Mathematics Tawjihi questions with answers 2026

Q: عرّف البحث العلمي كما ورد في النص، موضحاً الغاية الأساسية منه في بناء استراتيجيات الدولة.

A: البحث العلمي هو: جمع منظم للمعلومات المتوفرة لدى الباحث عن موضوع معين، وترتيبها بصورة جيدة؛ بحيث تدعم المعلومات السابقة، أو تصبح أكثر نقاءً ووضوحاً. وهو عملية استقصاء منظمة ودقيقة لجمع الشواهد والأدلة، بهدف اكتشاف معلومات، أو علاقات جديدة، أو تكميل معلومات أو علاقات ناقصة، أو تصحيح خطأ فيه. والغاية منه هي بناء استراتيجية شاملة لكافة الأنشطة الخاصة بالمجتمع والدولة.

Q: لماذا تُعد دراسة النمو السكاني ذات أهمية بالغة للدولة؟

A: تعتبر دراسة النمو السكاني ذات أهمية في تحديد سياسات الدولة وقراراتها؛ لخدمة المواطنين وتحسين معيشتهم.

Q: بناءً على البيانات الواردة في صفحة 8، إذا كان عدد السكان الفلسطينيين في منتصف عام 2015 هو 4.6 مليون نسمة، وعدد الذكور 2.38 مليون نسمة، احسب عدد الإناث.

A: عدد الإناث = إجمالي السكان - عدد الذكور = 4.6 - 2.38 = 2.22 مليون نسمة.

Q: قارن بين المسح الشامل والعينة من حيث التكلفة والجهد والشمولية.

A: المسح الشامل يعطي معلومات شاملة عن خصائص المجتمع لكنه يتطلب وقتاً وجهداً كبيرين ونفقات مرتفعة. أما العينة فهي مجموعة جزئية توفر الوقت والجهد وتستخدم عندما يتعذر المسح الشامل.

Q: لماذا يُعد فحص الدم لشخص ما مثالاً على استحالة المسح الشامل؟

A: لأن فحص الدم يتطلب سحب عينة من دم الشخص، وإذا أردنا إجراء مسح شامل (سحب كل الدم) فسيؤدي ذلك إلى هلاك الشخص، لذا يتعذر المسح الشامل في مثل هذه الحالات.

Q: عرّف كلاً من 'المسح الشامل' و'العينة' كما ورد في النص، مبيناً العلاقة بينهما.

A: المسح الشامل: عملية يتم فيها جمع البيانات من كل أفراد المجتمع. العينة: هي مجموعة جزئيّة من المجتمع. العلاقة: نلجأ للعينة كبديل للمسح الشامل في حالات يتعذر فيها الوصول لكل الأفراد أو عند الحاجة لتقليل الوقت والجهد والنفقات.

Q: إذا كان عدد المهندسين في مؤتمر: معماري (150)، مدني (200)، ميكانيكي (80)، كهربائي (70)، وأراد باحث سحب عينة حجمها 20 مهندساً، احسب حجم العينة لكل تخصص.

A: المجتمع الكلي = 500. نسبة العينة = 20/500 = 0.04. المعماري: 150×0.04=6، المدني: 200×0.04=8، الميكانيكي: 80×0.04=3.2 (يُقرب لـ 3)، الكهربائي: 70×0.04=2.8 (يُقرب لـ 3).

Q: تطبيقات حسابية على العينات الطبقية

A: 180 + 120 + 250 + 150 = 700 طالبة.

Q: في دراسة حول أثر التكنولوجيا على أداء الطلبة (المجتمع 500 طالب، العينة 10%)، ما نوع العينة الأنسب ولماذا؟

A: نوع العينة: عينة عشوائية بسيطة. السبب: لعدم وجود تصنيفات أو طبقات محددة مسبقاً في السؤال تتطلب التوزيع الطبقي، ولضمان إعطاء كل طالب فرصة متساوية للاختيار.

Q: عرف المتغير العشوائي المنفصل كما ورد في الكتاب المدرسي، وما هو الشرط الأساسي ليكون التوزيع توزيعاً احتمالياً؟

A: المتغير العشوائي المنفصل هو اقتران مجاله الفضاء العيني (Ω) ومداه مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية. ويسمى توزيعاً احتمالياً إذا حقق الشرطين: 1) 0 ≤ ل(س) ≤ 1، 2) مجموع ل(س) لجميع قيم س = 1.

Q: لماذا يمثل المخطط السهمي الذي يربط الفضاء العيني بقيم س اقتراناً؟

A: لأنه لكل عنصر في الفضاء العيني (المجال) صورة واحدة فقط في مجموعة قيم س (المدى).

