة

ملخص درس المعدلات المرتبطة، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

أمثلة محلولة

  • مثال 1: عند سقوط قطرة ماء تتكون موجات دائرية. إذا كان نصف قطر إحدى الدوائر يزداد بمعدل 3 cm/s، فأجد معدل تغير مساحة الدائرة عندما يكون نصف قطرها 9 cm.
  • مثال 2: تتحرك السيارة A غرباً بسرعة 80 km/h والسيارة B شمالاً بسرعة 100 km/h نحو تقاطع مروري. أجد معدل تغير البعد بينهما عندما تكون A على بعد 0.3 km و B على بعد 0.4 km من التقاطع.
  • مثال 3: خزان مخروطي ارتفاعه 5 m ونصف قطر قاعدته 2 m ورأسه للأسفل. يتسرب منه الماء بمعدل 1/12 m3/min. أجد معدل تغير ارتفاع الماء عندما يكون الارتفاع 4 m.

الأعداد المركبة

الأعداد المركبة

ملخص درس الأعداد المركبة، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

مصطلحات الدرس

  • الوحدة التخيلية: رمز يرمز إليه بالرمز i، وعُرِّفت لتُحقق المعادلة: i2 = -1.
  • العدد التخيلي: يُطلق على العدد الذي في صورة: √(-k)، حيث k عدد حقيقي موجب، اسم العدد التخيلي.
  • العدد المركب: هو عدد يمكن كتابته في صورة: a + ib، حيث a و b عددان حقيقيان. يتكون العدد المركب من جزء حقيقي (real part) هو العدد a، وجزء تخيلي (imaginary part) هو العدد b.
  • مرافق العدد المركب: إذا كان العدد المركب z = a + ib، فإن مرافقه هو العدد z = a - ib.

العمليات على الأعداد المركبة

ملخص درس العمليات على الأعداد المركبة، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

مصطلحات الدرس

  • العدد المركب: عدد يُكتب على الصورة z = a + ib، حيث a و b عددان حقيقيان، و i هي الوحدة التخيلية التي تحقق i2 = -1.
  • مرافق العدد المركب: للعدد المركب z = a + ib، مرافقه هو العدد z̅ = a - ib.
  • السعة الرئيسة: الزاوية θ التي تقع في الفترة -π < θ ≤ π، وتُستخدم في الصورة المثلثية للعدد المركب.
  • المميز: المقدار Δ = b2 - 4ac، ويُستخدم لتحديد طبيعة جذور المعادلة التربيعية.

المحل الهندسي في المستوى المركب

ملخص درس المحل الهندسي في المستوى المركب، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

مصطلحات الدرس

  • المحل الهندسي: هو مجموعة النقاط في المستوى المركب التي يمكن لنقطة متحركة ضمن شرط أو شروط (معادلة، أو متباينة) أن تكون منها.
  • المنصف العمودي: هو المحل الهندسي للنقطة z التي تتحرك في المستوى المركب، وتظل على بعدين متساويين من النقطتين الثابتتين z1 و z2.
  • الشعاع: هو المحل الهندسي للنقطة z التي تحقق المعادلة Arg(z - (a + ib)) = θ، ويبدأ بنقطة الأصل (أو نقطة محددة) ويمتد بصورة لانهائية في أحد اتجاهاته.
  • المنحنى الحدودي: هو المنحنى الناتج عن المعادلة المرتبطة بالمتباينة (باستخدام رمز المساواة)، ويقسم المستوى المركب إلى جزأين، أحدهما يحوي جميع الأعداد المركبة التي تحقق المتباينة.

