بطاقات الرياضيات توجيهي: مراجعة سريعة

ما متوسط التغير؟

نسبة تغير قيمة الاقتران إلى تغير المتغير المستقل على فترة محددة.

ما صيغة متوسط التغير؟

[ق(س₂)−ق(س₁)]/(س₂−س₁)، بشرط س₂≠س₁.

ما Δس؟

Δس = س₂−س₁، وهو التغير في المدخل.

ما ميل القاطع؟

ميل المستقيم الذي يصل نقطتين على منحنى الاقتران، ويساوي متوسط التغير بينهما.

ما تعريف المشتقة؟

نهاية متوسط التغير عندما هـ يقترب من الصفر، إذا كانت النهاية موجودة.

ماذا تمثل المشتقة هندسياً؟

ميل المماس لمنحنى الاقتران عند نقطة.

ما رمز المشتقة؟

ق'(س) أو دق/دس.

ما مشتقة الثابت؟

صفر.

قاعدة القسمة

(ب/م)'=(ب'م−بم')/م2، مع م≠0.

شرط المقام

يجب أن يكون المقام غير صفري، وتستبعد قيم المتغير التي تجعله صفراً.

مثال 10

لـ ق(س)=س3+س2/(1−س)، تعطي قاعدة القسمة ق'(−1)=9/4.

مثال 11

لـ ق(س)=(س2−2)/(س+3)، القيم التي تحقق ق'(س)=−3/4 هي س=−1 و س=−5.

ما أول خطوة قبل لوبيتال؟

التعويض المباشر في البسط والمقام لتحديد صورة النهاية.

متى نستخدم قاعدة لوبيتال في هذا المقطع؟

عندما تعطي النهاية بعد التعويض المباشر الصورة غير المعينة 0/0، مع قابلية الاقترانين للاشتقاق عند النقطة المقصودة.

كيف نطبق لوبيتال؟

نشتق البسط والمقام كلٌّ على حدة، ثم نحسب النهاية الجديدة.

متى نكرر قاعدة لوبيتال؟

إذا بقيت النهاية بعد التطبيق الأول على صورة 0/0، كما في (1−جتا س)/س².

المماس

مستقيم يلامس منحنى الاقتران عند نقطة التماس، وميله عندها ق′(س₁).

نقطة التماس

(س₁، ق(س₁))، أي نعوّض إحداثي س في الاقتران لإيجاد إحداثي ص.

ميل المماس

ق′(س₁) عند نقطة التماس.

معادلة المماس

ص−ص₁=ق′(س₁)(س−س₁).

السرعة المتوسطة

Δف/Δن=[ف(ن2)−ف(ن1)]/(ن2−ن1).

السرعة اللحظية

ع=دف/دن=ف'(ن).

التسارع

ت=دع/دن=ف''(ن).

مثال 6

لـ ف(ن)=ن3−9ن2+7، متوسط السرعة بين 1 و3 هو −23 م/ث، ويتغير الاتجاه عند ن=6.

الاقتران المركب

ق(هـ(س))، حيث هـ الداخل وق الخارج.

قاعدة السلسلة

دص/دس=(دص/دع)(دع/دس)=ق'(هـ(س))هـ'(س).

العلاقة الصريحة

علاقة يكون فيها ص معزولاً بدلالة س.

العلاقة الضمنية

علاقة تجمع س وص في معادلة واحدة دون ضرورة عزل ص.

ما المقصود بنظرية رول؟

إذا كان ق متصلاً على [أ، ب] وقابلاً للاشتقاق على (أ، ب) وكان ق(أ)=ق(ب)، فهناك ج∈(أ، ب) بحيث ق'(ج)=٠.

ما المقصود بنظرية القيمة المتوسطة؟

إذا كان ق متصلاً على [أ، ب] وقابلاً للاشتقاق على (أ، ب)، فهناك ج∈(أ، ب) بحيث ق'(ج)=(ق(ب)−ق(أ))÷(ب−أ).

