نظرية الكم

إن الفيزياء الكلاسيكية التي درست حركة الأجسام، ووضعت النظريات والقوانين التي سمحت لها بتفسير كثير من الظواهر الطبيعية من حركة الأجسام المنتظمة والمتسارعة إلى حركة الكواكب وغيرها؛ من الظواهر التي كانت معروفة في ذلك الوقت، ومع بداية القرن العشرين ظهر عجز الفيزياء الكلاسيكية عن تفسير بعض الظواهر مثل: إشعاع الجسم الأسود، والظاهرة الكهروضوئية، وانبعاث خطوط الطيف وغيرها؛ مما دفع العلماء إلى التفكير بطرق جديدة في تفسير هذه الظواهر، التي أسهمت في بناء الفيزياء الحديثة التي تعالج العالم المجهري.

فمن هم العلماء الذين وضعوا هذه النظريات؟ وما أهم النظريات في الفيزياء الحديثة؟ وما الأساس الذي تم الاعتماد عليه في هذه النظريات؟

يتوقع من الطلبة بعد دراستهم هذا الفصل والتفاعل مع أنشطته أن يكونوا قادرين على تطبيق مفاهيم الفيزياء الحديثة ونظرية الكم في حل مسائل متعلقة في ظاهرة إشعاع الجسم الأسود وظاهرة التأثير الكهروضوئي وبعض التطبيقات العملية عليه من خلال تحقيق الآتي:

• التعرف إلى نظرية الكم.
• تفسير الظاهرة الكهروضوئية.
• دراسة تطور النماذج الذرية.
• تفسير الأطياف الذرية بدلالة نموذج بور لذرة الهيدروجين.
• توضيح المقصود بمبدأ اللايقين.
• حل مسائل متنوعة على القوانين والعلاقات الرياضية.

أناقش:

• ما المقصود بالطبيعة المزدوجة للضوء؟
• رتب ألوان الطيف المرئي تنازلياً من حيث طول الموجة؟
• لماذا يظهر الجسم أسود؟

نشاهد اختلاف التوهج في كثير من التطبيقات الحياتية مثل ماكينة اللحام، كما في الشكل (1-9).

من المعروف أن الجسم الساخن يصدر حرارة، وينبعث منه أشعة كهرومغناطيسية تسمى الإشعاع الحراري، وأن شدة الإشعاع الحراري للجسم الساخن تعتمد على درجة حرارته وعلى خصائص سطحه، كما أن الجسم الساخن يتخذ لوناً معيناً وفقاً لدرجة حرارته، مثل الضوء المنبعث من مصابيح التنجستن.

ولتسهيل دراسته قام العالم كيرتشوف بافتراض وجود جسم أسود مثالي يمتص جميع الأشعة الساقطة عليه عندما يكون بارداً، ويشع الضوء عندما يسخن على شكل طيف متصل من الأطوال الموجية أو الترددات المختلفة، ويمكن تمثيل الجسم الأسود المثالي بصندوق مجوف له ثقب صغير، فإذا سقط شعاع إلى داخل الصندوق من خلال الثقب، فإن الشعاع ينعكس عدة انعكاسات داخلية على جدران الصندوق الداخلي؛ حتى يتم امتصاصه بالكامل كما في الشكل (2-9).

لا شك أن ظاهرة إشعاع الجسم الأسود نلاحظها في حياتنا اليومية، فعند تسخين جسم ما مثل الحديد نلاحظ أن الجسم عندما ترتفع حرارته يبدأ في إشعاع لون قريب من اللون الأحمر، عندها تكون درجة حرارة الجسم تقارب 700 درجة سلسيوس، ثم بزيادة الحرارة يتحول إلى اللون البرتقالي، وهكذا حتى يصل إلى اللون الأبيض، الذي يدل على أن الجسم وصل إلى درجة حرارة 1200 درجة سلسيوس، كما في فتيلة المصباح الكهربائي التي تعطي الضوء الأبيض. إن طبيعة الإشعاع الصادر عن الجسم الأسود المثالي يعتمد فقط على درجة حرارة الجسم، وليس على المادة المصنوع منها جدران التجويف.

لدراسة الإشعاع المنبعث من الجسم الأسود عند درجة حرارة معينة نستخدم كاشفاً يقيس علاقة شدة الإشعاع بالطول الموجي، كما في الشكل (3-9).

ومن ثم نرسم النتائج بيانياً فنحصل على المنحنى الموضح بالشكل (4-9)، الذي يوضح كيفية تغير شدة إشعاع الجسم الأسود مع درجة الحرارة والطول الموجي، وذلك عند ثلاث درجات حرارة مختلفة.

ومن نتائج التجارب العملية وجد أن الإشعاع المنبعث من الجسم الأسود له طيف متصل، واعتماداً على الرسم البياني يلاحظ ما يأتي:

1. أن هناك توزيعاً معيناً لشدة الإشعاع المنبعث من الجسم الأسود كاقتران في الطول الموجي، حيث تؤول شدة الإشعاع الطيفية إلى الصفر في منطقة الأمواج القصيرة والأمواج الطويلة.
2. ينزاح طول موجة الإشعاع القصوى نحو اليسار باتجاه الطول الموجي الأقصر، وذلك بارتفاع درجة الحرارة.

وقد توصل العالم فين إلى قانون سمي باسمه (قانون فين للإزاحة) الذي ينص على:

أي بازدياد درجة الحرارة تنزاح القمة نحو الأطوال الموجية القصيرة، وتفسر هذه العلاقة اختلاف لون الوهج الذي ينبعث من الجسم باختلاف درجة حرارته.

حيث: $\lambda_{\text{max}}$: الطول الموجي الذي تكون عنده شدة الإشعاع أكبر ما يمكن، وتقاس بالمتر. T: درجة الحرارة المطلقة بوحدة كلفن.

