ملخص رياضيات إنسانيات توجيهي 2026

المصفوفات

المصفوفة هي تنظيم مستطيل للأعداد في صفوف وأعمدة، وتعتبر أداة جوهرية لتنظيم البيانات وحل المعادلات الخطية.

أنواع المصفوفات الخاصة

• مصفوفة الصف: تتكون من صف واحد فقط (1 × n).
• مصفوفة العمود: تتكون من عمود واحد فقط (m × 1).
• المصفوفة المربعة: عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة (m = n).
• المصفوفة الصفرية: جميع مدخلاتها أصفار (يُرمز لها بالرمز O).

ضرب المصفوفات

تعتمد عمليات الجمع والطرح على تطابق الرتبة (Order) وجمع/طرح العناصر المتناظرة، بينما يتطلب الضرب في عدد ثابت توزيع العدد على جميع عناصر المصفوفة.

خصائص العمليات المصفوفية

• التبديل: A + B = B + A.
• التجميع: (A + B) + C = A + (B + C).
• المصفوفة الصفرية (O): A + O = A.
• النظير الجمعي: A + (-A) = O.

المحددات

عملية ضرب المصفوفات تعتمد على شرط الرتبة (عدد أعمدة الأولى = عدد صفوف الثانية) وتتم بضرب عناصر الصف في عناصر العمود وجمع النواتج.

شرط الضرب والرتبة الناتجة

• لتكن المصفوفة A من الرتبة (m × n) والمصفوفة B من الرتبة (n × p).
• شرط الإمكانية: عدد أعمدة A يجب أن يساوي عدد صفوف B (أي n=n).
• رتبة المصفوفة الناتجة: (m × p) ← (عدد صفوف الأولى × عدد أعمدة الثانية).

المحددات

المحدد هو قيمة عددية حقيقية مرتبطة بالمصفوفة المربعة، تُحسب وفق قواعد محددة للرتبتين الثانية والثالثة.

محدد المصفوفة من الرتبة الثانية (2×2)

• القانون: |A| = (a × d) - (b × c)
• العملية: حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسي - حاصل ضرب عناصر القطر الثانوي

النظير الضربي للمصفوفة المربعة

النظير الضربي للمصفوفة هو المصفوفة التي عند ضربها في المصفوفة الأصلية تعطي مصفوفة الوحدة، ويشترط وجودها أن تكون قيمة المحدد لا تساوي صفراً.

مفهوم النظير الضربي

• إذا كانت أ و ب مصفوفتين ثنائيتين، وكان أ × ب = ب × أ = م (مصفوفة الوحدة).
• تسمى ب النظير الضربي للمصفوفة أ ويرمز لها بالرمز أ-1.

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات

تحويل الأنظمة الخطية إلى صيغة مصفوفية (AX=B) واستخدام المصفوفة المعكوسة أو قاعدة كرامر لإيجاد قيم المتغيرات بدقة.

قاعدة كرامر ('

• حساب محدد المصفوفة الرئيسة: D = |A| = a1b2 - a2b1
• حساب Dx: استبدال عمود x بالثوابت c1, c2
• حساب Dy: استبدال عمود y بالثوابت c1, c2
• قيم المتغيرات: x = (Dx)/(D) و y = (Dy)/(D)

متوسط التغير

متوسط التغير هو مقياس لمدى تغير قيمة الاقتران بالنسبة لتغير مدخلاته، وهو هندسياً يمثل ميل القاطع المار بنقطتين على منحنى الاقتران.

القوانين الأساسية

• التغير في س: Δ s = s2 - s1
• التغير في ص: Δ y = y2 - y1 = q(s2) - q(s1)
• متوسط التغير = (Δ y)/(Δ s) = (q(s2) - q(s1))/(s2 - s1)

مفهوم المشتقة الأولى

المشتقة الأولى هي النهاية التي تمثل معدل التغير اللحظي للدالة عند نقطة، وهي هندسياً تعبر عن ميل المماس لمنحنى الاقتران عند تلك النقطة.

خطوات الحل باستخدام التعريف العام

• 1. كتابة قانون التعريف العام للمشتقة.
• 2. التعويض عن ق(س + هـ) و ق(س) في القانون.
• 3. تبسيط المقدار الجبري (اختصار هـ من المقام).
• 4. إيجاد النهاية عندما هـ ← 0.

قاعدة السلسلة

دليل شامل ومكثف لقواعد الاشتقاق الأساسية والمتقدمة لضمان الدقة في حل المسائل التفاضلية.

القواعد الأساسية (الأساس المتين)

• مشتقة الثابت: (d)/(dx)(c) = 0
• مشتقة القوة: (d)/(dx)(xn) = nxn-1
• الجمع والطرح: (d)/(dx)[f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)

تطبيقات هندسية (المماس والعمودي)

المشتقة عند نقطة هي مفتاح الحل؛ فهي تمثل ميل المماس، ومنها نستنتج ميل العمودي ومعادلات الخطوط المستقيمة المرتبطة بالمنحنى.

خارطة طريق الحل

• 1. حدد نقطة التماس (x1, y1) (إذا لم تُعطَ، ابحث عنها).
• 2. اشتق الدالة f'(x) لإيجاد الميل العام.
• 3. عوض x1 في f'(x) للحصول على m.
• 4. طبق صيغة معادلة الخط المستقيم.

قاعدة السلسلة

أداة جوهرية لاشتقاق الدوال المركبة عبر تفكيكها إلى دوال أبسط وضرب مشتقاتها.

