الزخم (كمية التحرك) الخطي والدفع

يهدف لاعب كرة القدم إلى التحكم بمسار الكرة لتستقر في شباك الفريق الآخر أو لتمريرها لزميله، وذلك من خلال ركلها على النحو الذي يحقق مآربه بإكسابها السرعة والاتجاه المناسبين، وهذا هو الحال في كثير من الألعاب الرياضية الأخرى التي تعتمد المناورة والتسديد، ومنها: كرة السلة، والكرة الطائرة، وغيرهما.

1. تتيح لنا المبادئ الأساسية للميكانيكا، المتمثلة بقوانين نيوتن، فهم حركة الأجسام؛ بل توقع المسارات التي تتخذها بدقة بالغة لدى معرفة القوى المؤثرة عليها.
2. إن ركل الكرة بقوة، ولو لفترة وجيزة، يغير من زخمها ليمكنها من الحركة والانطلاق نحو الهدف، ثم لا تلبث أن تغير قوة الجاذبية من زخمها، ربما باتجاه مغاير.

يتوقع من الطلبة بعد دراستهم هذا الفصل والتفاعل مع أنشطته أن يكونوا قادرين على تطبيق مفاهيم كمية التحرك والدفع في حل مسائل تتعلق بها وبعض التطبيقات العملية عليه من خلال تحقيق الآتي:

• اشتقاق نظرية الدفع - الزخم رياضياً.
• تفسير بعض المشاهدات اليومية باستخدام نظرية الدفع–الزخم.
• حل مسائل حسابية على الدفع والزخم وحفظه.

أفكر؟ ما العوامل التي تؤثر في إيقاف كرة مندفعة تجاهي؟

المواد والأدوات: 3 كرات مختلفة الكتلة، سطح مائل، وممحاة. الخطوات:

1. ثبت السطح المائل بزاوية ميل مقدارها ⁦30°⁩ وضع الممحاة في نهاية السطح المائل.
2. قم بدحرجة الكرة الأقل كتلة من أعلى السطح ولاحظ المسافة التي تحركتها الممحاة.
3. أعد الخطوات السابقة مع الكرتين الثانية والثالثة، ماذا تلاحظ؟
4. أعد الخطوات من 1-3 بتغيير زاوية ميل السطح المائل مثلاً ⁦45°⁩ أو ⁦60°⁩، ماذا تلاحظ؟

   ما سبب اختلاف المسافة التي تحركتها الممحاة في كل مرة؟

عندما يتحرك جسم ما فإنه يؤثر بقوة في أي جسم آخر يحاول إيقافه أو يعيق حركته، وكلما كانت كتلة الجسم المتحرك (m) أو سرعته (v) كبيرة كانت الصعوبة في إعاقة حركته أكبر، ويعبر عن ذلك بمفهوم الزخم.

الزخم = كتلة الجسم × سرعته $P = m v \quad (1-1)$

1. ما وحدة قياس الزخم في النظام الدولي؟
2. ما العوامل التي يعتمد عليها الزخم؟
3. أثبت أن (kg.m/s) هي وحدة قياس للزخم.
4. ما العلاقة بين زخم الجسم وطاقته الحركية؟

احسب الزخم لكل مما يأتي:

1. سيارة كتلتها ⁦1000 kg⁩ تسير بسرعة ⁦20 m/s⁩ تجاه الشرق.
2. كرة كتلتها ⁦2 kg⁩ تتحرك نحو الجنوب بطاقة حركية ⁦16 J⁩.

1. $P = m v$ (للسيارة)

   $= 1000 \times 20$ $= 2 \times 10^{4}\ \text{kg.m/s}$ باتجاه الشرق

2. $K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{p^{2}}{2m}$ (للكرة)

   $p = \sqrt{2 m K}$ $= \sqrt{2 \times 2 \times 16}$ $= \sqrt{64}$ $p = 8\ \text{kg.m/s}$ (جنوباً)

يلعب الدفع دوراً مهماً في حياتنا؛ لأن له تطبيقات كثيرة، مثل دفع كرة تنس، وكرة قدم، وكرة البيسبول، وكرة بلياردو، ودفع القذيفة.