ولماذا؟

3- تزداد القيمة القصوى للإشعاع المنبعث بزيادة درجة الحرارة. وقد تم توضيح هذا التأثير بوساطة قانون ستيفان- بولتزمان:

حيث I: شدة الإشعاع هي الطاقة الكلية المشعة من المتر المربع الواحد من سطح الجسم في الثانية الواحدة. $I = \frac{\text{معدل طاقة الإشعاع}}{\text{المساحة}}$

وتقاس شدة الإشعاع بوحدة $W/m^2$. $\sigma$: ثابت ستيفان بولتزمان ويساوي $5.670 \times 10^{-8} W/m^2 K^4$. $e$: ثابت إشعاعية السطح حيث قيمة $e$ تتغير بين الصفر والواحد الصحيح اعتماداً على خواص سطح الجسم، وتكون للسطوح الخشنة أكبر منها للسطوح الملساء، وقيمة $e$ للجسم الأسود المثالي = 1.

جسم أسود مثالي درجة حرارة سطحه $27^{\circ}C$، فما:

1. طول موجة الإشعاع القصوى؟
2. شدة إشعاع الجسم الأسود؟
3. معدل الطاقة المنبعثة من $2m^2$؟

1. $\lambda_{\text{max}} T = 2.898 \times 10^{-3}$

$\lambda_{\text{max}} (27 + 273) = 2.898 \times 10^{-3}$ $\lambda_{\text{max}} = 9.66 \times 10^{-6} m$

2. $I = \sigma e T^4$

$I = 5.670 \times 10^{-8} (1) 300^4$ $I = 459.27 W/m^2$

3. $I = \frac{P}{A}$

$459.27 = \frac{P}{2}$ معدل طاقة الإشعاع = $918.54 W$

a-1-9 Classical Physics and Blackbody Radiation

كيف فسرت الفيزياء الكلاسيكية ظاهرة إشعاع الجسم الأسود؟ وهل نجحت في ذلك؟ لقد حاول العلماء تفسير النتائج التجريبية التي نتجت عن دراسة إشعاع الجسم الأسود باستخدام النظرية الموجية الكلاسيكية التي طورها العالم ماكسويل، التي تعد أن الضوء عبارة عن أمواج كهرومغناطيسية، وأثبتت نجاحها في كثير من الظواهر، وقد قام العالمان رايلي وجينز استناداً إلى نظرية ماكسويل بوضع نظرية لتفسير ظاهرة إشعاع الجسم الأسود، وافترضا أن الجسم الأسود مكون من عدد كبير من المتذبذبات المشحونة (الجزيئات المهتزة) التي تتحرك حركة توافقية بسيطة مطلقة أشعة كهرومغناطيسية أثناء حركتها.

وأن طاقة المتذبذبات المشحونة، التي هي سبب انبعاث الإشعاع من المادة، مسموح لها أن تأخذ أية قيمة، وبذلك يكون الإشعاع المنبعث أو الممتص سيلاً مستمراً ومتصلاً، وأن التوزيع الطيفي لإشعاع الجسم الأسود يكون على الصورة:

حيث تربط العلاقة بين شدة الإشعاع والطول الموجي، وتنص على أن:

من خلال الشكل (5-9) يمكن المقارنة بين النتائج العملية لإشعاع الجسم الأسود والنتائج النظرية، فعند الأطوال الموجية الطويلة يكون قانون رايلي وجينز على اتفاق مع النتائج العملية، ولكن عند الأطوال الموجية القصيرة يتضح عدم الاتفاق، فعندما تقترب $\lambda$ (الطول الموجي) من الصفر فإن شدة الإشعاع ستقترب من اللانهاية، وهذا يناقض النتائج العملية التي تبين أنه عندما تقترب $\lambda$ (الطول الموجي) من الصفر، فإن شدة الإشعاع تقترب من الصفر أيضاً، هذا التناقض بين النتائج النظرية والعملية سمي كارثة الأشعة فوق البنفسجية؛ لأنها تقع في منطقة الأمواج القصيرة.

في عام 1900م تمكن بلانك من تفسير منحنى إشعاع الجسم الأسود، فقد افترض بلانك أن إشعاع الجسم الأسود ناتج عن متذبذبات كهربائية، وتجويف الجسم الأسود يتكون من عدد كبير من المتذبذبات التي تتذبذب بترددات مختلفة، وهذه المتذبذبات تمتلك قيماً محددة من الطاقة، تعتمد على التردد، وطاقتها تحسب من العلاقة:

حيث E: طاقة الكمية، وتقاس بالجول (J)، وغالباً ما تستخدم وحدة الإلكترون فولت (eV) لحساب طاقة الكمية. $1 eV = 1.6 \times 10^{-19} J$ حيث: $n$: عدد صحيح موجب يعرف بالعدد الكمي (Quantum number) $n = 1, 2, 3, ...$ $h$: مقدار ثابت، ويعرف بثابت بلانك، وتم التوصل إلى قيمته من خلال التجارب العملية، ويساوي $6.626 \times 10^{-34} J.s$

$f$: تردد الجسم المهتز، ويقاس بوحدة الهيرتز (Hz) كما افترض أن المتذبذبات تبعث أو تمتص الطاقة فقط، عندما تنتقل من مستوى طاقة مكمأة إلى أخرى، ومقدار الطاقة يساوي مقداراً محدداً، وهو الفرق بين طاقة المستويين، فإذا كان الانتقال من أحد المستويات إلى مستوى أدنى (من المستوى $n=3$ إلى المستوى $n=2$) فإن كمية الطاقة المنبعثة تعطى بالعلاقة:

ويبين الشكل (6-9) مستويات الطاقة المكمأة والانتقالات المسموحة المقترحة بواسطة بلانك.

ولتوضيح هذه الفرضيات، لنفرض أن جسماً موضوعاً على سطح مائل، فإن طاقة وضعه تأخذ أية قيمة بناءً على ارتفاعها عن سطح الأرض. بينما الجسم الموضوع على سطح درج، فإن طاقة وضعه تأخذ قيماً محددة (متقطعة) كما في الشكل (7-9).

