ملخصات الرياضيات توجيهي فلسطين علمي

الدرس 1

تعريف

• Δس عندما تتغير س من -1 إلى 2.
• التغير في ق(س) عندما تتغير س من -1 إلى 2.
• متوسط التغير في ق(س) عندما تتغير س من -1 إلى 2.
• بما أن س1 = -1، س2 = 2، فإن Δس = س2 - س1 = 3
• Δص = ق(س2) - ق(س1) = ق(2) - ق(-1) = 1 - 7 = -6
• متوسط التغير = Δص/Δس = (-6)/3 = -2

قاعدة السلسلة

تمارين ١-٧

• جد dص/dس لكل مما يأتي:
• جد معادلة العمودي على منحنى الدائرة التي معادلتها ص^٢ - ٣س + ص^٢ = ٢٥، عند كل من نقطتي تقاطعها مع منحنى ص = س^٢ - ٣س + ٥
• يتحرك جسم على خط مستقيم وفق العلاقة ف = ن^٢ + ٢٤ حيث ف المسافة بالأمتار، ن الزمن بالثواني، جد قيمة أ الموجبة. علماً بأن سرعته بعد ٢ ثانية تساوي ١ م/ث.
• إذا كانت ف = أجا(٢ن + م)، أ ≠ ٠ هي معادلة الحركة لجسم يتحرك على خط مستقيم، حيث أ، م عددان ثابتان، أثبت أن: ت = -٤ف المسافة بالأمتار، ن الزمن بالثواني.
• إذا كان المستقيم المار بالنقطة (-٢، ٠) يمس منحنى العلاقة ٤س^٢ + ص^٢ = ٤، جد نقطة/نقط التماس.
• إذا كان ه^س + ه^ص = ه^س + ه^(-س)، فجد dص/dس عند النقطة (-١، ١).

نظرية رول والقيمة المتوسطة

نظرية رول:

• إذا كان ق(س) اقتراناً متصلاً في الفترة [أ، ب].
• يكون ق(س) قابلاً للاشتقاق في الفترة ]أ، ب[.
• يتحقق شرط ق(أ) = ق(ب).
• يوجد عدد حقيقي واحد على الأقل جـ ينتمي إلى الفترة ]أ، ب[.
• يحقق هذا العدد ق'(جـ) = ٠.
• بين أن الاقتران ق(س) = س٢ - س - ٦ يحقق شروط نظرية رول في الفترة [٠، ١].

مثال ١١

تمارين ٢ - ٣

• جد النقط الحرجة للاقترانات الآتية:
• في التمارين من (أ - و) جد القيم العظمى والصغرى المحلية للاقتران ق(س) (إن وجدت)
• جد أكبر وأصغر قيمة (إن وجدت) لكل من الاقترانات الآتية:
• إذا كان ق(س) = أ س^٣ + ب س^٢ + ٩س + ١، أ، ب ح اقتران له قيمة عظمى محلية عند س = ١، وقيمة صغرى محلية عند س = ٣ ما قيمة كل من الثابتين أ، ب؟
• باستخدام القيم القصوى أثبت أن المقدار ٤س^٣ - س - ٢٩ سالب دائماً.
• ما إشارة ميل المماس لمنحنى الاقتران ق(س) عند كل من جـ، د؟ (لاحظ أن مماسي الاقتران ق(س) عند جـ، د يقعان فوق منحناه)

ضرب المصفوفات

• إذا كانت المصفوفة ص = bmatrix ٣ ١ ٠ bmatrix تمثل النقاط التي يحصل عليها الفريق في أي مباراة يلعبها،
• كوّن مصفوفة تمثل نتائج الفرق الثلاثة من النقاط، ثم رتب الفرق تنازلياً حسب عدد النقاط.
• إذا كانت أ مصفوفة من الرتبة م × ن.
• إذا كانت ب مصفوفة من الرتبة ن × ل.
• يكون حاصل الضرب أ . ب = ج.
• تكون ج مصفوفة من الرتبة م × ل.

