ملخصات الرياضيات (مهني) توجيهي فلسطين

المصفوفة

تمارين ومسائل (١-١)

• ما رتبة كل من المصفوفات أ، ب، ج؟
• ما قيمة أ١١، ب١٢، ج٢١، ج٢٢؟
• ما قيمة أ٢٢ + ج٢٢؟
• [٩ ٦ -٢ -٢] = [٣ ص -٢ ١- س]

جمع المصفوفات وطرحها

تمارين ومسائل (٢-١)

• [١ ٠ ٠ ١] + [١ -٢ -٢ ٣] + [٠ -١ -٥ ٠]
• [١ ٠ ٠ ١] - [٣ ٤ ٦ -٢ ١]
• [س + ص ٨ ٧ س - ص] = [٨ ٨ ٧ ٨]
• [١١ ١٣ ١] = [٥ ٢ص ١ -١] + [س ١ ٤]
• [٥ -٩ ٤] = ٣ س - [٣ -٣ ١٠]
• ١/٢ ص + [٢ -٢ ٣ ١] = [٢ ١ -٦ ٥]

ضرب المصفوفات

خصائص عملية الضرب على المصفوفات:

• (أ . ب) . ج = أ . (ب . ج) ................. الخاصية التجميعية.
• أ . (ب + ج) = (أ . ب) + (أ . ج) ... توزيع الضرب على الجمع من اليمين.
• (أ + ب) . ج = (أ . ج) + (ب . ج) .. توزيع الضرب على الجمع من اليسار.
• أ . م = م . أ = أ ................. (م) المصفوفة المحايدة.
• ك (أ . ب) = (ك أ) . ب = أ . (ك ب)
• bmatrix ٨ ٩ bmatrix bmatrix ١ ٣ bmatrix

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات

تمارين ومسائل

• ٣س - ٤ص = ٤، -٢س + ٤ص = ٤
• س - ص = ٣، ٢س = ٦ - ص
• س - ص = ٨، ٢س + ص = ١
• ٢ص - س = ١، ٢س + ص - ٨ = ٠

مفهوم المشتقة الأولى

مفهوم المشتقة الأولى (First Derivative)

• يوجد في ملاعب كرة القدم الفلسطينية هدافون.
• يمتلك كل هداف مهارات تختلف عن الآخر في تسديد الكرات الثابتة والمتحركة.
• يكلف مدرب الفريق أمهر هدافيه بتسديد الكرة باتجاه المرمى حسب موقع خطأ الخصم.
• تزداد فرصة تسجيل الهدف كلما اقتربت المسافة بين مكان التسديد والمرمى.
• تعتبر ضربة الجزاء هدفاً محققاً عند كثير من الفرق الرياضية.
• يعتمد الهداف في تسديد الكرة باتجاه المرمى على السرعة، ...........................

القيم القصوى

القيم القصوى (Extreme Values)

• تعد مهنة صيد السمك في قطاع غزة من أكثر المهن التي تدر دخلاً.
• باتت شريحة الصيادين هي الأفقر بسبب استمرار الحصار على قطاع غزة.
• تعاني مساحة الصيد المسموحة لهم من فقر في الأسماك.
• يتعرض الصيادون لإطلاق نار مستمر من زوارق الاحتلال.
• تضاف مهنة الصيد إلى عشرات المهن الأخرى التي تعاني البطالة في القطاع.
• يخاطر الصياد بحياته لتوفير قوته وقوت أسرته.