1. استطاع بلانك بناءً على تكمية الطاقة تخطي كارثة الأشعة فوق البنفسجية، وقد تطابقت افتراضاته مع النتائج التجريبية لإشعاع الجسم الأسود، حيث ينبعث الإشعاع من الجسم الساخن نتيجة تذبذبات ذراته، على شكل كمات محددة من الطاقة، يعتمد مقدارها على تردد تذبذبات الذرة.
2. وعند درجة الحرارة الواحدة لا تهتز الذرات جميعها بالتردد نفسه، وعليه فلا توجد ذرات كثيرة تتذبذب بترددات عالية أو ترددات منخفضة، وهذا ما يفسر نقصان الطاقة في منطقة الأطوال الموجية القصيرة والطويلة، أما الجزيئات ذات الترددات المتوسطة فتكون كثيرة؛ وهذا ما يفسر ارتفاع شدة الطاقة عند هذه الترددات.

كان فرض بلانك قائماً على أساس تكمية الطاقة للمتذبذبات، وهي أن الذرات تمتص الطاقة (الإشعاع) على شكل حزم، ولم يذكر أن الإشعاع بحد ذاته يوجد على شكل حزم، إنما تمتصها الذرات فقط على شكل حزم، وبعد خمس سنوات من نظرية بلانك أي في عام 1905م استطاع آينشتاين تطبيق مفهوم الطاقة المكمأة على أمواج الضوء الكهرومغناطيسية أيضاً، حيث أثبت: أن الطاقة الضوئية تمتص أو تشع بوحدات منفصلة تسمى كمات نتيجة انتقال الإلكترون من مدار إلى مدار آخر، وتسمى هذه الكمات بالفوتونات، ولكل فوتون تردده الخاص، وتحسب طاقته من المعادلة:

حيث E: طاقة الفوتون $\lambda$: الطول الموجي $c$: سرعة الضوء في الفراغ وتساوي ($3 \times 10^8 m/s$)

وهذا يعني أن الإشعاعات الصادرة من الجسم الأسود ليست إشعاعات مستمرة، وإنما هي عبارة عن مجموعة من الفوتونات، ولكل فوتون طاقة تعتمد على التردد. وقد استخدم آينشتاين فكرته هذه في تفسير ظاهرة أخرى حيرت الفيزيائيين، وهي ظاهرة التأثير الكهروضوئي التي سنناقشها فيما بعد.

احسب الطاقة بوحدة الجول والإلكترون فولت لفوتون الضوء الأحمر وطوله الموجي $635 nm$.

$\Delta E = h f = h \frac{c}{\lambda}$ $\Delta E = 6.626 \times 10^{-34} \times \frac{3 \times 10^8}{6.35 \times 10^{-7}} = 3.13 \times 10^{-19} J$ $\Delta E = \frac{3.13 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.96 eV$

في طيف الإشعاع الشمسي فوتون طاقته ($2.7 eV$)، ما تردد الفوتون؟

$\Delta E = h f$ $2.7 \times 1.6 \times 10^{-19} = 6.626 \times 10^{-34} \times f$ $f = 6.6 \times 10^{14} Hz$

المواد والأدوات: كشاف كهربائي، وساق أبونايت، وقطعة من الصوف، وقطعة مستطيلة الشكل من الخارصين، ومصباح ضوئي، ومصباح فوق بنفسجي. الخطوات:

1. صل قطعة الخارصين بقرص الكشاف.
2. اشحن ساق الأبونايت عن طريق دلكه بقطعة الصوف، (ما نوع الشحنة المتولدة عليه؟)
3. قرب الساق من قطعة الخارصين، ولاحظ انفراج ورقتي الكشاف، ما نوع الشحنة على الخارصين؟
4. المس قرص الكشاف لتنطبق ورقتاه، ثم سلط المصباح الضوئي على قطعة الخارصين، ماذا تلاحظ؟
5. سلط أشعة المصباح فوق البنفسجية على قطعة الخارصين، ولاحظ انفراج ورقتي الكشاف.

ماذا حدث عندما تم تسليط الأشعة على لوح الخارصين؟ ماذا تستنتج؟ ماذا تسمى هذه الظاهرة؟

لاحظ العالم هيرتز أثناء إجرائه بعض التجارب للتحقق من نظرية ماكسويل للأمواج الكهرومغناطيسية أنه عند تسليط ضوء فوق بنفسجي على سطح قرص كشاف كهربائي لفلز معين تغير انفراج ورقتي الكشاف، وفسر ذلك بانبعاث إلكترونات من سطح الفلز.

أطلق على هذه الظاهرة ظاهرة التأثير الكهروضوئي:

وسميت الإلكترونات المتحررة بالإلكترونات الضوئية.

عملياً تستخدم الدارة الكهربائية الموضحة بالشكل (8-9) لدراسة ظاهرة التأثير الكهروضوئي، التي تحتوي على خلية كهروضوئية، تتكون من أنبوب زجاجي مفرغ من الهواء، يحتوي على صفيحة فلزية متصلة بالقطب السالب للبطارية، وتسمى المهبط (الباعث)، وساق فلزي آخر يتصل بالقطب الموجب للبطارية، ويسمى المصعد (الجامع)، فعند وضع الجهاز في غرفة مظلمة يقرأ الأميتر صفراً؛ ليدل على عدم وجود تيار في الدارة، وعند سقوط ضوء طاقته كافية لتحرير الإلكترونات من المهبط، فإنها ستنبعث منه متجهة إلى المصعد نتيجة وجود فرق في الجهد الكهربائي بين المصعد والمهبط؛ مما يؤدي إلى مرور تيار كهروضوئي؛ فينحرف مؤشر الأميتر. ويبين الشكل (9-9) العلاقة بين شدة التيار المار وفرق الجهد الموجب عند ثبوت شدة الضوء الساقط، حيث يزداد التيار ليصل إلى قيمة عظمى يثبت عندها، ويسمى تيار الإشباع ($I_1$). أما إذا تم عكس الجهد الكهربائي للمصعد عن طريق عكس قطبي البطارية وزيادة الجهد السالب، فإنه ينشأ مجال كهربائي يعاكس حركة الإلكترونات المنبعثة، وبزيادة فرق الجهد تدريجياً، فإن شدة التيار الكهروضوئي تتناقص تدريجياً؛ لأن الإلكترونات تتعرض إلى قوة معاكسة لاتجاه حركتها، وبذلك تقل سرعتها، فلا تصل إلى القطب الموجب إلا الإلكترونات التي تمتلك طاقة حركية كافية تمكنها من التغلب على قوة المجال، وعندما يصبح أسرع الإلكترونات غير قادر للوصول للمصعد فإن التيار ينعدم عند قيمة معينة تعرف بجهد الإيقاف أو القطع ($V_0$)، وهو أقل جهد يلزم لإيقاف أسرع الإلكترونات من الوصول للمصعد. وعند زيادة شدة الضوء الساقط نحصل على المنحنى الثاني، وتكون شدة التيار ($I_2$)، ويلاحظ أن جهد القطع لا يعتمد على شدة الضوء.

