ملخص الرياضيات توجيهي 2026

متوسط التغير

The rate of change represents the average slope of a function over a specific interval, calculated as the ratio of the change in output to the change in input.

Core Definitions & Formulas

• Change in x: Δ x = x2 - x1
• Change in y: Δ y = f(x2) - f(x1)
• Average Rate of Change: (Δ y)/(Δ x) = (f(x2) - f(x1))/(x2 - x1)
• Constraint: x1 x2

المشتقة الأولى

دليل شامل لقواعد الاشتقاق الأساسية التي تشكل حجر الزاوية في حساب التفاضل.

قواعد الاشتقاق الأساسية

• قاعدة الثابت: ص = جـ ← ص' = 0
• قاعدة الاقتران الخطي: ص = أ س + ب ← ص' = أ
• قاعدة القوة: ق(س) = س^ن ← ق'(س) = ن سن-1 (حيث ن عدد حقيقي)
• قاعدة الثابت في اقتران: هـ(س) = أ ق(س) ← هـ'(س) = أ ق'(س)

قواعد الاشتقاق

A comprehensive guide to mastering the fundamental rules of differentiation: Sum/Difference, Product, and Quotient rules.

Product Rule

• If k(x) = f(x) × g(x)
• k'(x) = f(x) × g'(x) + g(x) × f'(x)
• Formula: (First × Derivative of Second) + (Second × Derivative of First)

القيم القصوى للاقتران

تحديد سلوك الاقتران (تزايد/تناقص) وقيمه القصوى المحلية باستخدام إشارة المشتقة الأولى ق'(س).

إيجاد القيم القصوى المحلية

• 1. نجد المشتقة الأولى ق'(س).
• 2. نساوي المشتقة بالصفر: ق'(س) = 0 لإيجاد قيم س.
• 3. ندرس إشارة ق'(س) حول القيم الناتجة.
• 4. التغير من (+) إلى (-) ← قيمة عظمى محلية.

التكامل غير المحدود

التكامل هو العملية العكسية للتفاضل، ويُستخدم لإيجاد عائلة الاقترانات الأصلية بإضافة ثابت التكامل (جـ).

قواعد التكامل الأساسية

• تكامل الثابت: a dx = ax + c
• تكامل القوة: xn dx = xn+1n+1 + c (شرط n -1)
• تكامل المجموع/الفرق: [q(x) ± h(x)] dx = q(x) dx ± h(x) dx
• تكامل الثابت في اقتران: k × q(x) dx = k q(x) dx

التكامل المحدود

التكامل المحدود هو أداة رياضية لحساب مقدار التغير في اقتران ما على فترة معينة، ويرتبط ارتباطاً وثيقاً بالمشتقة عبر النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

خصائص التكامل المحدود

• عكس الحدود: أب ق(س) د س = - بأ ق(س) د س
• خاصية الإضافة: أج ق(س) د س + جب ق(س) د س = أب ق(س) د س
• تساوي الحدود: أأ ق(س) د س = 0

المصفوفات: المفاهيم الأساسية والخصائص

المصفوفة هي تنظيم مستطيل للأعداد في صفوف وأعمدة، وتعتمد دقة التعامل معها على فهم الرتبة (م × ن) وشروط التساوي.

أنواع المصفوفات الخاصة

• مصفوفة الصف: تتكون من صف واحد فقط (رتبتها 1 × ن).
• مصفوفة العمود: تتكون من عمود واحد فقط (رتبتها م × 1).
• المصفوفة المربعة: عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة (م = ن).
• المصفوفة الصفرية (و): جميع مدخلاتها أصفار.

العمليات على المصفوفات

دليل شامل لجمع وطرح وضرب المصفوفات، مع التركيز على شروط الرتبة، الخصائص الجبرية، وحل المعادلات المصفوفية.

2. خصائص جمع المصفوفات

• التبديل: أ + ب = ب + أ
• التجميع: (أ + ب) + جـ = أ + (ب + جـ)
• المحايد الجمعي: المصفوفة الصفرية (و) حيث أ + و = أ
• النظير الجمعي: المصفوفة (-أ) حيث أ + (-أ) = و

ضرب المصفوفات

عملية ضرب المصفوفات تعتمد على شرط الرتبة (عدد أعمدة الأولى = عدد صفوف الثانية) وتتم بضرب عناصر الصف في عناصر العمود، وهي عملية غير إبدالية.