ما الفرق بين ميل القاطع وميل المماس؟

ميل القاطع هو (ق(ب)−ق(أ))÷(ب−أ) بين الطرفين، أما ميل المماس عند ج فهو ق'(ج).

ما شروط تطبيق نظرية رول؟

الاتصال على [أ، ب]، وقابلية الاشتقاق على (أ، ب)، وتساوي ق(أ) وق(ب).

متى يكون الاقتران متزايداً؟

إذا س₁<س₂ فإن ق(س₁)<ق(س₂) على الفترة.

متى يكون متناقصاً؟

إذا س₁<س₂ فإن ق(س₁)>ق(س₂) على الفترة.

ما اختبار التزايد؟

إذا ق'(س)>0 على فترة فالاقتران متزايد عليها.

ما اختبار التناقص؟

إذا ق'(س)<0 على فترة فالاقتران متناقص عليها.

القيمة العظمى المحلية

قيمة تكون أكبر من قيم الاقتران في جوار مفتوح حول النقطة.

القيمة الصغرى المحلية

قيمة تكون أصغر من قيم الاقتران في جوار مفتوح حول النقطة.

القيمة العظمى المطلقة

أكبر قيمة عند مقارنة الاقتران مع جميع قيم المجال أو الفترة المعطاة.

النقطة الحرجة

قيمة أ من المجال تحقق ق′(أ)=0 أو تكون ق′(أ) غير موجودة.

التقعر للأعلى

يكون المنحنى فوق مماساته محلياً، وتكون f′′ موجبة على الفترة.

التقعر للأسفل

يكون المنحنى تحت مماساته محلياً، وتكون f′′ سالبة على الفترة.

اختبار التقعر

نحسب f′′ ونختبر إشارتها في فترات المجال، لا عند نقطة واحدة فقط.

نقطة الانعطاف

نقطة متصلة يتغير عندها اتجاه التقعر حولها.

دالة الهدف

دالة تمثل الكمية المطلوب تعظيمها أو تقليلها، مثل المساحة أو المسافة.

القيد

علاقة المعطيات التي تربط المتغيرات وتحدد الأشكال أو الأطوال الممكنة.

المجال الفيزيائي

القيم الواقعية المسموح بها، مثل س>0 أو 0≤س≤56.

حاصل ضرب عددين مجموعهما 60

P(س)=س(60−س)، وتبلغ القيمة العظمى عند س=30 والعددين 30 و30.

ما المقصود بالمصفوفة؟

تنظيم مستطيل للأعداد في صفوف وأعمدة محصور بين قوسين.

كيف تكتب رتبة المصفوفة؟

عدد الصفوف × عدد الأعمدة، ويأتي الصف أولاً.

ماذا يعني aij؟

المدخل الواقع في الصف i والعمود j.

ما المصفوفة المربعة؟

مصفوفة عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها.

ما شرط جمع المصفوفات؟

أن تكون المصفوفتان من الرتبة نفسها، ثم تجمع المدخلات المتناظرة.

كيف يتم طرح المصفوفات؟

A − B = A + (−B)، أي طرح المدخلات المتناظرة أو جمع النظير الجمعي.

ما الضرب القياسي؟

ضرب عدد حقيقي في كل مدخلة من مدخلات المصفوفة.

ما النظير الجمعي للمصفوفة؟

المصفوفة −A التي تحقق A + (−A) = 0.

ما المحدد؟

عدد مرتبط بمصفوفة مربعة.

ما قاعدة محدد 2 × 2؟

ad − bc.

كيف تحسب محدد 3 × 3؟

بالتوسيع من صف أو عمود إلى محددات أصغر مع الإشارات.

ماذا يحدث عند تبديل صفين؟

تتغير إشارة المحدد.

ما تعريف النظير الضربي؟

A⁻¹ يحقق A A⁻¹ = A⁻¹ A = I.

متى تكون المصفوفة منفردة؟

عندما يكون محددها صفراً ولا يوجد لها نظير.