وللتعرف إلى تفسير ظاهرة التأثير الكهروضوئية من وجهة نظر النظرية الموجية للضوء (الكلاسيكية) ونظرية الفوتون (الكمية)، فإن النظرية الموجية تتنبأ (تفترض) ما يأتي:

1. عند زيادة شدة الضوء، تزداد الطاقة الحركية القصوى للإلكترونات المنبعثة؛ وذلك لأن زيادة شدة الضوء تعني زيادة اتساع المجال الكهربائي الذي يسبب انبعاث الإلكترونات بسرعات أعلى.
2. تردد الضوء لا يؤثر في الطاقة الحركية للإلكترونات المنبعثة.
3. إذا كانت شدة الضوء ضعيفة جداً، فإن الإلكترون يستغرق وقتاً طويلاً لامتصاص كمية الطاقة اللازمة لانبعاثه.

أما بحسب نظرية الفوتون:

1. إذا كان تردد الضوء الساقط $f$ أقل من تردد ما يسمى تردد العتبة $f_0$، فلا تتحرر إلكترونات من سطح الفلز مهما كانت شدة الضوء؛ وذلك لأن زيادة شدة الضوء تعني زيادة عدد الفوتونات دون تغير في طاقة أي منها.
2. عند تسليط ضوء تردده أكبر من $f_0$، تتحرر إلكترونات مهما كانت شدة الضوء، وعند زيادة تردد الضوء الساقط

   (باستبداله بضوء آخر) تزداد الطاقة الحركية القصوى للإلكترونات المنبعثة، والشكل (10-9) يوضح العلاقة بين الطاقة الحركية القصوى للإلكترونات المنبعثة والتردد.

3. إن نظرية الفوتون لا تتوقع تأخيراً في تحرر الإلكترون من سطح الفلز، لأن كل فوتون يحرر إلكتروناً واحداً فقط، خلال فترة زمنية قصيرة جداً لا تتجاوز ($10^{-9} s$).

وفقاً لنظرية آينشتاين، يتم تحرير الإلكترون من الفلز عن طريق الاصطدام بفوتون واحد خلال فترة زمنية صغيرة جداً، وبما أن الإلكترونات تستقر في الفلز بفعل قوى الجذب، فإنه يلزم حد أدنى من الطاقة لتحرير (أو انبعاث) الإلكترون من خلال السطح تسمى اقتران الشغل ($\phi$)، وإذا كان تردد الضوء الساقط ($f$) منخفضاً وطاقته ($hf$) أقل من اقتران الشغل ($hf_0 = \phi$) فلا تتحرر الإلكترونات. وأما إذا كانت طاقة الفوتون أكبر من اقتران الشغل تنبعث الإلكترونات من سطح الفلز، وتكون الطاقة محفوظة في هذه العملية. أي أن:

طاقة الفوتون = اقتران الشغل + الطاقة الحركية القصوى $h f = \phi + K_{\text{max}} \quad (9-7)$

عند سقوط الأشعة على سطح الفلز تخترق هذا السطح إلى عمق بضع ذرات، أي أن الظاهرة الكهروضوئية تحدث عند طبقات من الذرات على أعماق مختلفة من سطح الفلز، والإلكترونات المتحررة من جميع الطبقات تمتلك طاقة حركية واحدة لحظة تحررها، ولكن الإلكترونات التي تتحرر من طبقة داخلية تتصادم مع ذرات تقع قبلها وتعترض طريقها، فتفقد جزءاً من طاقتها، وبذلك تقل طاقتها الحركية، بعكس الإلكترونات المتحررة من السطح، التي تكون طاقة حركتها قيمة قصوى. أي أن العلاقة الرياضية المعبرة عن طاقة الحركة:

حيث $q_e$: شحنة الإلكترون، $V_0$: جهد الإيقاف (القطع). ويبين الجدول المجاور بعض القيم لاقتران الشغل لعدة عناصر.

اعتماداً على الشكل المجاور:

1. ماذا يمثل المقطع السيني؟
2. ماذا يمثل المقطع الصادي؟
3. لماذا يكون المنحنيان متوازيين؟

سقط ضوء تردده ($1 \times 10^{15} Hz$) على سطح صوديوم، فانطلقت إلكترونات ضوئية ذات طاقة حركة قصوى تساوي $1.78 eV$، احسب تردد العتبة للصوديوم.

$h f = \phi + K_{\text{max}}$ $6.626 \times 10^{-34} \times 1 \times 10^{15} = \phi + 1.78 \times 1.6 \times 10^{-19}$ $\phi = 3.778 \times 10^{-19} J$ $\phi = h f_0$ $3.778 \times 10^{-19} = 6.626 \times 10^{-34} \times f_0$ $f_0 = 5.7 \times 10^{14} Hz$

هناك كثير من الأجهزة العملية التي تعتمد في تصنيعها على الظاهرة الكهروضوئية، وتُعد الوصلة الثنائية أحد مكونات هذه الأجهزة التي تتأثر بالظاهرة الكهروضوئية حيث إن امتصاص الفوتونات يؤدي إلى انبعاث الإلكترونات، وبالتالي تتغير قدرة الوصلة الثنائية على التوصيل، ومن هذه الأجهزة جهاز الإنذار والبوابات الإلكترونية، والمقياس الضوئي المستخدم في الكاميرا، الذي يعمل على قياس مستوى الضوء، وبالتالي التحكم في اتساع فتحة الكاميرا.