العلامة المعيارية

العلامة المعيارية (ع)

• العلامة المعيارية المناظرة لأعمار هؤلاء الأشخاص.
• الوسط الحسابي للعلامات المعيارية.
• الانحراف المعياري للعلامة المعيارية.
• الوسط الحسابي للعلامات المعيارية: ε= (1.5 + 0.5 + 0 + (-0.5) + (-1.5))/5 = صفر
• الانحراف المعياري للعلامات المعيارية: σ_ε = √((Σ(ε- ε)²)/n) = √(((-1.5)² + (-0.5)² + 0² + 0.5² + 1.5²)/5) = √(5/5) = 1

التوزيع الطبيعي المعياري

التوزيع الطبيعي

• التمثيل البياني له منحنى يشبه الجرس، ومتماثل حول المستقيم الرأسي المار بالوسط.
• يتساوى فيه الوسط والوسيط والمنوال.
• المنحنى متصل.
• يقترب المنحنى من المحور س، ولكنه لا يمسه.

التكامل غير المحدود

أي أن ∫ 3 د س = 3س + ج

• ∫ 5 د س
• ∫ 3 د ص
• ∫ 3 د ص = 3ص + ج، الاقتران بدلالة المتغير ص.
• ∫ 1/2 د ع = 1/2 ع + ج، الاقتران بدلالة المتغير ع.
• ما العلاقة بين درجة ق(س) ودرجة ق'(س)؟
• ما العلاقة بين معامل الحد الذي يحتوي على س في ق(س) ودرجة ق(س)؟

التكامل المحدد

يمكن حل المثال بطريقة أخرى

• q(x) = ∫_٣x (3t² - 2t) dt
• q(x) = ∫_١٠x (3t² - 2t) dt
• يسير ماجد في ذهابه من المنزل إلى المدرسة في اليوم الواحد مسافة .....................
• يسير ماجد في ذهابه من المدرسة إلى الدكان في اليوم الواحد مسافة .....................
• يسير ماجد في ذهابه من المنزل إلى الدكان في اليوم الواحد مسافة .....................
• يسير ماجد في ذهابه من المنزل إلى الدكان في ٤ مسافات .....................

الفائدة

• ما مقدار الزيادة التي تحصل عليها أم العبد بعد ٦ سنوات؟
• تسمى هذه الزيادة: الفائدة، النسبة المئوية للزيادة: ١٠٪. لماذا؟
• جملة المبلغ التي ستحصل عليه بعد ٦ سنوات: ٤٠٠٠ + ١٢٠٠ = ٥٢٠٠ دينار.
• العوامل المؤثرة في الفائدة: الزمن، المبلغ، معدل الفائدة.
• أصل المبلغ، ويرمز له بالرمز (م): وهو عبارة عن مبلغ القرض، أو المبلغ المستثمر.
• معدل الفائدة ويرمز له بالرمز (ع): هو العائد من وحدة رأس المال (دينار) لكل وحدة زمن (سنة).

الفائدة المركبة

• ربح فادي بعد سنة ٦٠٠ دينار بحساب الربح البسيط.
• ربح فادي بعد ٣ سنوات بحساب الربح البسيط.
• ربح فادي بعد سنتين ١٢٠٠ دينار بحساب الربح البسيط، و١٢٣٦ ديناراً بربح من نوع آخر. كم الفرق بين الربح في حسابين مختلفين.
• جملة المبلغ.
• مقدار الفائدة المركبة.

السندات

ويرتبط حساب السندات بعدة عوامل وهي:

• القيمة الاسمية للسند: وهي القيمة النقدية التي تكون مدونة على السند. ويرمز لها بالرمز م.
• معدل الفائدة الاسمي (السنوية): ويرمز له بالرمز ع.
• المدة الزمنية لاستحقاق السند: ويرمز له بالرمز ن.
• مبلغ الفائدة عن كل وحدة زمنية ويرمز له بالرمز ف، ويساوي حاصل ضرب القيمة الاسمية للسند في معدل الفائدة الاسمي له، إذا كانت الفائدة تدفع سنوياً. حيث أن ف = م × ع
• معدل فائدة الاستثمار وهو قد يكون مساوياً لمعدل الفائدة الاسمي أو أقل منه أو يساويه، ويرمز له بالرمز ع.
• القيمة الحالية للقيمة للسند: وهي تختلف من سنة إلى أخرى.