فلماذا تدفع سيارة عندما لا يعمل محركها؟ لا شك أنك تدفعها لتزيد من سرعتها إلى حد يكفي لتشغيل محركها. فلو فرضنا أنك دفعت سيارة لفترة زمنية (Δt) بقوة (F)، فإن دفع تلك القوة يعطى بالعلاقة: الدفع = متوسط القوة المؤثرة × زمن تأثيرها $I = F Δt \quad (1-2)$

1. ما وحدة قياس الدفع؟
2. ما العوامل التي يعتمد عليها الدفع؟
3. بين أن وحدة الدفع هي وحدة الزخم نفسها.
4. أذكر أمثلة أخرى على قوة تكسب الأجسام دفعاً؟

إذا أثرت مجموعة من القوى الثابتة على جسم، فإن الدفع الكلي على الجسم يساوي حاصل ضرب محصلة القوى المؤثرة في الجسم في فترة زمن تأثيرها، وتعطى من العلاقة: $I = ∑F Δt \quad (1-3)$

أما إذا أثرت قوة متغيرة على الجسم خلال فترة زمنية، فإنه يمكن تمثيل مقدار الدفع بيانياً بالمساحة المحصورة تحت منحنى (القوة - الزمن)، كما في الشكل (1-1).

ويعرف متوسط قوة الدفع: القوة الثابتة التي إذا أثرت في الجسم خلال نفس الفترة الزمنية التي تؤثر فيه القوة المتغيرة أكسبته نفس الكمية من الدفع. والشكل (2-1) يوضح ذلك.

معتمداً على بيانات الشكل (3-1)، أكمل ما يأتي:

دفع القوة F1 = .......................... زمن تأثير القوة F1 = ....................... دفع القوة F2 = .......................... زمن تأثير القوة F2 = ...................... ماذا تستنتج؟ ..............................

1. يعد الركض على الأقدام عملاً شاقاً؛ فعندما يضرب العداء الأرض بقدمه تؤثر الأرض في القدم بقوة قد تزيد عن وزنه.
2. ويصمم الحذاء الرياضي بحيث يكون نعله مزوداً بوسائد امتصاص؛ لتقليل القوة المؤثرة في القدم، من خلال إطالة زمن تأثير القوة.

نفرض أن قوة محصلة F أثرت في جسم ما كتلته (m) في زمن مقداره (Δt) فغيرت سرعته بمقدار Δv، فإن التغير في زخمه ΔP: $\Delta P = \Delta(m v) = m \Delta v$ (بفرض أن الكتلة ثابتة) وبقسمة طرفي المعادلة على الزمن ينتج: $\frac{\Delta P}{\Delta t} = \frac{m \Delta v}{\Delta t}$ وبما أن: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ (حيث a تمثل متوسط التسارع الذي يكتسبه الجسم تحت تأثير القوة) $\frac{\Delta P}{\Delta t} = m a$

$ΔP / Δt = F \quad (1-4)$ أي أن: تعد المعادلة (1-4) الصيغة العامة للقانون الثاني لنيوتن، ويمكن من خلالها تعريف القوة المحصلة بأنها: المعدل الزمني للتغير في الزخم. وبالضرب التبادلي تستنتج أن: $ΔP = F Δt \quad (1-5)$

وتعرف العلاقة (1-5) بنظرية الدفع - الزخم، وتشير إلى أن:

سيارة كتلتها ⁦1200 kg⁩ تسير بسرعة ⁦20 m/s⁩ نحو السينات الموجب، فإذا ضغط السائق على كوابح السيارة فانخفضت سرعتها إلى ⁦8 m/s⁩ في نفس الاتجاه في زمن مقداره ⁦6 s⁩، احسب متوسط القوة التي أثرت في السيارة خلال هذه الفترة.

$F \Delta t = \Delta P = P_f - P_i$ $= m v_f - m v_i$ $F \times 6 = 1200\,(8 - 20)$ $F \times 6 = -14400$ $F = -2400\ \text{N}$

الإشارة السالبة تشير إلى أن القوة المؤثرة عكس اتجاه الحركة، أي في اتجاه المحور السيني السالب.

توصلنا إلى أن التغير في زخم جسم يساوي الدفع الذي يتلقاه بفعل القوة المحصلة المؤثرة فيه خلال فترة تأثيرها.

1. فإذا كانت محصلة القوى الخارجية المؤثرة في مجموعة من الأجسام تساوي صفراً سُميت مجموعة الأجسام بالنظام المعزول.
2. والقوى الوحيدة التي تؤثر في النظام المعزول: هي القوى المتبادلة بين الأجسام أو الجسيمات داخل النظام.