وكذلك يمكن الربط بين الظاهرة الكهروضوئية وما يحدث في عملية البناء الضوئي، فكيف يتم ذلك؟ يسقط الضوء على النبات، حيث تحتاج صبغة الكلورفيل إلى تسعة فوتونات من ضوء الشمس لتحويل جزيء واحد من ثاني أكسيد الكربون إلى كربوهيدرات نافعة وغاز أكسجين.

هل عدد الفوتونات في $1 J$ من الضوء الأحمر أكبر من عدد الفوتونات في $1 J$ من الضوء الأزرق أم يساويه، أم أصغر منه؟ وضح ذلك.

ما السبب في تحرر إلكترونات من سطح فلز عند سقوط ضوء معين عليها دون آخر، لتجيب عن ذلك إليك النشاط التالي:

المواد والأدوات: مسار مقوس كما هو موضح بالشكل، وكرات فلزية أو زجاجية، وورق لاصق بالألوان (أحمر، وبرتقالي، وأصفر، وأخضر، وأزرق، بنفسجي). الخطوات:

• ضع المسار المقوس على سطح طاولة كما هو موضح بالشكل المجاور.
• قم بتقسيم المسار مبتدئاً من قاعدة المسار وعلى ارتفاع ⁦4 cm⁩ وضع إشارة باللاصق الأحمر، ثم ضع إشارة باللاصق البنفسجي في أعلى المسار وعلى ارتفاع ⁦14 cm⁩ من القاعدة.
• قم بوضع إشارات ملونة بين اللونين الأحمر والبنفسجي، ويفصل بينها ⁦2 cm⁩ كما بالشكل.
• ضع الكرتين الفلزيتين على الجزء السفلي من المسار، حيث تمثل هذه الكرات إلكترونات المدار الأخير للذرة.
• امسك بكرة أخرى عند الموضع المشار إليه باللون الأحمر على المسار، حيث تمثل هذه الكرة فوتون الضوء الأحمر، الذي يمتلك أقل طاقة مقارنة بالألوان الأخرى.
• اترك الكرة تسقط، ولاحظ ماذا يحدث للكرتين في أسفل المسار، ثم كرر ذلك لكل لون مشار إليه على المسار.
• عند أي لون استطاعت الكرة المنزلقة إخراج الكرات أسفل المسار؟
• هل هناك ارتفاع معين استطاعت عنده الكرة المنزلقة من إخراج الكرتين معاً من المسار؟
• فسر ما لاحظته في ضوء نظرية الفوتون لآينشتاين.

1. ما المقصود بالذرة؟
2. ما مكونات الذرة؟
3. ما شحنة نواة الذرة؟

لقد مر وصف تركيب الذرة بنماذج متنوعة عبر فترات مختلفة، فقد وضع العالم تومسون التصور الأول للنموذج الذري عام 1898م، حيث وصف الذرة بأنها كرة مصمتة موجبة الشحنة، تتوزع داخلها الشحنات السالبة بشكل عشوائي، كما في الشكل (11-9).

ولكن هذا النموذج فشل في تفسير تصرف أشعة ألفا وتشتتها في تجربة رذرفورد. ففي عام 1911 حصل رذرفورد وزملاؤه على نتائج تجارب تتناقض مع تصور تومسون للذرة، حيث قام بتجربته الشهيرة التي قذف فيها صفيحة رقيقة من الذهب بجسيمات ألفا الموجبة الشحنة (نواة ذرة الهيليوم $He_2^4$) وحصل على النتائج الآتية:

• بعض جسيمات ألفا انحرفت عن مسارها وكأنها تنافرت مع جسم ثقيل مشابه لها في الشحنة، وكانت هذه الانحرافات غير متوقعة كلياً حسب نموذج تومسون، لماذا؟
• معظم جسيمات ألفا لم تنحرف، مما يدل على أنها تسير في فراغ.
• عدد قليل من جسيمات ألفا ارتدت إلى الخلف، مما يدل على اصطدامها مباشرة بجسيمات موجبة الشحنة.

في ضوء ذلك وضع رذرفورد نموذجه الذري الذي افترض فيه أن معظم حجم الذرة فراغ وتتمركز كتلتها في حيز صغير جداً يسمى النواة وتحمل شحنة موجبة، وتحيط بها الإلكترونات السالبة في مدارات حول النواة. ومع ذلك واجه نموذج رذرفورد لعدة انتقادات منها:

1. أن الإلكترونات أثناء دورانها حول النواة سوف تتسارع، وبالتالي تشع طاقة وفق النظرية الكهرومغناطيسية؛ مما يؤدي إلى فقدانها للطاقة، وسقوطها في النواة، فينهار النموذج الذري لرذرفورد.
2. كما أنه بإشعاع الذرات للطاقة فإنه سوف ينبعث ضوء مستمر، ولكن التجارب العملية بينت فيما بعد أن ذرات العناصر عند إشعاعها للطاقة تطلق خطوط الطيف الخطي.

   ولأن نموذج رذرفورد لم يكن كافياً لفهم السلوك الذري وأطياف الذرات؛ فقد قام العالم بور بوضع نموذج جديد استطاع بواسطته تفسير أطياف الذرات.