خطوات الحل النموذجية

العلامة المعيارية

أداة إحصائية جوهرية لتحويل القيم الخام إلى مقياس موحد (z) يسمح بالمقارنة العادلة بين بيانات ذات أوساط وانحرافات معيارية مختلفة.

القوانين الأساسية

• العلامة المعيارية (ع) ← z = (x - )/()
• الوسط الحسابي () ← = (Σ x)/(n)
• الانحراف المعياري () ← = √((Σ (x - )2)/(n))
• استخراج القيمة الخام (س) ← x = + z

التوزيع الطبيعي المعياري

Mastering the Z-distribution: Transforming raw data into standardized scores to calculate probabilities using the area under the normal curve.

Probability Calculation Rules

• P(Z < a): Direct value from the Z-table.
• P(Z > a) = 1 - P(Z < a)
• P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)
• Symmetry Property: P(Z < -a) = P(Z > a) = 1 - P(Z < a)

التكامل غير المحدود

التكامل غير المحدود هو العملية العكسية للاشتقاق، حيث نجد الاقتران الأصلي بإضافة ثابت التكامل (ج) لتمثيل عائلة الاقترانات.

المفهوم الجوهري

• التكامل هو عملية عكسية للاشتقاق ← إذا كانت ق'(س) = هـ(س)، فإن هـ(س) د س = ق(س) + ج
• ثابت التكامل (ج) ← ضروري جداً لأن مشتقة أي ثابت تساوي صفراً، مما يعني وجود عدد لا نهائي من الاقترانات الأصلية.

التكامل المحدد

دليل إجرائي لحساب التكامل المحدد باستخدام النظرية الأساسية للتكامل وتوظيف خصائصه الجبرية بفعالية.

خصائص التكامل المحدد

• عكس الحدود: f(x) dx = - f(x) dx
• تساوي الحدود: f(x) dx = 0
• خاصية الإضافة: f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx

التكامل بالتعويض

طريقة فعالة لتكامل الدوال المركبة من خلال تحويل المتغير (س) إلى متغير جديد (ص) لتبسيط التكامل إلى صيغة قياسية.

خطوات الحل الذهبية

• 1. اختيار المتغير: نفرض ص = g(س) (غالباً ما يكون ما داخل القوس أو المقام).
• 2. الاشتقاق: نجد (دص)/(دس) = g'(س) ← ومنها دس = (دص)/(g'(س)).
• 3. التعويض: استبدال كل 'س' و 'دس' بـ 'ص' و 'دص'.
• 4. التكامل: إجراء التكامل بالنسبة لـ 'ص' ثم العودة للمتغير الأصلي 'س'.

تطبيقات على التكامل المحدد (المساحات)

تُستخدم عملية التكامل المحدد لحساب المساحات الهندسية بدقة، سواء كانت تحت منحنى دالة واحدة أو محصورة بين منحنيين، مع ضرورة مراعاة إشارات الدالة ونقاط التقاطع.

المساحة تحت منحنى دالة واحدة

• المساحة A لمنحنى f(x) فوق محور x في الفترة [a, b] ← A = f(x) dx
• إذا كان المنحنى تحت محور x ← A = - f(x) dx = |f(x)| dx
• تجزئة الفترة: إذا قطع المنحنى محور x عند c (حيث a < c < b) ← A = |f(x)| dx + |f(x)| dx

الفائدة

دليل شامل لفهم وحساب الفائدة البسيطة وتطبيقاتها المالية وفقاً للمنهاج الدراسي.

المفاهيم الأساسية والقوانين

• الفائدة (ف) ← العائد المادي مقابل استخدام المال.
• رأس المال (م) ← المبلغ الأصلي المستثمر أو المقترض.
• قانون الفائدة: f = m × e × n
• جملة المبلغ (ج) ← j = m + f

الفائدة المركبة

الفائدة المركبة هي عملية تراكمية حيث تُضاف الفائدة إلى المبلغ الأصلي في نهاية كل دورة زمنية، مما يجعل الجملة تنمو بشكل أسي.

استراتيجية الحل (خطوات العمل)

• 1. استخراج المعطيات (م، ع، ن) بدقة.
• 2. تحديد ما إذا كانت الفائدة تضاف سنوياً أو دورياً (س).
• 3. التعويض في القانون واستخدام الآلة الحاسبة (خاصة عند الحاجة للوغاريتمات لإيجاد ن).
• 4. التأكد من أن ج > م دائماً في حالات الاستثمار.

السندات

السندات هي أدوات دين تمثل التزاماً مالياً، حيث تعتمد قيمتها السوقية على العلاقة العكسية بين أسعار الفائدة والتدفقات النقدية المخصومة.

المفاهيم الأساسية للسند

• السند ← أداة دين (Bond) يصدرها المقترض.
• القيمة الاسمية (Face Value) ← المبلغ المدفوع عند الاستحقاق.
• معدل القسيمة (Coupon Rate) ← النسبة المئوية للفائدة الدورية.
• تاريخ الاستحقاق (Maturity Date) ← الموعد النهائي لسداد القيمة الاسمية.

ما هو ملخص رياضيات إنسانيات للتوجيهي؟

صفحات مراجعة مختصرة لمادة رياضيات إنسانيات تجمع القوانين والأفكار الأساسية ونصائح الامتحان لكل درس.

هل هي مبنية على المنهج؟

نعم — مبنية من المنهج المقرّر وتغطي وحدات المادة الرسمية. يمكنك معاينة الملخصات داخل TawjihiAI.