Q: في تجربة اختيار عائلة من ثلاثة أطفال، إذا عرفنا المتغير س على أنه عدد الإناث، فما هو الفضاء العيني (Ω) وما هي قيم س الممكنة؟

A: الفضاء العيني Ω = ب ب ب، ب ب و، ب و ب، و ب ب، ب و و، و ب و، و و ب، و و و. قيم س الممكنة هي 0، 1، 2، 3.

Q: أكمل جدول التوزيع الاحتمالي لتجربة إلقاء قطعة نقد ثلاث مرات حيث س عدد مرات ظهور الصورة:

A: الجدول: س=0, 1, 2, 3، ل(س)=1/8, 3/8, 3/8, 1/8.

Q: في دراسة عن عدد الذكور في العائلات ذات الأربع أطفال، إذا كان س يمثل عدد الذكور، اشرح لماذا مجموع التوزيع الاحتمالي لـ س يجب أن يساوي 1؟

A: لأن التوزيع الاحتمالي يغطي كافة قيم الفضاء العيني الممكنة للمتغير العشوائي، ومجموع احتمالات جميع الحوادث في الفضاء العيني يساوي دائماً الواحد الصحيح.

Q: عرّف التوقع للمتغير العشوائي المنفصل، وما علاقته بالوسط الحسابي؟

A: التوقع هو وسط التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل، ويرمز له بالرمز ت(س)، حيث ت(س) = Σ س_ر × ل(س_ر). وهو يمثل الوسط الحسابي للمتغير العشوائي.

Q: ما هي العلاقة الرياضية المستخدمة لإيجاد التوقع في توزيع ذي الحدين؟ وكيف تطبقها في تجربة ن=4، أ=0.5؟

A: العلاقة هي: التوقع = ن * أ. في هذه الحالة: 4 * 0.5 = 2.

Q: إذا كان ن=4، أ=0.5، احسب ل(س=0) و ل(س=1) لتكوين جدول التوزيع الاحتمالي.

A: ل(س=0) = (4 فوق 0) * (0.5)0 * (0.5)4 = 1/16. ل(س=1) = (4 فوق 1) * (0.5)1 * (0.5)3 = 4/16 = 1/4.

Q: بالاعتماد على نشاط إلقاء قطعة نقد 3 مرات، أكمل الجدول التالي:

A: س: 0، 1، 2، 3 | ل(س): 1/8، 3/8، 3/8، 1/8

Q: إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي (س) يعطى بالعلاقة ل(س) = ك × س، حيث س = 1، 2، 3، 4، احسب قيمة الثابت ك.

A: بما أن مجموع الاحتمالات يساوي 1: ك(1) + ك(2) + ك(3) + ك(4) = 1، إذن 10ك = 1، ومنه ك = 0.1.

Q: مفاهيم التوزيع الاحتمالي والتوقع

A: 2ت(س) - 5 = 3، إذن 2ت(س) = 8، ومنه ت(س) = 4.

Q: ما الشرطان الأساسيان اللذان يجب توافرهما في أي اقتران ليكون توزيعاً احتمالياً للمتغير العشوائي (س)؟

A: 1. أن تكون جميع قيم ل(س) أكبر من أو تساوي صفراً (ل(س) ≥ 0). 2. أن يكون مجموع الاحتمالات لجميع قيم س يساوي الواحد الصحيح (مج ل(س) = 1).

Q: أوجد الحد العام للمتتالية: 4، 8، 12، 16، ...

A: ح_ن = 4ن

Q: فسر لماذا تعتبر المتتالية اقتراناً؟

A: لأنها تربط كل عدد طبيعي (رتبة الحد) بقيمة واحدة فقط (قيمة الحد) من مجموعة الأعداد الحقيقية.

Q: العلاقات التكرارية والمسائل الحياتية

A: 1

Q: عبر عن المتسلسلة التالية باستخدام رمز المجموع: 2k + 3k + 4k + ... + 8k (حيث k ثابت)

A: =28 nk

Q: حول المتسلسلة التالية إلى الصيغة المختصرة: (1)/(5) + (1)/(10) + (1)/(15) + ... + (1)/(50)

A: =110 (1)/(5n)

Q: التحويل إلى الصيغة المختصرة

A: 4 + 8 + 12 + ... + 36

Q: إذا كانت 4، س، ص، -3 حدود متتالية حسابية، أوجد قيم س و ص.

A: أ=4، ح4 = -3. -3 = 4 + (4-1)د => -7 = 3د => د = -7/3. س = 4 - 7/3 = 5/3. ص = 5/3 - 7/3 = -2/3.

Q: اشرح مفهوم الوسط الحسابي لعددين، وكيف تستخدمه لإيجاد الحد الأوسط في متتالية حسابية؟

A: الوسط الحسابي لعددين (أ، ب) هو (أ+ب)/2. في المتتالية الحسابية، أي حد هو وسط حسابي للحد الذي قبله والحد الذي بعده.