بمعنى في النظام المعزول ميكانيكياً يمكن كتابة المعادلة (1-5) كما يأتي: $F \Delta t = \Delta p = p_f - p_i = 0$ $p_f = p_i$ = مقدار ثابت حيث pi، pf ترموزان لزخم النظام قبل التصادم وبعده. ويقال عند ثبوت أية كمية فيزيائية خلال أية عملية إن هذه الكمية محفوظة.

المواد والأدوات: خمس كرات فلزية أو زجاجية متماثلة، وخيوط غير قابلة للتوتر، ومادة لاصقة، وحامل. الخطوات:

• قم بتجهيز الكرات، كما في الشكل (4-1)، وانتظر حتى تسكن.
• اسحب كرة من الطرف الأيمن لمجموعة الكرات، ثم اتركها تتحرك على نحو حر، ماذا تلاحظ؟
• كرر الخطوة السابقة بإزاحة كرتين، ثم ثلاث، ماذا تلاحظ؟
• ما العلاقة بين زخم النظام (مجموعة الكرات) قبل التصادم مباشرة وبعده؟

1. من النشاط السابق، وجد أن اصطدام كرة واحدة من الطرف الأيمن بمجموعة الكرات الساكنة أدى إلى اندفاع كرة واحدة من الطرف الأيسر، ارتفاعها تقريباً يساوي ارتفاع الكرة الأولى.
2. الأمر الذي يعني اكتسابها السرعة نفسها (لماذا)؟ ويدل ذلك على أن الزخم للنظام قبل التصادم يساوي الزخم للنظام بعد التصادم.

يجلس طالب كتلته (⁦35 kg⁩) في قارب ساكن كتلته (⁦65 kg⁩)، ويحمل صندوقاً كتلته (⁦6 kg⁩) إذا قذف الولد الصندوق أفقياً بسرعة مقدارها (⁦10 m/s⁩). وبإهمال مقاومة الماء، جد سرعة القارب بعد قذف الصندوق مباشرة.

$\sum P_i = \sum P_f$ $(m_1 + m_2) v_i = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$ $0 = 6 \times 10 + 100 v_{2f}$ $v_{2f} = -0.60\ \text{m/s}$

س1: ضع دائرة حول رمز الإجابة الصحيحة فيما يلي:

1. أي الكميات الآتية تمثل (المعدل الزمني للتغير في الزخم)؟

• أ. الدفع
• ب. الشغل
• جـ. القوة
• د. التسارع

2. ما مقدار الدفع على الحائط عند اصطدام جسم كتلته ⁦2 kg⁩ يتحرك أفقياً بسرعة ⁦4 m/s⁩ بحائط وارتداده بنفس السرعة بوحدة (N.s) باتجاه معاكس لحركته؟

• أ. 8
• ب. 16
• جـ. 0
• د. 32

3. إذا مثلت العلاقة بيانياً بين الزخم لجسم على المحور الصادي والزمن على المحور السيني، ماذا يمثل ميل المنحنى؟

• أ. الزخم
• ب. مقلوب الدفع
• جـ. الطاقة الحركية
• د. القوة

4. جسم كتلته ⁦0.5 kg⁩ سقط من السكون من ارتفاع ⁦180 cm⁩ عن سطح الأرض، ما مقدار زخمه عند وصوله الأرض بوحدة (kg.m/s)؟

• أ. 5
• ب. 6
• جـ. 3
• د. 9

5. يدور قمر صناعي حول الأرض فإذا كانت كتلته (m) ومقدار سرعته (v) ثابت، فما مقدار التغير في زخمه لدى اجتيازه نصف المدار حول الأرض؟

• أ. 0
• ب. ⁦2 m⁩ v
• جـ. m v
• د. 1/⁦2 m⁩ v

6. جسم كتلته ⁦4 kg⁩ يتحرك بسرعة ⁦2 m/s⁩ أثرت عليه قوة ⁦8 N⁩ بنفس اتجاه حركته لمدة ⁦5 s⁩، كم يصبح مقدار زخمه بوحدة (kg.m/s)؟

• أ. 32
• ب. 8
• جـ. 40
• د. 48

7. كرة كتلتها ⁦0.2 kg⁩ تقترب أفقياً من مضرب لاعب بسرعة ⁦40 m/s⁩ وترتد عنه بالاتجاه المعاكس بسرعة ⁦50 m/s⁩ إذا دام التلامس ⁦0.2 s⁩، فكم يساوي مقدار متوسط القوة التي يؤثر بها المضرب على الكرة بوحدة N؟