تضمن نموذج بور مزيجاً من مبادئ الفيزياء الكلاسيكية، ونظرية الكم لبلانك، ونظرية الفوتونات لآينشتاين، ونموذج رذرفورد للذرة، وقام النموذج على عدة فروض منها:

1. أن الإلكترون يدور حول النواة في مدارات دائرية تحت تأثير قوة الجذب الكهربائية بين البروتون الموجب والإلكترون السالب.
2. تتواجد الإلكترونات في مستويات محددة من الطاقة ذات أنصاف أقطار ثابتة، ولا تشع أية كمية من الطاقة ما دامت في نفس المستوى.
3. يحدث إشعاع للطاقة عندما ينتقل الإلكترون من مستواه إلى مستوى آخر أقل طاقة، ويكون مقدار الطاقة المنبعثة مساوياً لفرق طاقة الإلكترون في المستويين، ويكون هذا الإشعاع على هيئة كمات (فوتونات) تحسب طاقتها من العلاقة:

4. الزخم الزاوي للإلكترونات كمية مكماة تساوي مضاعفات صحيحة للمقدار $\frac{h}{2\pi}$

حيث $h$: ثابت بلانك، $L$: كمية التحرك الزاوية، $r_n$: نصف قطر مدار الإلكترون

1- حساب نصف قطر مدار الإلكترون حول النواة بتربيع الفرض الرابع لبور: $m v r_n = n \frac{h}{2\pi}$ $m^2 v^2 r_n^2 = n^2 \frac{h^2}{4\pi^2}$ وتعويض السرعة من الفرض الأول لبور في المعادلة السابقة $v^2 = k \frac{q^2}{r_n m}$ $r_n = n^2 \frac{h^2}{4\pi^2 k q^2 m}$ وبتعويض الثوابت ينتج $r_1 = \frac{h^2}{4\pi^2 k q^2 m} = 0.529 \times 10^{-10} m$ $r_n = n^2 r_1 \quad (9-12)$ $n$: رقم المدار المتواجد فيه الإلكترون $r_n$: نصف قطر المدار ($n$) للإلكترون $r_1$: نصف قطر بور (نصف قطر المدار الأول) ويساوي $0.529 \times 10^{-10} m$ تنبأت نظرية بور بقيمة نصف قطر ذرة الهيدروجين استناداً إلى القياسات العملية، وكانت هذه النتيجة نجاحاً لنظرية بور، حيث توضح هذه المعادلة أن أنصاف أقطار المدارات المسموحة تمتلك قيماً محددة، أي أنها مكماة. ويوضح الشكل (12-9) مدارات بور الثلاثة الأولى.

إن كل إلكترون يتحرك في مداره يمتلك طاقة محددة تساوي مجموع طاقتي الوضع والحركة، حيث: $E_n = K + U$ $E_n = \frac{1}{2} m_e v^2 - \frac{k q^2}{r_n}$ بتعويض السرعة من الفرض الأول لبور $m_e \frac{v^2}{r_n} = k \frac{q^2}{r_n}$ $E_n = \frac{1}{2} m_e v^2 - \frac{k q^2}{r_n}$ $E_n = \frac{1}{2} \frac{k q^2}{r_n} - \frac{k q^2}{r_n} = -\frac{1}{2} \frac{k q^2}{r_n}$ وبتعويض الثوابت $r_n = n^2 r_1$ والقسمة على شحنة الإلكترون $q$ للتحويل من جول إلى إلكترون فولت ينتج: $E_n = \frac{E_1}{n^2} \quad (9-13)$ حيث طاقة الإلكترون في المستوى الأول ($E_1$) تساوي ($-13.6 eV$) وهذه المعادلة تبين أن مدارات الطاقة مكماة أيضاً. لاحظ أن $K = |E_n|$, $U = 2E_n$

لحساب الطول الموجي للفوتون المنبعث عندما ينتقل إلكترون من مدار لآخر، وبأخذ القيمة الموجبة للفرق في الطاقة بين المدارين: $\Delta E = E_i - E_f = h f$ $\Delta E = E_i - E_f = h \frac{c}{\lambda}$ $\Delta E = \frac{E_1}{n_i^2} - \frac{E_1}{n_f^2} = h \frac{c}{\lambda}$ $E_1 (\frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2}) = h \frac{c}{\lambda}$

بالضرب في $q_e$ للتحويل من إلكترون فولت إلى جول $\frac{1}{\lambda} = \frac{E_1 q}{h c} (\frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2}) = R (\frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2})$ $\frac{1}{\lambda} = R (\frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2}) \quad (9-14)$ حيث $n_i$: رقم مستوى الطاقة الأدنى، $n_f$: رقم مستوى الطاقة الأعلى ويسمى الثابت ($R$) بثابت ريدبيرج ويساوي $1.097 \times 10^7 m^{-1}$ وتسمى هذه المعادلة بمعادلة بور النظرية، ويسمى المقدار $\frac{1}{\lambda}$ الرقم الموجي.

تُعد ذرة الهيدروجين أبسط الذرات، حيث تحتوي على إلكترون واحد في مدارها، كما أنه يوجد لها أبسط طيف ذري، ففي عام 1885 توصل العالم بالمر إلى صيغة رياضية لحساب الأطوال الموجية لخطوط الطيف المرئي لذرة الهيدروجين، حيث لاحظ أربعة خطوط مضيئة تفصل بينها مسافات، ويقل التباعد بينها بانتظام، وهي ناتجة عن انتقال إلكترونات من مستويات عليا إلى المستوى ($n=2$) وتظهر بالألوان: أحمر $H_{\alpha}$، وأخضر $H_{\beta}$، وأزرق $H_{\gamma}$، وبنفسجي $H_{\delta}$. ويبين الشكل (13-9) الخطوط الطيفية الأربعة في الطيف المرئي لذرة الهيدروجين، وتقع هذه السلسلة في منطقة الطيف المرئي ويلاحظ أن الخطوط بالقرب من الطول الموجي $364.6 nm$ تصبح متقاربة من بعضها حيث يمكن اعتبار $n = \infty$ ويمكن تطبيق معادلة بالمر: $\frac{1}{\lambda} = R (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}) \quad (9-15)$ $n = 3, 4, 5, ...$ وفي وقت لاحق أظهرت التجارب على ذرة الهيدروجين أن هناك سلاسل أخرى لخطوط طيف ذرة الهيدروجين، تقع في منطقة الأشعة فوق البنفسجية ومنطقة الأشعة تحت الحمراء، ومن أشهر هذه السلاسل:

• سلسلة ليمان: وهي ناتجة عن انتقال الإلكترونات من مستويات عليا إلى المستوى $n=1$ وتقع في منطقة الأشعة فوق البنفسجية، والصيغة الرياضية لحساب الأطوال الموجية المصاحبة للفوتونات المنطلقة هي:

$\frac{1}{\lambda} = R (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2}) \quad (9-16)$ $n = 2, 3, 4, ...$

• سلسلة باشن: وهي ناتجة عن انتقال الإلكترونات من مستويات عليا إلى المستوى $n=3$ وتقع في منطقة الأشعة تحت الحمراء، والصيغة الرياضية لحساب الأطوال الموجية المصاحبة للفوتونات المنطلقة هي:

$\frac{1}{\lambda} = R (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2}) \quad (9-17)$ $n = 4, 5, 6, ...$ والشكل (14-9) يوضح سلاسل الطيف لذرة الهيدروجين.