Q: موظف راتبه السنوي 3600 دينار، وعلاوته السنوية 60 ديناراً. بعد كم سنة يصبح راتبه 4800 دينار؟

A: أ=3600، د=60، ح_ن=4800. 4800 = 3600 + (ن-1)60 => 1200 = (ن-1)60 => 20 = ن-1 => ن = 21 سنة.

Q: ما الفرق الجوهري في استخدام قانون المجموع بمعلومية الحد الأخير (ل) مقابل استخدامه بمعلومية الأساس (د)؟

A: نستخدم القانون جـ = (ن/2)(أ + ل) إذا كان الحد الأخير معلوماً، بينما نستخدم القانون جـ = (ن/2)[2أ + (ن-1)د] إذا كان الأساس معلوماً والحد الأخير مجهولاً.

Q: لماذا تعتبر المتسلسلة (3- + 7 + 11 + 15 + ...) متسلسلة حسابية؟ حدد عناصرها الأساسية.

A: تعتبر حسابية لأن الفرق بين أي حدين متتاليين ثابت (الأساس د = 4). العناصر: الحد الأول (أ) = 3-، الأساس (د) = 4.

Q: اشرح الطريقة التي استخدمها العالم جاوس لجمع الأعداد من 1 إلى 100، وكيف قادت هذه الطريقة إلى استنتاج قانون مجموع المتسلسلة الحسابية؟

A: قام جاوس بكتابة المجموع مرتين، مرة بالترتيب التصاعدي (1+2+...+100) ومرة بالترتيب التنازلي (100+99+...+1)، ثم جمع الحدود المتناظرة التي كان مجموع كل زوج منها يساوي 101. وبما أن عدد الحدود 100، فإن المجموع الكلي هو (100 × 101) / 2 = 5050. هذه الفكرة هي الأساس لقانون المجموع: جـ = (ن/2) × (أ + ل).

Q: أوجد الحد السابع في المتتالية: 1/3، 1، 3، ...

A: الحد الأول أ = 1/3، الأساس ر = 1 / (1/3) = 3. الحد السابع ح7 = (1/3) × (3)7-1 = (1/3) × (3)6 = 35 = 243.

Q: إذا كانت 5، س، ص، 625 حدود متتالية هندسية، أوجد قيمتي س و ص.

A: بما أن ح1 = 5 و ح4 = 625، فإن 625 = 5 × (ر)4-1 → 125 = (ر)3 → ر = 5. إذاً: س = 5 × 5 = 25، ص = 25 × 5 = 125.

Q: تطبيقات حسابية على المتتالية الهندسية

A: ح_ن = 3 × (4)ن-1

Q: أوجد مجموع أول ستة حدود من المتسلسلة الهندسية التي حدها الأول 5 وأساسها 2.

A: باستخدام القانون Sn = (a(1 - rn))/(1 - r)، حيث a=5, r=2, n=6: S6 = (5(1 - 26))/(1 - 2) = (5(1 - 64))/(-1) = (5(-63))/(-1) = 315.

Q: تطبيقات حسابية ورياضية

A: الحد الرابع = a × r(4-1) = 6 × (-2)3 = 6 × (-8) = -48.

Q: كم حداً يلزم أخذه من المتسلسلة الهندسية (2 + 4 + 8 + ...) ليصبح مجموع هذه الحدود مساوياً 254؟

A: المعطيات: a=2, r=2, Sn=254. القانون: 254 = (2(1 - 2n))/(1 - 2) → 254 = (2(1 - 2n))/(-1) → -254 = 2 - 2(2n) → -256 = -2(2n) → 128 = 2n → n = 7.

Q: احسب الحد العاشر في المتتالية: -20، -16، -12، -8، ...

A: أ = -20، د = 4. ح10 = -20 + (10-1)4 = -20 + 36 = 16.

Q: لماذا تعتبر المتتالية التي حدودها 5، -5، 5، -5 متتالية هندسية؟

A: لأن النسبة بين كل حد والحد السابق له ثابتة وتساوي -1 (ر = -1).

Q: ما المقصود بالوسط الحسابي للعددين 12 و 18؟ وكيف يتم حسابه؟

A: الوسط الحسابي هو القيمة التي تتوسط العددين في متتالية حسابية. الحساب: (12 + 18) / 2 = 15.

Q: تأمل تاريخ استخدام الأرقام القياسية: من هو العالم الذي استخدمها لأول مرة، وفي أي عام، وما هو الهدف من ذلك؟

A: استخدمها الإحصائي الإيطالي كارلي عام 1764م لمقارنة الأسعار في إيطاليا لسنة 1750م بالأسعار في سنة 1500م.

