أسئلة الرياضيات توجيهي: مع الحل

س: ماذا تمثّل المشتقة هندسياً؟

ج: ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة.

س: كيف ترتبط إشارة المشتقة بسلوك الاقتران؟

ج: موجبة ← متزايد، سالبة ← متناقص، صفر ← نقطة حرجة.

س: متى تكون النقطة حرجة؟

ج: عندما f'(x)=0 أو غير موجودة.

س: عرّف القيمة القصوى المحلية.

ج: أكبر/أصغر قيمة في جوار نقطة، تحدث عند نقطة حرجة (f'=0).

س: اكتب اختبار المشتقة الأولى.

ج: تغيّر f' من + إلى - ← عظمى؛ من - إلى + ← صغرى.

س: اكتب اختبار المشتقة الثانية.

ج: f''(c)<0 ← عظمى، f''(c)>0 ← صغرى.

س: لماذا نضيف ثابت التكامل؟

ج: لأن مشتقة الثابت صفر فللاقتران أصول كثيرة تختلف بثابت.

س: اكتب قاعدة تكامل xn.

ج: x^n+1n+1+c، n-1.

س: ماذا يمثّل التكامل المحدود؟

ج: المساحة المُوقَّعة بين المنحنى ومحور السينات من a إلى b.

س: لماذا لا نضيف ثابت التكامل هنا؟

ج: لأنه يُلغى: (F(b)+c)-(F(a)+c)=F(b)-F(a).

س: متى يكون التكامل سالباً؟

ج: عندما يقع المنحنى تحت محور السينات.

س: عرّف المصفوفة.

ج: ترتيب مستطيل للأعداد في صفوف وأعمدة.

س: ما رتبة المصفوفة؟

ج: m× n حيث m عدد الصفوف وn عدد الأعمدة.

س: أين يقع العنصر aij؟

ج: في الصف i والعمود j.

س: متى يمكن جمع مصفوفتين؟

ج: عندما تكونان من الرتبة نفسها.

س: كيف نجمع مصفوفتين؟

ج: بجمع العناصر المتناظرة.

س: كيف نضرب مصفوفة بعدد؟

ج: بضرب كل عنصر من عناصرها بذلك العدد.

س: ما شرط ضرب A× B؟

ج: عدد أعمدة A يساوي عدد صفوف B.

س: ما رتبة ناتج Am× n× Bn× p؟

ج: m× p.

س: اكتب كيف يُحسب عنصر الناتج.

ج: مجموع جداء عناصر صف من A في عمود مناظر من B.

س: ماذا يعطي ضرب المصفوفة في نظيرها؟

ج: مصفوفة الوحدة I.

س: اكتب قاعدة كريمر لإيجاد x وy.

ج: x=(D_x)/(D) وy=(D_y)/(D).

س: كيف نكوّن D_x؟

ج: باستبدال عمود معاملات x في D بعمود الثوابت.

س: ماذا يعني D=0 في كريمر؟

ج: لا يوجد حل وحيد (إما لا حل أو حلول لا نهائية).

س: عرّف المعادلة الأسية.

ج: معادلة يكون فيها المجهول في الأس، مثل 2x=8.

س: اذكر طريقتي حل المعادلات الأسية.

ج: توحيد الأساس ثم مساواة الأسس، أو أخذ اللوغاريتم للطرفين.

س: متى نستعمل اللوغاريتم في الحل؟

ج: عند تعذّر كتابة الطرفين بالأساس نفسه.

س: اكتب خاصية لوغاريتم الجداء.

ج: (xy)= x+ y.

س: لماذا نتحقق من قبول الحل؟

ج: لأن المقدار داخل اللوغاريتم يجب أن يكون موجباً؛ فالحلول التي تجعله سالباً أو صفراً تُرفض.

س: ما مجال الاقتران اللوغاريتمي؟

ج: الأعداد الموجبة فقط x>0.

س: عرّف المتتالية والمتسلسلة.

ج: المتتالية قائمة مرتبة من الأعداد وفق نمط، والمتسلسلة مجموع حدودها.

س: ما الحد العام a_n؟

ج: صيغة تعطي قيمة أي حد بدلالة موقعه n.

س: ما النوعان الرئيسان للمتسلسلات؟

ج: الحسابية (فرق ثابت) والهندسية (نسبة ثابتة).

س: اكتب صيغة الحد العام للمتسلسلة الهندسية.

ج: a_n=a_1 r^n-1.

س: اكتب صيغة المجموع اللانهائي وشرطها.

ج: S=(a_1)/(1-r) بشرط |r|<1.

س: كيف تجد النسبة الثابتة r؟

ج: بقسمة أي حد على الحد الذي يسبقه.

س: اكتب صيغة العلامة المعيارية.

ج: z=(x-)/().

س: ماذا تعني العلامة المعيارية الموجبة؟

ج: أن القيمة أعلى من المتوسط.

س: ما فائدة العلامة المعيارية؟

ج: مقارنة قيم من توزيعات مختلفة على مقياس موحّد (بوحدات الانحراف المعياري).

س: صف منحنى التوزيع الطبيعي المعياري.

ج: منحنى جرسي متماثل حول المتوسط، المساحة الكلية تحته تساوي 1.

س: ما متوسط وانحراف التوزيع الطبيعي المعياري؟

ج: المتوسط =0 والانحراف المعياري =1.

س: كيف نحوّل توزيعاً طبيعياً إلى المعياري؟

ج: بحساب العلامة المعيارية z=(x-)/().