التكامل

تكامل اقترانات خاصة

ملخص درس تكامل اقترانات خاصة، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

مصطلحات الدرس

  • التكامل غير المحدود: عملية عكسية للاشتقاق، ويُعبر عنه بالصيغة: f(x) dx = F(x) + C، حيث F(x) اقتران أصلي للاقتران f(x)، و C ثابت التكامل.
  • التكامل المحدود: تكامل الاقتران f(x) على الفترة [a, b]، ويُحسب بالعلاقة: f(x) dx = F(b) - F(a)، حيث a الحد السفلي و b الحد العلوي.
  • الاقتران الأصلي: إذا كان F(x) اقتراناً أصلياً للاقتران f(x)، فإن F'(x) = f(x)، ويمكن التحقق من صحة الحل بإيجاد مشتقة نتيجة التكامل.
  • الإزاحة: التغير في موقع الجسم، وتُحسب على الفترة الزمنية [t_1, t_2] بالعلاقة: s(t_2) - s(t_1) = _1t_2 v(t) dt.

التكامل بالتعويض

طريقة منهجية لتحويل التكاملات المعقدة إلى صور قياسية بسيطة عبر تغيير المتغير، مع التركيز على اختيار u بحيث تكون مشتقته du موجودة في التكامل.

خطوات الحل الذهبية

  • 1. اختيار u: المقدار الذي مشتقته موجودة (غالباً ما يكون ما داخل القوس أو الجذر).
  • 2. الاشتقاق: إيجاد (du)/(dx) ثم كتابة dx بدلالة du.
  • 3. التعويض: استبدال كل x و dx بـ u و du.
  • 4. التكامل والعودة: إجراء التكامل ثم استبدال u بقيمتها الأصلية بدلالة x.

التكامل بالكسور الجزئية

ملخص درس التكامل بالكسور الجزئية، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

أمثلة محلولة

  • مثال 1: أجد (x-5)/(x2-x-2) dx
  • مثال 2: أجد (3x2+2)/(x3-2x2+x) dx
  • مثال 3: أجد (3x4-1)/(x2-1) dx

التكامل بالأجزاء

ملخص درس التكامل بالأجزاء، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

أمثلة محلولة

  • مثال 1: أجد x x dx
  • مثال 2: أجد x2 e2x dx
  • مثال 3: أجد x3 x dx باستخدام طريقة الجدول
  • مثال 4: أجد قيمة 12 x3 x dx

المساحات والحجوم

ملخص درس المساحات والحجوم، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

مصطلحات الدرس

  • المساحة المحصورة بين منحنيي اقترانين: هي المساحة المحصورة بين منحنيي الاقترانين f(x) و g(x) على الفترة [a, b]، وتُحسب بالصيغة: A = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx، بشرط أن يكون f(x) ≥ g(x) على الفترة.
  • الجسم الدوراني: هو الشكل الناتج من دوران منطقة ما دورة كاملة حول محور معين (مثل المحور x).
  • حجم الجسم الدوراني: الحجم الناتج عن دوران منطقة محصورة بين منحنى الاقتران f(x) والمحور x على الفترة [a, b] حول المحور x، ويُحسب بالصيغة: V = ∫[a,b] π(f(x))2 dx.
  • الإزاحة: هي التغير في موقع الجسم، وتُحسب على الفترة الزمنية [t1, t2] باستخدام التكامل المحدود لاقتران السرعة v(t) كالتالي: s(t2) - s(t1) = ∫[t1,t2] v(t) dt.

المعادلات التفاضلية

ملخص درس المعادلات التفاضلية، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

أمثلة محلولة

  • مثال 1: حدد إذا كان الاقتران y = e-x حلاً للمعادلة التفاضلية y' + y = 0.
  • مثال 2: حل المعادلة التفاضلية: (dy)/(dx) = -xy2.
  • مثال 3: أجد الحل الخاص للمعادلة (dy)/(dx) = ex-y الذي يحقق الشرط y(0) = 2.

المتجهات

المتجهات في الفضاء

ملخص درس المتجهات في الفضاء، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

مصطلحات الدرس

  • الثُمن: ينتج من إضافة المحور z ثلاثة مستويات، هي: المستوى xy، والمستوى xz، والمستوى yz. وتُقسم هذه المستويات الفضاء إلى 8 أقسام، يُسمى كل منها الثُمن.
  • متجه الموقع: يُطلق على المتجه الذي يبدأ بنقطة الأصل، وينتهي بالنقطة A(x1, y1, z1) اسم متجه الموقع للنقطة A.
  • متجه الإزاحة: المتجه الذي يمثل الإزاحة من نقطة بداية A إلى نقطة نهاية B، ويُرمز إليه بالرمز AB.
  • متجهات الوحدة الأساسية: متجهات الوحدة في الاتجاه الموجب للمحاور الإحداثية الثلاثة، وهي: i في اتجاه محور x، وj في اتجاه محور y، وk في اتجاه محور z.