انتقل إلكترون في ذرة هيدروجين من مستوى الطاقة الرابع إلى مستوى الطاقة الثاني، ما تردد الفوتون المنبعث؟ وأي الخطوط في الطيف الانبعاثي يطابق هذه الحالة؟

لحساب طاقة الفوتون $\Delta E = E_2 - E_4 = \frac{13.6}{4} - \frac{13.6}{16} = (3.40) - (0.850) = 2.55 eV$ $= 2.55 eV \times (1.6 \times 10^{-19}) = 6.63 \times 10^{-34} \times f$ $f = 6.15 \times 10^{14} Hz$ وهو يتوافق مع الخط الثاني في سلسلة الطيف الخطي المرئي ويظهر بلون أخضر.

سبق أن عرفنا أن للضوء طبيعة مزدوجة، ففي بعض الظواهر مثل الحيود يسلك سلوك الأمواج، وفي ظواهر أخرى مثل ظاهرة التأثير الكهروضوئي فإنه يسلك سلوك الجسيمات، كما أنه لا يمكن أن يجمع بين النموذجين في نفس الظاهرة. فهل يمكن للجسيمات المادية أن يكون لها طبيعة مزدوجة وتسلك سلوك الأمواج إضافة إلى اعتبارها جسيمات؟ الإجابة على هذا السؤال منحت العالم دي برولي درجة الدكتوراة في الفيزياء، ونال بعدها جائزة نوبل. ففي عام 1923م اقترح العالم الفرنسي لويس دي برولي أن الأجسام المادية والجسيمات الذرية مثل الإلكترونات تمتلك كلاً من الخاصيتين: الموجية والجسيمية، وكانت هذه الفكرة مجردة دون أي تأكيد علمي في البداية. افترض دي برولي أن الجسيمات المادية مثل الإلكترونات تمتلك خصائص موجية تصاحب حركتها، حيث يتناسب الطول الموجي لها عكسياً مع الزخم. ويمكن حساب الطول الموجي من العلاقة: $\lambda = \frac{h}{p} \quad (9-18)$ حيث $\lambda$: طول موجة دي برولي المصاحبة للجسيمات. $p$: الزخم = $mv$ ويقاس بوحدة $kg.m/s$

احسب طول موجة دي برولي لكرة كتلتها $0.2 kg$ وتتحرك بسرعة $15 m/s$

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.2 \times 15} = 2.2 \times 10^{-34} m$ لاحظ قصر طول الموجة.

احسب الطول الموجي المصاحب لإلكترون تم تسريعه تحت فرق جهد $100 V$

$\frac{1}{2} m_e v^2 = q_e V$ $\frac{1}{2} \times 9.1 \times 10^{-31} v^2 = 1.6 \times 10^{-19} \times 100$ $v = 5.9 \times 10^6 m/s$ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 5.9 \times 10^6} = 1.23 \times 10^{-10} m$

وفي الواقع فإن الطول الموجي للأجسام المادية يكون صغيراً جداً، بحيث لا يمكن قياسها أو ملاحظتها، وبالتالي فإن سلوكها الموجي مثل التداخل والحيود لا يمكن ملاحظته؛ لأن كتلتها كبيرة جداً؛ مما جعل الخصائص الموجية للأجسام الكبيرة مهملة، ولكن يمكن دراسة الخصائص الموجية للجسيمات الذرية مثل الإلكترونات، إذ إن كتلتها الصغيرة جداً تكسبها طولاً موجياً كبيراً.

وقد كان صعباً على العلماء تبني نظرية دي برولي إذ اعتبروها مجرد فرضية نظرية غير قابلة للتطبيق العملي، إلى أن قام العالمان دافيسون (1881-1958) وجيرمر (1896-1971) بإجراء تجربة حاسمة لإثبات صحة فرضية دي برولي، توصلا من خلالها إلى أن حزمة من الإلكترونات يمكنها أن تحدث ظاهرة حيود على بلورة من النيكل، وقاما بحساب الطول الموجي للإلكترونات، وفي العام نفسه قام العالم تومسون بتجربة اكتشف من خلالها السلوك الموجي للإلكترونات من خلال مرور الإلكترونات خلال رقائق من الذهب الرقيقة، وبذلك أثبتت الطبيعة الموجية للمادة بطرق متعددة. من التطبيقات العملية والتكنولوجية على الطبيعة الموجية للإلكترونات هو جهاز المجهر الإلكتروني الذي يستخدم الإلكترونات، الذي يعتبر تطويراً للمجهر الضوئي الذي يستخدم الضوء؛ وذلك نظراً لأن الطول الموجي للإلكترون أصغر بكثير من الطول الموجي للضوء العادي، فتكون الصورة فيه أكثر دقة وأكثر كشفاً للتفاصيل الدقيقة منها في المجهر الضوئي.

عجز بور عن تفسير سبب شغل الإلكترونات مستويات محددة في الذرة وسبب استقرارها في هذه المدارات، ولكن ما توصل إليه دي برولي من الطبيعة الموجية للإلكترون جعلنا نفكر بالإلكترون بطريقة مختلفة؛ مما أدى إلى وضع نموذج الموجات المادية في الذرة، ووفقاً لنظرية دي برولي للموجات المادية يعتبر الإلكترون موجة وليس جسيماً، ويدور حول النواة مشكلاً حركة موجة موقوفة وفق ما تصور العالم شرودنجر، وحتى يكون مستقراً يجب أن يكون طول المدار الذي يتحرك به الإلكترون مساوياً عدداً صحيحاً من طول موجة دي برولي للإلكترون في هذا المدار، أي أن:

طول محيط المدار = عدد صحيح × الطول الموجي المصاحب للإلكترون $n \lambda = 2\pi r_n \quad (9-19)$

حيث: $r_n$: نصف قطر المدار، $n$ عدد صحيح، ويساوي رقم المدار، وتشير إلى عدد الموجات الموقوفة المصاحبة لحركة الإلكترون.