• أ. 18
• ب. 10
• جـ. 90
• د. 2

8. في منحنى (القوة – الزمن)، ماذا تمثل المساحة تحت المنحنى؟

• أ. التغير في السرعة
• ب. التسارع
• جـ. الدفع
• د. الزخم

9. إذا دفع رجل كتلته ⁦70 kg⁩ يقف على أرض جليدية أفقية ولداً ساكناً كتلته ⁦50 kg⁩، فكم يساوي التغير في زخم الرجل والولد معاً بوحدة (kg.m/s)؟

• أ. 0
• ب. 100
• جـ. 140
• د. 240

10. إذا علمت مقدار الدفع المؤثر على جسم كتلته (m)، فأي مما يأتي تستطيع حسابه؟

• أ. سرعته الابتدائية
• ب. سرعته النهائية
• جـ. تسارعه
• د. التغير في سرعته

11. قذيفة كتلتها ⁦2 kg⁩ انطلقت أفقياً بسرعة ⁦200 m/s⁩ من فوهة مدفع ساكن كتلته ⁦500 kg⁩، ما سرعة ارتداد المدفع بوحدة (m/s)؟

• أ. 1.25
• ب. 0.75
• جـ. 0.8
• د. 2.5

س2: وضح المقصود بكل من: الزخم، والدفع، والنظام المعزول.

س3: علل:

1. تنكسر بيضة نيئة إذا سقطت من ارتفاع ما باتجاه أرض صلبة من الإسمنت وقد لا تنكسر البيضة نفسها إذا وقعت على أرض رملية من نفس الارتفاع.
2. تكون مواسير بنادق الصيد طويلة.
3. سرعة ارتداد المدفع أقل بكثير من سرعة انطلاق القذيفة.

س4: أثرت قوة مقدارها ⁦15 N⁩ في جسم، ودام تأثيرها ⁦7 s⁩، احسب:

• أ. الدفع الذي أثر في الجسم.
• ب. الزمن اللازم لقوة مقدارها ⁦1.5 N⁩ تؤثر في الجسم ويكون لها نفس دفع القوة الأولى.

س5: ضرب لاعب كرة ساكنة كتلتها ⁦0.6 kg⁩، فانطلقت بسرعة ⁦15 m/s⁩، احسب:

• أ. التغير في زخم الكرة.
• ب. متوسط القوة التي أثر بها اللاعب على الكرة إذا دام التلامس ⁦0.06 s⁩.

س6: أثرت قوة لمدة ⁦0.6 s⁩ على جسم، فازداد زخمه بمقدار ⁦12 kg.m/s⁩، احسب متوسط القوة المؤثرة.

س7: سائق سيارة كتلته ⁦80 kg⁩ يقود سيارة بسرعة ⁦25 m/s⁩ شاهد حيواناً على الطريق، فضغط على الكوابح، ليتفادى الاصطدام بالحيوان، فاندفع إلى الأمام إلا أن حزام الأمان أوقفه عن الحركة خلال ⁦0.5 s⁩، أجب عما يأتي:

1. ما متوسط القوة التي أثر بها حزام الأمان في السائق؟
2. ما متوسط القوة التي سيؤثر بها المقود في السائق عند ارتطامه به خلال ⁦0.001 s⁩ في حالة عدم وضع حزام الأمان؟
3. ماذا تستنتج من خلال إجابتك عن الفرعين السابقين؟

س8: تسير سيارة كتلتها ⁦600 kg⁩ بجانب متسابق وبسرعة ⁦9 km/h⁩، إذا كانت كتلة المتسابق ⁦60 kg⁩

• ما مقدار زخم كل من السيارة والمتسابق؟
• هل يمكن أن يركض المتسابق بحيث يكون له زخم السيارة نفسه؟ علل إجابتك.

س9: في الشكل تقترب سيارة كتلتها ⁦1600 kg⁩ من جدار وترتد عنه في الاتجاه المعاكس، فما:

1. التغير في زخم السيارة.
2. الطاقة الحركية المفقودة.

س10: جسم كتلته (⁦2 kg⁩) يتحرك بسرعة (⁦5 m/s⁩) على سطح أفقي أملس، أثرت عليه قوة متغيرة، مثلت بيانياً مع الزمن كما في الشكل المجاور، بالاعتماد على البيانات المثبتة عليه، جد:

1. دفع القوة خلال ⁦4 s⁩، ⁦6 s⁩.
2. أكبر سرعة يمكن أن يمتلكها الجسم في نفس اتجاه حركته.
3. زمن توقف الجسم.
4. متوسط القوة المؤثرة من بداية تأثيرها وحتى سكون الجسم.