Q: ما هي المعايير التي يجب مراعاتها عند اختيار فترة أو مكان الأساس لتركيب الرقم القياسي؟

A: يجب أن تكون فترة أو مكان الأساس متميزة بالاستقرار الاقتصادي، وخالية من الاضطرابات العنيفة التي قد تتعرض لها الظاهرة كالحروب والأزمات الاقتصادية، كما يفضل ألا تكون بعيدة جداً عن سنوات المقارنة.

Q: عرف الرقم القياسي كما ورد في النص، واذكر الغاية الإحصائية من استخدامه.

A: الرقم القياسي: هو عبارة عن مؤشر إحصائي يقيس التغير النسبي الذي طرأ على ظاهرة معينة، سواء أكانت سعراً، كمية، قيمة أم أجراً، بالنسبة لأساس معين قد يكون فترة زمنية معينة، أو مكاناً جغرافياً معيناً.

Q: إذا كانت المحافظات الشمالية هي 'مكان الأساس'، كيف نستخدم هذه المعلومة في حساب الرقم القياسي لمقارنة الأسعار مع المحافظات الجنوبية؟

A: نضع أسعار المحافظات الشمالية في مقام الكسر (سنة/مكان الأساس) وأسعار المحافظات الجنوبية في بسط الكسر (سنة/مكان المقارنة).

Q: الوسط الحسابي للأرقام القياسية في الجدول (صفحة 56) هو 111.11%. اشرح دلالة هذا الرقم.

A: يدل على وجود ارتفاع عام في أسعار هذه السلع مجتمعة بنسبة 11.11% في فترة المقارنة مقارنة بسنة الأساس.

Q: ماذا يعني أن الرقم القياسي لمجموعة سلع هو 115%؟

A: يعني أن الأسعار في فترة المقارنة ارتفعت بنسبة 15% مقارنة بأسعار سنة الأساس.

Q: عرف رقم لاسبير القياسي، وما هي الفلسفة التي يعتمد عليها في اختيار الأوزان؟

A: رقم لاسبير القياسي هو المقدار: [مجموع (سعر سنة المقارنة × كمية سنة الأساس) / مجموع (سعر سنة الأساس × كمية سنة الأساس)] × 100%. يعتمد في فلسفته على استخدام كميات سنة الأساس كأوزان لترجيح الأسعار.

Q: ما الفرق الجوهري بين منهجية لاسبير ومنهجية باش في اختيار الأوزان؟

A: يستخدم لاسبير كميات سنة الأساس كأوزان، بينما يستخدم باش كميات سنة المقارنة كأوزان لترجيح الأسعار.

Q: لماذا يُطلق على رقم فيشر 'الرقم القياسي الأمثل'؟

A: يُطلق عليه الرقم الأمثل نظراً لما يمتاز به من خصائص رياضية، ويُعرف على أنه جذر حاصل ضرب رقم لاسبير في رقم باش.

Q: في حال كان الرقم القياسي لسعر صندوق الجوافة في سلفيت 100%، حدد سنة الأساس أو مكان الأساس بناءً على المعطيات.

A: مكان الأساس هو سلفيت نفسها، لأن الرقم القياسي يساوي 100% فقط عندما تكون سنة/مكان المقارنة هو نفسه سنة/مكان الأساس.

Q: فسّر المقصود بالعبارة: 'الرقم القياسي لسعر سلعة في سنة 2000م بالنسبة لسعرها في نفس السنة هو 100%'؟

A: يعني ذلك أن سنة الأساس وسنة المقارنة هما نفس السنة، وبما أن السعر في سنة المقارنة يساوي السعر في سنة الأساس، فإن النسبة تكون (السعر/السعر) × 100 = 100%.

Q: إذا كان الرقم القياسي لسعر سلعة ما في عام 2005م بالنسبة لعام 1995م هو 120%، فماذا يعني ذلك اقتصادياً؟

A: يعني أن سعر السلعة في عام 2005م قد زاد بنسبة 20% عما كان عليه في عام 1995م.

Q: بالاعتماد على النص في صفحة 66، اشرح كيف يتم التعبير عن 'عرض العلم' (أب) رياضياً إذا كان محيط العلم 80م وطوله 24م؟

A: المعادلة هي: 2 × (24 + أب) = 80. بحل المعادلة: 48 + 2 × أب = 80، ومنها 2 × أب = 32، إذن أب = 16م.

Q: وضح الفرق بين المعادلة الخطية بمتغير واحد والمعادلة الخطية بمتغيرين من خلال الأمثلة الواردة في الدرس.

A: المعادلة بمتغير واحد (مثل ع = 1/3 × 24) تعطي قيمة مباشرة لمجهول واحد، بينما المعادلة بمتغيرين (مثل س + ص = 11) تمثل علاقة بين قيمتين مجهولتين تتطلب نظاماً من معادلتين لإيجاد قيمتهما.

Q: في سياق العلم الفلسطيني، إذا كان طول العلم 24م، وارتفاع المثلث الأحمر يساوي ثلث طول العلم، اكتب المعادلة الخطية التي تعبر عن ارتفاع المثلث (ع) ثم جد قيمته.