وقد تم التوصل إلى أن موجات الإلكترونات لا تتحرك حول النواة فقط، وانما تتحرك نحو الداخل والخارج، تقترب من النواة وتبتعد عنها في الأبعاد الثلاثة.

من هذه المعادلة نستنتج أن أنصاف أقطار المدارات التي تتواجد فيها الإلكترونات هي التي تتفق مع الطبيعة الموجية لها، وبما أن طول محيط المدارات محدد، فهذا يعني أن أنصاف أقطار هذه المدارات وكذلك طاقة المستويات أيضاً محددة، وقد سبق أن ذكر بور في نموذجه شرط تواجد الإلكترونات في مدارات محددة من خلال فرض بور ($mvr = n \frac{h}{2\pi}$).

إذا كانت الفيزياء الكلاسيكية تتميز بعدم وجود حدود للدقة في قياسات التجارب، إذ يمكننا إجراء قياسات أكثر دقة باستخدام أدوات أكثر ضبطاً، وبالتالي الحصول على نتائج أكثر دقة من السابقة، فهل هذا ينطبق على الفيزياء الحديثة (نظرية الكم)، وتحديد كل من موقع الجسيم المرتبط بالخاصية الجسيمية، وكذلك سرعته، التي تقيس الخاصية الموجية؟ إن مبدأ اللا يقين هو السمة الأساسية لفيزياء الكم. إن مبدأ اللا يقين ليس نتيجة مشكلة في النظام أثناء القياس أو عدم دقة الأدوات المستخدمة، بل هو ناتج عن الطبيعة المزدوجة للجسيمات.

فحسب العالم هيزنبرغ:

ويعبر عنه رياضياً »حاصل ضرب اللا يقين في الموقع ($\Delta x$) والزخم ($\Delta p$) يكون دائماً أكبر من قيمة صغرى تساوي $\frac{h}{2\pi}$«

تم قياس سرعة انطلاق إلكترون فكانت $5 \times 10^3 m/s$، حيث اللايقين في سرعة الإلكترون $0.003\%$، احسب أقل لا يقين في موضع هذا الإلكترون.

$p = m v = 9.11 \times 10^{-31} \times 5 \times 10^3 = 4.56 \times 10^{-27} kg.m/s$ $\Delta p = p \times 0.00003$ $\Delta p = 4.56 \times 10^{-27} \times 0.00003 = 1.37 \times 10^{-31} kg.m/s$ Δ p Δ x = (h)/(2π) 1.37 × 10-31 Δ x = 6.626 × 10-342π $\Delta x = 0.77 mm$

س1: ضع دائرة حول رمز الإجابة الصحيحة:

1. جسم أسود مثالي درجة حرارته ($T$)، إذا أصبحت درجة حرارته مثلي قيمتها فإن شدة إشعاعه:

• أ. تبقى ثابتة
• ب. تصبح ضعفي ما هي عليه
• ج. تصبح أربعة أضعاف ما هي عليه
• د. تتضاعف (16 مرة) مما هي عليه

2. فشل النموذج النظري لـ (رايلي وجينز) المستند إلى الفيزياء الكلاسيكية في تفسير شدة إشعاع الجسم الأسود في منطقة:

• أ. الأطوال الموجية الطويلة
• ب. الأطوال الموجية القصيرة
• ج. الضوء المرئي
• د. الأمواج تحت الحمراء

3. سقط فوتون طول موجته ($\lambda$) على سطح فلز فكان تيار الإشباع (20 μ A) وجهد القطع (2 V)، فإذا تضاعفت شدة الضوء الساقط يصبح:

• أ. طول موجة الفوتون الساقط (2λ) وجهد القطع (4 V)
• ب. طول موجة الفوتون الساقط ($\lambda$) وجهد القطع (2 V)، وتيار الإشباع (20 μ A)
• ج. طول موجة الفوتون الساقط ($\lambda$) وجهد القطع (2 V)، وتيار الإشباع (40 μ A)
• د. طول موجة الفوتون الساقط (λ/2) وجهد القطع (2 V)، وتيار الإشباع (40 μ A)

4. مقدار الزخم الزاوي لإلكترون ذرة الهيدروجين في المدار الأول هو:

• أ. $\frac{h}{2\pi}$
• ب. (2h)/(π)
• ج. (h)/(2π r_1)
• د. (h)/(r_1)

5. فشلت الفيزياء الكلاسيكية في تفسير الظاهرة الكهروضوئية لأنها تُعد أن طاقة الموجة الضوئية تعتمد على:

• أ. طولها
• ب. ترددها
• ج. إتساعها
• د. زمنها الدوري

6. وفقاً لنظرية الكم، فإن طاقة الموجة الضوئية تزداد بزيادة:

• أ. زمنها الدوري
• ب. طولها الموجي
• ج. إتساعها
• د. ترددها

س2: ما المقصود بكل من:

• الجسم الأسود المثالي - مبدأ اللا يقين - نص قانون فين للإزاحة

س3: في الشكل الآتي العلاقة البيانية بين تردد الضوء الساقط وجهد القطع في خلية كهروضوئية، اعتماداً على الشكل، أجب عما يأتي:

• أ. ما ثابت بلانك؟
• ب. ما اقتران الشغل للفلز؟
• ج. ما تردد العتبة للفلز؟
• د. إذا قمنا بزيادة شدة الضوء الساقط على مهبط الخلية. ماذا يتغير في الرسم البياني؟

  س4: سقط شعاع ضوئي طول موجته (3 × 10-7 m) على فلز مهبط خلية كهروضوئية فانبعثت إلكترونات طاقتها الحركية (2 eV)، احسب:

• أ. اقتران الشغل للفلز.
• ب. فرق جهد القطع في الخلية.
• ج. تردد العتبة للفلز.