شرط الضرب والرتبة

• إذا كانت المصفوفة A من الرتبة m × n والمصفوفة B من الرتبة n × h
• شرط الضرب: عدد أعمدة A (n) يجب أن يساوي عدد صفوف B (n)
• رتبة المصفوفة الناتجة C هي m × h

النظير الضربي للمصفوفة المربعة من الرتبة الثانية

دليل شامل لحساب محدد المصفوفة، تحديد قابليتها للعكس، إيجاد نظيرها الضربي، وتوظيف ذلك في حل أنظمة المعادلات الخطية.

حل أنظمة المعادلات الخطية

• ترتيب النظام: A × X = B
• حيث A مصفوفة المعاملات، X مصفوفة المتغيرات، B مصفوفة الثوابت
• الحل: X = A-1 × B

حل نظام من معادلتين خطيتين باستخدام قاعدة كريمر

المعادلات الأسية

المعادلة الأسية هي معادلة يكون فيها المتغير في الأس، ولحلها نهدف إلى توحيد الأساسات في طرفي المعادلة لنتمكن من مساواة الأسس.

استراتيجية الحل (توحيد الأساس)

• الخطوة 1: تحليل الأعداد في طرفي المعادلة إلى عواملها الأولية.
• الخطوة 2: كتابة الطرفين كقوى لنفس الأساس.
• الخطوة 3: مساواة الأسس (إذا كان = فإن x = y).

المعادلات اللوغاريتمية

دليل شامل للتحويل بين الصيغ الأسية واللوغاريتمية وتطبيق خصائص اللوغاريتمات لحل المعادلات الرياضية.

خصائص اللوغاريتمات الذهبية

• لوغاريتم الواحد: (1) = 0
• لوغاريتم الأساس لنفسه: (a) = 1
• خاصية الضرب: (x × y) = (x) + (y)
• خاصية القسمة: ((x)/(y)) = (x) - (y)

المتسلسلات

المتسلسلة هي مجموع حدود متتالية معينة، ويُعبر عنها باستخدام رمز المجموع (Σ) لتمثيل تراكم القيم.

مفهوم المتسلسلة

• المتسلسلة ← مجموع حدود المتتالية (ح_ن).
• الرمز (Σ) ← يُستخدم للتعبير عن مجموع الحدود.
• جـ_ن ← يرمز لمجموع الحدود (ن) الأولى من المتسلسلة.
• التعريف: المتسلسلة (Σ ح_ر) من ر=1 إلى ن، تمثل مجموع حدود المتتالية (ح_ر).

المتسلسلة الحسابية ومجموعها

المتسلسلة الحسابية هي مجموع حدود متتالية حسابية، وتُحسب باستخدام قوانين المجموع بدلالة الحد الأول والأساس أو الحد الأخير.

قوانين المجموع (جـ ن)

• القانون العام: Sn = (n)/(2) [2a + (n-1)d]
• قانون الحد الأخير (l): Sn = (n)/(2) (a + l)
• العلاقة بين المجموع والحد النوني: hn = Sn - Sn-1

المتسلسلة الهندسية ومجموعها

A geometric series is the sum of a geometric sequence where the ratio between consecutive terms is constant, governed by specific formulas for the n-th term and the partial sum.

العلامة المعيارية

العلامة المعيارية هي أداة إحصائية موضوعية تُستخدم لمقارنة قيم من مجموعات بيانات مختلفة من خلال تحويلها إلى مقياس موحد يعتمد على عدد الانحرافات المعيارية عن الوسط الحسابي.

القانون الجوهري

• العلامة المعيارية (ع) = عدد الانحرافات المعيارية التي تنحرفها القيمة (س) عن الوسط الحسابي (μ).
• القانون: ع = (س - )/()
• حيث: س = القيمة الأصلية، μ = الوسط الحسابي، σ = الانحراف المعياري.

التوزيع الطبيعي المعياري

دليل إحصائي شامل لفهم وتحليل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري وحساب المساحات والاحتمالات بدقة.

خصائص المنحنى المعياري

• الشكل ← يشبه الجرس.
• التماثل ← متماثل حول الوسط الحسابي (x = 0).
• الانحراف المعياري ← يساوي واحد (1).
• المساحة الكلية ← تساوي وحدة مربعة واحدة (1).

ما هو ملخص الرياضيات للتوجيهي؟

صفحات مراجعة مختصرة لمادة الرياضيات تجمع القوانين والأفكار الأساسية ونصائح الامتحان لكل درس.

هل هي مبنية على المنهج؟

نعم — مبنية من المنهج المقرّر وتغطي وحدات المادة الرسمية. يمكنك معاينة الملخصات داخل TawjihiAI.