A: المعادلة: ع = (1)/(3) × 24. ومنها ع = 8م.

Q: مهارات حل الأنظمة الخطية

A: بعد التعويض والحذف، ينتج النظام: 3ص - 2ع = -1، 7ص - 4ع = -2

Q: كيف تتحقق من صحة الحل الذي توصلت إليه لنظام المعادلات؟

A: يتم تعويض قيم المتغيرات (س، ص، ع) التي تم إيجادها في المعادلات الأصلية الثلاث؛ إذا تحققت المساواة في جميع المعادلات، فإن الحل صحيح.

Q: عند حل نظام معادلات خطية، إذا حصلت على معادلة مثل (0 = 5)، ماذا يعني ذلك بالنسبة لحل النظام؟

A: يعني أن النظام ليس له حل (مستحيل الحل)، حيث أن العبارة الناتجة تناقض رياضي.

Q: عرف المعادلة الجذرية كما وردت في النص، واذكر الشرط الأساسي الذي يجعل المعادلة تندرج تحت هذا التصنيف.

A: المعادلة الجذرية هي المعادلة التي تحتوي متغيرات تحت الجذر.

Q: لماذا نلجأ إلى 'عزل الجذر في طرف واحد' كخطوة أولى عند حل المعادلات الجذرية؟

A: لأن وضع الجذر موضع القانون (في طرف بمفرده) يسهل عملية التخلص منه عن طريق تربيع الطرفين، مما يحول المعادلة إلى معادلة جبرية عادية (كثيرة حدود) يسهل حلها.

Q: اشرح المقصود بـ 'الحل الدخيل' في سياق المعادلات الجذرية، ولماذا يجب علينا التحقق من الحلول؟

A: الحل الدخيل هو قيمة ناتجة عن حل المعادلة الجبرية بعد التربيع، ولكنها لا تحقق المعادلة الأصلية. يجب التحقق لأن عملية التربيع قد تنتج حلولاً لا تنتمي لمجال الجذر الأصلي.

Q: حل أنظمة المعادلات جبرياً

A: ص = 2س². بالتعويض في الخطية: 5س - 2(2س²) = -1، أي -4س² + 5س + 1 = 0، أو 4س² - 5س - 1 = 0.

Q: أوجد مجموعة حل النظام: 2س - 3ص = 1 و 4س² - 7س - ص = 6.

A: من المعادلة الأولى: ص = (2س - 1) / 3. بالتعويض في الثانية: 4س² - 7س - (2س - 1)/3 = 6. بضرب المعادلة في 3: 12س² - 21س - 2س + 1 = 18، لتصبح 12س² - 23س - 17 = 0. بالتحليل: (4س + 1)(3س - 17) = 0. س = -1/4 أو س = 17/3.

Q: حل النظام: (ص - 6)² = 100 - (س - 4)² مع ص - س = 0.

A: بما أن ص = س، نعوض في المعادلة الأولى: (س - 6)² + (س - 4)² = 100. فك الأقواس: (س² - 12س + 36) + (س² - 8س + 16) = 100. 2س² - 20س - 48 = 0. س² - 10س - 24 = 0. (س - 12)(س + 2) = 0. س = 12 أو س = -2. وبما أن ص = س، فمجموعة الحل هي (12, 12), (-2, -2).

Q: أوجد مجموعة حل المتباينة: |2س - 5| < 9.

A: -9 < 2س - 5 < 9، بإضافة 5 لجميع الأطراف: -4 < 2س < 14، بالقسمة على 2: -2 < س < 7. مجموعة الحل = (-2, 7).

Q: اشرح الفرق في آلية الحل بين المتباينة |س| ≤ أ والمتباينة |س| ≥ أ (حيث أ عدد حقيقي موجب).

A: في المتباينة |س| ≤ أ، يكون الحل محصوراً: -أ ≤ س ≤ أ. أما في المتباينة |س| ≥ أ، فيكون الحل: س ≥ أ أو س ≤ -أ.

Q: حل المتباينة التالية ومثلها على خط الأعداد: |3 - س| ≥ 5.

A: إما 3 - س ≥ 5 ومنها -س ≥ 2 أي س ≤ -2، أو 3 - س ≤ -5 ومنها -س ≤ -8 أي س ≥ 8. مجموعة الحل = (-∞, -2] ∪ [8, ∞).

Q: [[figure: p75_تمثيل_بياني_للمتباينات]] بالنظر إلى التمثيل البياني في صفحة 75، كيف يتم تحديد منطقة الحل لنظام المتباينات؟

A: يتم تمثيل المتباينتين معاً على نفس المستوى الديكارتي، وتظليل منطقة التقاطع المشتركة بينهما والتي تم تظليلها مرتين، وهي التي تمثل مجموعة الحل.