متى يوجد النظير؟

عندما تكون المصفوفة مربعة ومحددها غير صفري.

ما صيغة نظير 2 × 2؟

بدّل القطر الرئيس، غيّر الإشارات خارج القطر، واقسم على ad−bc.

ما الصورة المصفوفية للنظام الخطي؟

تكتب المعادلات على الصورة AX=B، حيث A للمعاملات وX للمتغيرات وB للثوابت.

متى نستخدم طريقة النظير الضربي؟

عندما تكون مصفوفة المعاملات غير منفردة، ويكون الحل X=A^-1B.

ما المحدد العام في قاعدة كريمر؟

هو محدد مصفوفة المعاملات، ويرمز له بـ D في الصيغ المرئية.

كيف تبني D_x؟

استبدل عمود المتغير الأول بعمود الثوابت واترك بقية أعمدة المعاملات كما هي.

ما المقصود بالاقتران الأصلي؟

اقتران م(س) تكون مشتقته م′(س) مساوية للاقتران ق(س).

ما هو التكامل غير المحدود؟

مجموعة جميع الاقترانات الأصلية للاقتران تحت إشارة التكامل.

لماذا نضيف ثابت التكامل ج؟

لأن مشتقة أي ثابت تساوي صفراً، فيختلف أي أصلين للاقتـران نفسه بثابت.

ما صيغة قاعدة القوى؟

إذا كان ن ≠ −١، فإن ∫ سⁿ دس = سⁿ⁺¹/(ن+١) + ج.

ما المقصود بالاقتران الأصلي؟

اقتران مشتقته تساوي الاقتران المعطى.

ما المقصود بالتكامل غير المحدود؟

عملية عكسية للاشتقاق تعيد الاقتران الأصلي مع ثابت التكامل.

لماذا نضيف ثابت التكامل ج؟

لأن الاقترانات الأصلية التي لها المشتقة نفسها تختلف بمقدار ثابت.

ما تكامل الصفر؟

∫ ٠ دس = ج.

ما ميل المماس لمنحنى ق(س)؟

قيمة المشتقة ق′(س) عند النقطة المطلوبة.

كيف أوجد قاعدة منحنى من ميل مماسه؟

أكامل د(س)=ق′(س)، ثم أستخدم نقطة معلومة لإيجاد ثابت التكامل.

ما علاقة السرعة بالموضع؟

السرعة ع(ن) هي مشتقة الموضع ف(ن): ع(ن)=ف′(ن).

ما علاقة التسارع بالسرعة؟

التسارع ت(ن) هو مشتقة السرعة ع(ن): ت(ن)=ع′(ن).

ما الطرق الثلاث في الدرس؟

التكامل بالتعويض، والتكامل بالتجزئة، والتكامل بالكسور الجزئية.

ما علامة التعويض؟

وجود تعبير داخلي هـ(س) ومعه مشتقته أو مضاعف مشتقته داخل التكامل.

ما أول خطوة في التعويض؟

نضع ع = هـ(س)، حيث هـ(س) هو التعبير الداخلي المناسب.

كيف أحول د س في التعويض؟

أشتق ع لأحصل على د ع، ثم أعيد كتابة العامل التفاضلي داخل التكامل.

ما التجزئة النونية؟

σ=س₀،س₁،…،سₙ للفترة [أ،ب] مع س₀=أ<…<سₙ=ب.

ما الفترة الجزئية الرائية؟

[سᵣ₋₁،سᵣ] بين عنصرين متتاليين من التجزئة.

ما طول الفترة الجزئية؟

Δسᵣ=سᵣ−سᵣ₋₁.

ما مجموع أطوال الفترات الجزئية؟

Σᵣ₌₁ⁿΔسᵣ=ب−أ، أي طول الفترة الكلية.

ما تعريف التكامل المحدود؟

إذا كانت نهاية م(σₙ،ق) تساوي ل عندما ن→∞ لجميع اختيارات سᵣ*، فإن ∫ من أ إلى ب ق(س) د س = ل.