المستقيمات في الفضاء

ملخص درس المستقيمات في الفضاء، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

مصطلحات الدرس

  • المعادلة المتجهة للمستقيم: صيغة رياضية تُعبر عن المستقيم في الفضاء، وتُكتب بالصورة: r = r0 + tv، حيث r0 متجه موقع نقطة معلومة على المستقيم، وv متجه يوازي المستقيم، وt متغير وسيط.
  • المتغير الوسيط: متغير (t) في المعادلة المتجهة، تُحدد كل قيمة من قيمه نقطة وحيدة على المستقيم.
  • المستقيمات المتخالفة: مستقيمان في الفضاء لا يقعان في المستوى نفسه، وهما غير متوازيين وغير متقاطعين.
  • توازي المتجهات: متجهان لهما الاتجاه نفسه أو عكسه، ويمكن كتابة أحدهما في صورة الآخر مضروباً في عدد حقيقي k لا يساوي صفراً (u = kv).

الضرب القياسي

ملخص درس الضرب القياسي، مربوط بأمثلة الدرس ومصطلحاته.

مصطلحات الدرس

  • الضرب القياسي: عملية جبرية بين متجهين، تنتج منها كمية قياسية.
  • الزاوية بين متجهين: هي الزاوية الصغرى المحصورة بينهما عند رسمهما بدءاً بالنقطة نفسها؛ أي إن: 0° ≤ θ ≤ 180°.
  • مسقط العمود: نقطة تقاطع المستقيم العمودي المار بالنقطة P مع المستقيم l.
  • المتجهات المتعامدة: متجهان يكون الضرب القياسي لهما يساوي صفراً (v · w = 0)، وتكون الزاوية بينهما قائمة (90°).

الإحصاء والاحتمالات

التوزيع الهندسي وتوزيع ذي الحدين

خريطة طريق شاملة للتمييز بين التجارب الاحتمالية (الهندسية وذات الحدين) وحساب احتمالاتها وتوقعاتها الرياضية.

3. توزيع ذي الحدين

  • الهدف: عدد النجاحات في عدد محدد من المحاولات (n).
  • القانون: P(X = r) = nr pr (1-p)n-r
  • التوقع: E(X) = np
  • التباين: Var(X) = np(1-p)

التوزيع الطبيعي

دليل شامل لفهم خصائص المنحنى الطبيعي، استخدام القاعدة التجريبية، والتعامل مع التوزيع المعياري (Z) لإيجاد الاحتمالات والقيم المجهولة.

القاعدة التجريبية

  • 68% من البيانات تقع ضمن انحراف معياري واحد: P(μ - σ < X < μ + σ) = 0.68
  • 95% من البيانات تقع ضمن انحرافين معياريين: P(μ - 2σ < X < μ + 2σ) = 0.95
  • 99.7% من البيانات تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية: P(μ - 3σ < X < μ + 3σ) = 0.997

أسئلة شائعة

ما هو ملخص الرياضيات للتوجيهي؟

صفحات مراجعة مختصرة لمادة الرياضيات تجمع القوانين والأفكار الأساسية ونصائح الامتحان لكل درس.

هل هي مبنية على المنهج؟

نعم — مبنية من المنهج المقرّر وتغطي وحدات المادة الرسمية. يمكنك معاينة الملخصات داخل TawjihiAI.

أكمل استعدادك في الرياضيات

صفحة الرياضياتأسئلة مع الحلبطاقات تعليميةالأوراق الوزارية السابقةمعجم المصطلحاتالامتحانات المتوقعة