Q: النمذجة الرياضية والمسائل الحياتية

A: المتباينة: س + ص ≤ 20، المعادلة المرافقة: س + ص = 20.

Q: حل المتباينة |س| < 5 بيانياً.

A: تعني المتباينة -5 < س < 5. بيانياً، هي المنطقة المحصورة بين الخطين الرأسيين س = -5 و س = 5 (خطوط متقطعة).

Q: حل المتباينة |1 - س| < 11.

A: -11 < 1 - س < 11. بطرح 1 من الأطراف: -12 < -س < 10. بالضرب في -1 (مع عكس إشارات التباين): 12 > س > -10. مجموعة الحل: ]-10، 12[.

Q: حل نظام المعادلات التالي: ص2 = 100 + س2، ص - س = 2.

A: من المعادلة الثانية: ص = س + 2. بالتعويض في الأولى: (س + 2)2 = 100 + س2، ومنه: س2 + 4س + 4 = 100 + س2. بحذف س2 من الطرفين: 4س = 96، إذن س = 24. بالتعويض لإيجاد ص: ص = 24 + 2 = 26. الحل هو الزوج المرتب (24، 26).

Q: حل المعادلة |2س - 3| = 7.

A: إما 2س - 3 = 7 ومنها 2س = 10 إذن س = 5. أو 2س - 3 = -7 ومنها 2س = -4 إذن س = -2. مجموعة الحل: 5، -2.

Q: عند اقتراب حجم السائل (س) من العدد 3 من اليسار، ما هو العدد الذي يقترب منه حجم المنطقة الفارغة (ص)؟ قارن بين حجم المنطقة الفارغة من اليمين ومن اليسار عند هذه النقطة.

A: يقترب حجم المنطقة الفارغة من العدد 5. عند المقارنة، نجد أن النهاية من اليمين تساوي النهاية من اليسار وتساوي 5.

Q: بالاعتماد على النشاط العملي في صفحة 81، إذا كانت العلاقة بين حجم السائل (س) وحجم الفراغ (ص) هي ص = 8 - س، أكمل الفراغات التالية: 1. يقابل 100,3 مللتر من حجم السائل ......... مللتر من الحجم الفارغ. 2. يقابل ......... مللتر من حجم السائل 10,5 مللتر من الحجم الفارغ.

A: 1. 999,7 مللتر (لأن 8 - 100,3 = -92,3، ولكن بالنظر لنمط الجدول: 8 - 100,3 = -92,3. ملاحظة: بناءً على نمط الجدول المذكور في الكتاب، الحساب هو: 8 - 100,3 = -92,3). 2. -2,5 مللتر (لأن 8 - 10,5 = -2,5).

Q: ليكن ق(س) = س2، عندما تقترب س من العدد 4 من اليمين، فإن ق(س) يقترب من 5. أكمل العبارة: عندما تقترب س من العدد 4 من اليسار فإن ق(س) يقترب من .........

A: يقترب ق(س) من 5.

Q: أوجد نهاية الاقتران: → 1 (x3 - 1)/(x2 - 1)

A: بالتعويض المباشر (0)/(0). نحلل البسط فرق مكعبين والمقام فرق مربعين: → 1 ((x-1)(x2+x+1))/((x-1)(x+1)) = → 1 (x2+x+1)/(x+1) = (1+1+1)/(1+1) = (3)/(2).

Q: إذا كان f(x) = x2 - 5x، أوجد → 5 (f(x))/(x2 - 25)

A: بالتعويض المباشر (0)/(0). → 5 (x(x-5))/((x-5)(x+5)) = → 5 (x)/(x+5) = (5)/(5+5) = (5)/(10) = 0.5.

Q: بالعودة لجدول تسارع العداء (ص 84)، إذا كان تسارع العداء t(n) = 6، أوجد → 4 t(n) وفسر النتيجة.

A: النهاية تساوي 6. التفسير: بما أن التسارع ثابت عند 6 م/ث²، فإن اقتران التسارع هو اقتران ثابت، ونهاية الثابت عند أي نقطة هي الثابت نفسه.

Q: اشرح القاعدة الرياضية التي تحكم وجود نهاية للاقتران متعدد القاعدة عند نقطة التشعب (أ).

A: تكون نهاية الاقتران ق(س) موجودة عند س = أ وتساوي ل، إذا وفقط إذا كانت النهاية من اليمين تساوي النهاية من اليسار، أي: → a^+ q(s) = → a^- q(s) = L.

Q: بالاعتماد على نشاط البلدية (ص 88)، إذا كان الاقتران يمثل الخصم، فسر لماذا نستخدم النهاية عند دراسة سلوك الخصم بالقرب من 100 دينار؟

A: نستخدم النهاية لأن الاقتران يغير قاعدته عند س = 100، حيث يطبق خصم ثابت (52) للمبالغ الأقل من 100، وخصم متغير (1/4 س) للمبالغ 100 فأكثر. النهاية تساعدنا في معرفة سلوك الخصم عند اقتراب المبلغ من نقطة التحول هذه.