ما مجموع ريمان في التجزئة النونية المنتظمة؟

م(σₙ،ق)=∑ من ر=1 إلى ن ق(سᵣ*) (ب−أ)/ن.

ما قيمة عرض الفترة الجزئية؟

Δس=(ب−أ)/ن عندما تكون التجزئة نونية منتظمة.

كيف تختار سᵣ* بالطرف الأيمن؟

سᵣ*=أ+ر(ب−أ)/ن.

ما الاقتران الأصلي؟

اقتران م يحقق م'(س)=ق(س).

ما صيغة النظرية الأساسية؟

∫ من أ إلى ب ق(س) دس = م(ب)−م(أ) عندما م'=ق.

ما شرط ق؟

يكون ق متصلاً على الفترة لتطبيق النظرية بالصيغة المعروضة.

لماذا يختفي ثابت التكامل؟

لأن (م(ب)+ج)−(م(أ)+ج)=م(ب)−م(أ).

ما شرط تطبيق خصائص الدرس؟

أن يكون الاقتران المعني قابلاً للتكامل على فترة التكامل المحددة.

خاصية الإضافة

أ^بق=أ^جـق+جـ^بق.

ماذا أفعل مع اقتران معرف على أجزاء؟

أقسّم فترة التكامل عند نقطة التغيّر وأستخدم خاصية الإضافة.

ما ترتيب الحل في سؤال إثبات؟

حدّد العلاقة أو الإشارة على الفترة، ثم طبّق خاصية المقارنة أو عدم السلبية، دون إجراء التكامل إذا لم يُطلب.

نقاط التقاطع

قيم س التي تجعل ق(س)=هـ(س)، وتحدد غالباً حدود المساحة.

المساحة الموقعة

قيمة التكامل مع الإشارة؛ تكون سالبة للجزء الواقع تحت محور السينات ولا تساوي المساحة الكلية دائماً.

تقسيم الفترة

تجزئة فترة التكامل عند صفر الاقتران أو عند نقطة تغيّر ترتيب المنحنيين.

الأعلى والأسفل

في الشرائح الرأسية، الارتفاع يساوي قيمة الاقتران الأعلى ناقص قيمة الاقتران الأسفل.

ما العدد المركب؟

هو مقدار جبري على الشكل ع = س + ص ت حيث س، ص ∈ ح و ت = √(-1).

ما الوحدة التخيلية؟

العدد ت = √(-1)، ولذلك ت2 = -1.

ما الجزء الحقيقي في ع = س + ص ت؟

الجزء الحقيقي هو س.

ما الجزء التخيلي في ع = س + ص ت؟

الجزء التخيلي هو ص، أي معامل ت.

ما الصورة الجبرية للعدد المركب؟

س+صت، حيث س وص عددان حقيقيان.

متى يتساوى عددان مركبان؟

إذا تساوى الجزء الحقيقي في كل منهما والجزء التخيلي في كل منهما.

ما قاعدة جمع وطرح عددين مركبين؟

(س_1+ص_1ت)±(س_2+ص_2ت)=(س_1± س_2)+(ص_1± ص_2)ت.

ما قيمة ت2؟

ت2=-1.

ما مرافق س+ص ت؟

س−ص ت؛ نعكس إشارة الجزء التخيلي فقط.

ما مقياس س+ص ت؟

√(س²+ص²).

ماذا يساوي ع ع̄؟

|ع|²، وهو عدد حقيقي غير سالب.

كيف نقسم عددين مركبين؟

نضرب البسط والمقام في مرافق المقام ثم نبسط.

مستوى أرجاند

مستوى تُمثَّل فيه ع = س + ص ت بالنقطة (س، ص).

المقياس ر

ر = √(س² + ص²) = طول المتجه.

السعة الأساسية

الزاوية هـ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.

س = ر جتا هـ

الإحداثي الحقيقي من الصورة القطبية.