النظير الضربي للمصفوفة المربعة

خصائص النظير الضربي:

• (أ^(-١))^(-١) = أ
• (ك أ)^(-١) = ١/ك (أ^(-١))
• (أ . ب)^(-١) = ب^(-١) . أ^(-١)
• نفرض أن أ^(-١) =
• حاصل ضرب أ . أ^(-١) = م، أي:
• ناتج المصفوفة الناتجة عن الضرب هو:

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات

ثم كتب المعادلة المصفوفة أ . ك = ج

• طريقة النظير الضربي
• طريقة كريمر
• طريقة جاوس
• يمكننا تمثيل نظام من المعادلات الخطية على شكل معادلة مصفوفة باستخدام ثلاث مصفوفات.
• تتكون هذه المصفوفات من مصفوفة المعاملات أ، ومصفوفة المتغيرات ك، ومصفوفة الثوابت ج.
• يمثل نظام المعادلات الخطية الآتي: ٢س + ٣ص = ١٠، -٣س + ٥ص = ٤، مصفوفة المعاملات أ كما يأتي:

تطبيقات عملية على القيم القصوى

ج) فترات التزايد والتناقص لمنحنى الاقتران ق(س)

• إذا كان ق(س) اقتران كثير حدود من الدرجة الثالثة، يمر منحناه بالنقطة (١، ٥) وله نقطة انعطاف عند س = ٢ بحيث إن معادلة المماس عند نقطة الانعطاف هي: ٣س + ص = ٧، جد قاعدة الاقتران ق(س).
• إذا كان للاقتران كثير الحدود ق(س) = س^٤ - ٤س^٣ + ك(س) نقطة انعطاف أفقي هي (١، ٢)، وكان ع(س) = ك٢(س)، احسب ع'(١).
• إذا كان ق(س) اقتراناً متصلاً في الفترة [-٣، ٢] ويحقق الشروط الآتية:
• أحمد مزارع فلسطيني يسكن مدينة يافا.
• يملك أحمد أراضٍ واسعة من حقول البرتقال.
• أراد أحمد في أحد الأيام أن يختبر ذكاء أبنائه الثلاثة.

التكامل بالكسور الجزئية

ضرب المصفوفات

• إذا كانت المصفوفة ص = bmatrix ٣ ١ ٠ bmatrix تمثل النقاط التي يحصل عليها الفريق في أي مباراة يلعبها،
• كوّن مصفوفة تمثل نتائج الفرق الثلاثة من النقاط، ثم رتب الفرق تنازلياً حسب عدد النقاط.
• إذا كانت أ مصفوفة من الرتبة م × ن.
• إذا كانت ب مصفوفة من الرتبة ن × ل.
• يكون حاصل الضرب أ . ب = ج.
• تكون ج مصفوفة من الرتبة م × ل.

تطبيقات التكامل المحدود

ثم كتب المعادلة المصفوفة أ . ك = ج

• طريقة النظير الضربي
• طريقة كريمر
• طريقة جاوس
• يمكننا تمثيل نظام من المعادلات الخطية على شكل معادلة مصفوفة باستخدام ثلاث مصفوفات.
• تتكون هذه المصفوفات من مصفوفة المعاملات أ، ومصفوفة المتغيرات ك، ومصفوفة الثوابت ج.
• يمثل نظام المعادلات الخطية الآتي: ٢س + ٣ص = ١٠، -٣س + ٥ص = ٤، مصفوفة المعاملات أ كما يأتي:

الأعداد المركبة

١-٦ الأعداد المركبة (Complex Numbers)

• أراد أبو محمود شراء قطعة أرض مستطيلة الشكل مساحتها س^٢ - ٥س + ٨ م.
• يبلغ أحد أبعاد هذه القطعة س + ٣ م.
• لم يقبل محمود فكرة أبيه وقال له إن هذه القطعة ليست مستطيلة الشكل.
• عرف محمود ذلك من خلال تحليل أبعاد القطعة.
• لاحظت وجود قصور في نظام الأعداد الحقيقية.
• لا نستطيع إيجاد حلول للمعادلات كافة باستخدام هذا النظام.

التمثيل البياني والتمثيل القطبي للأعداد المركبة

ثانياً: التمثيل القطبي للأعداد المركبة (Complex Plane and Polar Representation):

• يمكن تمثيل العدد المركب ع = س + ص ت بيانياً في مستوى الأعداد المركبة بالنقطة أو الزوج المرتب (س ، ص).
• يمكن تمثيل كل زوج مرتب بمتجه قياسي بدايته النقطة (٠ ، ٠) ونهايته النقطة (س ، ص).
• يصنع هذا المتجه زاوية هـ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات (المحور الأفقي).
• تسمى هـ السعة الأساسية للعدد المركب.
• تكون ظاهـ مساوية لـ ص/س، حيث ٠ ≤ هـ < ٢π.
• يكون طول المتجه مساوياً لـ ر.