Q: مفاهيم النهايات للاقترانات متعددة القاعدة

A: → 2^+ (2s + 1) = 2(2) + 1 = 5

Q: اشرح رياضياً لماذا تقترب قيمة الاقتران ق(س) = 1/س من الصفر كلما اقتربت س من ما لا نهاية؟

A: كلما زادت قيمة س (س تؤول إلى ∞)، فإن تقسيم الواحد الصحيح على أجزاء أكبر فأكبر يجعل الناتج يقترب من الصفر، ونعبر عن ذلك رياضياً: نها (1/س) = 0 عندما س تؤول إلى ∞.

Q: مفاهيم أساسية وقواعد النهايات عند ما لا نهاية

A: تكون النهاية صفراً.

Q: اذكر قاعدة نهاية الاقتران ق(س) = 1/س^ن عندما س تؤول إلى ∞، حيث ن عدداً صحيحاً موجباً.

A: نها (1/س^ن) = 0 عندما س تؤول إلى ∞، بشرط أن يكون ن عدداً صحيحاً موجباً.

Q: بالاستعانة بالشكل في ص 95، إذا كان ق(2) = 4 ونهاية ق(س) عندما س تقترب من 2 تساوي 4، هل الاقتران متصل عند س = 2؟

A: نعم، متصل، لأن النهاية موجودة وتساوي قيمة الاقتران عند النقطة.

Q: إذا كان ق(س) = 3س - 6، ابحث اتصال الاقتران عند س = 1.

A: بما أن ق(س) كثير حدود، فهو متصل عند س = 1. ق(1) = 3(1) - 6 = -3، والنهاية عندما س تقترب من 1 هي -3. بما أن النهاية تساوي القيمة، فهو متصل.

Q: إذا كان ق(س) و هـ(س) اقترانين متصلين عند س = أ، فماذا يمكننا القول عن (ق + هـ)(س)؟

A: يكون الاقتران الناتج (ق + هـ)(س) متصلاً عند س = أ.

Q: النهايات عند المالانهاية والثوابت

A: بالتعويض المباشر: 2(3)2 + b(3) + a = 9 → 18 + 3b + a = 9 → a + 3b = -9.

Q: حلل النهاية: → 2 (x2 - 4)/(x2 - 4x + 4).

A: → 2 ((x-2)(x+2))/((x-2)2) = → 2 (x+2)/(x-2). عند التعويض x=2 نحصل على 4/0، إذن النهاية غير موجودة.

Q: أوجد قيمة → (4x4 + 5x)/(3x4 + x + 1).

A: بما أن درجة البسط تساوي درجة المقام، فإن النهاية تساوي معامل أكبر قوة في البسط مقسوماً على معامل أكبر قوة في المقام: 4/3.

Q: ماذا يعني مصطلح 'نقطة الصفر' في الخط الزمني للدفعات؟

A: تعبر عن الزمن الحاضر.

Q: صحح العبارة التالية: 'تسمى الدفعات التي تدفع في فترات زمنية غير متساوية بالدفعات المنتظمة'.

A: العبارة خاطئة؛ تسمى الدفعات التي تدفع في فترات زمنية متساوية بالدفعات المنتظمة.

Q: وضح لماذا يقل عدد الدفعات في بعض السياقات المالية عند المقارنة بين النوعين.

A: لأن الدفعات الفورية تبدأ من بداية الفترة الأولى، مما قد يغير من توزيع الدفعات مقارنة بالعادية التي تبدأ من نهاية الفترة الأولى.

Q: عند حساب القيمة المستقبلية، إذا كانت الدفعات شهرية ومعدل الفائدة سنوياً، فما الإجراء الرياضي الواجب اتخاذه؟

A: يجب قسمة معدل الفائدة السنوي على 12 ليكون معدل الفائدة محسوباً عن نفس الوحدة الزمنية الفاصلة بين الفترات.

Q: ما هو الفرق الجوهري في التوقيت الزمني بين الدفعات العادية والدفعات الفورية؟

A: الدفعات العادية تدفع في نهاية كل فترة زمنية، بينما الدفعات الفورية تدفع في بداية الفترة الزمنية.

Q: عرف 'القيمة المستقبلية لدفعات دورية عادية' كما ورد في الكتاب المدرسي.

A: هي جملة مجموعة من الدفعات قيمة كل منها (د) وعددها (ن) تدفع في نهاية كل فترة زمنية معينة، محسوبة على أساس معدل فائدة معين (ع).

Q: أوجد مبلغ الخصم على 5 دفعات عادية قيمة كل منها 100 دينار بمعدل خصم 2%.

A: أولاً نحسب ق ح ع = 100 × [ (1 - (1+0.02)^-5) / 0.02 ] = 471.35. ثم مبلغ الخصم = (500 - 471.35) = 28.65 ديناراً.

Q: ماذا يعني قولنا أن 'معدل الفائدة ومعدل الخصم نفس المعنى' في سياق هذا الدرس؟

A: يعني أنهما يستخدمان بنفس القيمة والرمز (ع) في المعادلات الحسابية للقيمة الحالية.

Q: اشرح العلاقة الرياضية التي تربط بين (ق ح ع) و (ق ح ف).

A: العلاقة هي: ق ح ف = ق ح ع × (1 + ع).

Q: اشرح بأسلوبك الخاص أهمية تحديد 'الدفعة المقدمة' في عقود التقسيط.

A: تعد الدفعة المقدمة جزءاً من ثمن السلعة يُدفع فوراً، مما يقلل من المبلغ المتبقي الذي سيخضع لحسابات الفائدة، وبالتالي يؤثر بشكل مباشر على قيمة الأقساط الدورية.

Q: ما هي العناصر الأربعة الأساسية التي يعتمد عليها حساب التقسيط؟

A: 1) قيمة السلعة. 2) نسبة الدفعة، أو قيمتها (الدفعة المقدمة). 3) نسبة الفائدة. 4) عدد السنوات التي سوف يدفع فيها القسط.

Q: عرف مفهوم 'التقسيط' كما ورد في الكتاب المدرسي.

A: التقسيط: هو بيع يُعَجَّل فيه المبيع (السلعة) ويتأجل فيه الثمن كلُّه، أو بعضُه، على أقساطٍ معلومةٍ لآجالٍ معلومةٍ.

Q: قامت جمعية الأسرة السعيدة باستثمار مبلغ 40000 دينار لمدة عامين، بمعدل فائدة بسيط 4% سنوياً. احسب الفائدة التي ستحصل عليها الجمعية.

A: مبلغ الفائدة = مبلغ الاستثمار × معدل الفائدة × المدة الزمنية = 40000 × 0.04 × 2 = 3200 دينار.

Q: قامت جمعية للزيت باستثمار مبلغ 50000 دينار لمدة 3 أشهر بمعدل فائدة بسيط 8% سنوياً. احسب الفائدة.

A: يجب تحويل المدة إلى سنوات: 3 أشهر = 3/12 سنة = 0.25 سنة. الفائدة = 50000 × 0.08 × 0.25 = 1000 دينار.

Q: إذا كانت الفائدة التي ربحتها شركة للمواد الغذائية 2500 دينار في 5 سنوات، بمعدل فائدة بسيطة 6%، فما مبلغ الاستثمار الأصلي؟

A: باستخدام العلاقة: الفائدة = المبلغ × المعدل × الزمن. 2500 = المبلغ × 0.06 × 5. إذن: 2500 = المبلغ × 0.3. المبلغ = 2500 ÷ 0.3 = 8333.33 دينار.

Q: ما العلاقة بين قيمة الانحراف المعياري ودرجة خطورة المشروع؟

A: كلما قلت قيمة الانحراف المعياري انخفضت درجة خطورة المشروع، والعكس صحيح.

Q: إذا كان الانحراف المعياري لمشروع (أ) هو 0.5741 والعائد المتوقع هو 0.105، احسب معامل الاختلاف.

A: معامل الاختلاف = الانحراف المعياري ÷ العائد المتوقع = 0.5741 ÷ 0.105 = 5.4676 (تقريباً).

Q: القياس الإحصائي للمخاطر

A: العائد المتوقع = Σ (العائد المحتمل × احتمال حدوثه)

Q: كيف يؤثر الاحتلال على المخاطر السياسية في الاستثمار الزراعي الفلسطيني؟

A: يؤثر الاحتلال من خلال التحكم في المعابر، مما يعيق عمليات التصدير، ويؤدي إلى تلف المحاصيل أو ارتفاع تكاليف النقل، مما يزيد من مخاطر الاستثمار وعدم استقراره.

Q: دراسة جدوى: استثمار في تصدير الفراولة

A: تتضمن الدراسة: 1. النجاحات: فتح أسواق خارجية، جودة المنتج. 2. المخاطر المالية: تقلب الأسعار. 3. المخاطر النفسية: القلق من الفشل. 4. المخاطر الاجتماعية: تقبل المجتمع للنمط الزراعي. 5. المخاطر السياسية: تأثير الاحتلال على المعابر والتصدير.

Q: سيناريوهات تطبيقية (التقسيط والمشاريع)

A: الدفعة المقدمة = 9000 × 0.20 = 1800 دينار. المبلغ المتبقي = 9000 - 1800 = 7200 دينار.