الحركة التوافقية البسيطة

الدورية والتذبذب: من الأرجوحة إلى النابض

تتميّز الحركة التوافقية البسيطة بأنّها حركة تذبذبية، يتناسب فيها تسارع الجسم طردياً مع إزاحته عن موقع الاتزان، ويكون دائماً باتجاه موقع الاتزان.

• الحركة الدورية ⁦Periodic motion⁩ حركة تكرّر نفسها على المسار نفسه في فترات زمنية متساوية.
• من أمثلتها: دوران العجلة حول محورها، ودوران الكواكب حول الشمس.

• من أمثلتها: حركة الأرجوحة المبيّنة في الشكل (1)، واهتزاز وتر آلة موسيقية، وتذبذب جُسيمات المادة الصلبة.
• ليس كل حركة دورية تذبذبية: حركة الكواكب حول الشمس دورية ولكنها ليست تذبذبية.
• في هذا الدرس سنتعرّف نوعاً خاصاً من الحركة التذبذبية يُسمّى الحركة التوافقية البسيطة.

نابض وجسم: متى تكون الحركة توافقية بسيطة؟

• الحركة التوافقية البسيطة نمط خاص من أشكال الحركة التذبذبية، وفهمها الأساس لدراسة أنماط أكثر تعقيداً من الحركات التذبذبية ودراسة الحركة الموجية أيضاً.
• النظام في الشكل (2) مثال نموذجي: نابض مُهمل الكتلة مُثبّت من أحد طرفيه، ويتصل طرفه الآخر بجسم كتلته ⁦(m)⁩ يتحرّك على سطح أفقي أملس.

• موقع الاتزان: عندما لا يكون النابض مشدوداً أو مضغوطاً، يكون الجسم ساكناً عند الموقع ($x = 0$).
• عند إزاحة الجسم إلى اليمين أو اليسار مسافة ⁦(A)⁩ ثم تركه، يبدأ النظام بالتذبذب ذهاباً وإياباً حول موقع اتزانه.
• سعة الذبذبة: يمثّل موقع الجسم ($x = A$) سعة الذبذبة، وهي أقصى إزاحة يتحرّكها الجسم عن موقع الاتزان، وللسعة المقدار نفسه على يسار موقع الاتزان؛ ($x = -A$).
• القوة المعيدة: عند إزاحة الجسم عن موقع الاتزان يؤثّر النابض فيه بقوة تُسمّى القوة المعيدة، وهي تتناسب طردياً مع الإزاحة ⁦(x)⁩، وتعطى بقانون هوك ⁦Hook's law⁩:

• حيث ⁦(k)⁩: ثابت مرونة النابض، ⁦(x)⁩: إزاحة الكتلة عن موقع الاتزان.
• الإشارة السالبة في قانون هوك تدل على أن اتجاه القوة المعيدة دائماً باتجاه موقع الاتزان؛ أي عكس اتجاه الإزاحة.
• عند إزاحة الجسم إلى يمين الموقع ($x = 0$) يكون اتجاه القوة المعيدة نحو اليسار، كما في الشكل (2/ب).
• وعند إزاحته إلى يسار الموقع ($x = 0$) يكون اتجاهها نحو اليمين، كما في الشكل (2/ج).
• عند الموقع ($x = 0$) تساوي القوة المؤثرة في الجسم صفراً.
• تسارع النظام: بتطبيق القانون الثاني لنيوتن ($\Sigma F = ma$) نتوصل إلى العلاقة:

• من هذه العلاقة: مقدار التسارع يتناسب طردياً مع مقدار الإزاحة، واتجاهه عكس اتجاهها، أي باتجاه القوة المعيدة.

• تُسمّى حركة النظام التي تحقق هذا الشرط الحركة التوافقية البسيطة ⁦Simple harmonic motion(SHM)⁩.

• بغياب قوى الاحتكاك يُفترض أن تستمر هذه الحركة مدة لا نهائية؛ لأن قوة النابض قوة محافظة.
• الأنظمة الحقيقية تتأثر بقوى الاحتكاك؛ لذا تتلاشى حركة الجسم تدريجياً إلى أن يتوقف.

أين تكون القوة والتسارع والسرعة عظمى؟

من القوة المعيدة إلى سعة الذبذبة وثابت النابض

الدورة والزمن الدوري والتردد

• الحركة التوافقية البسيطة حركة دورية تتكرّر بانتظام، وتوصف بمفاهيم خاصة، مثل: الزمن الدوري، والتردد.
• لتوضيح هذه المفاهيم ندرس حركة نظام يتكوّن من جسم يتصل بنابض معلّق رأسياً، كما يبين الشكل (5).
• عند سحب الجسم إلى الأسفل وتركه يهتز، بالتزامن مع سحب شريط الورق أفقياً بسرعة ثابتة، يرسم القلم المثبت في طرف النابض منحنى يبيّن التغير في الإزاحة مع الزمن.

• يعتمد الزمن الدوري على كل من ثابت المرونة للنابض ⁦(k)⁩ وكتلة الجسم ⁦(m)⁩ حسب العلاقة الآتية:

• يُقاس التردد في النظام الدولي للوحدات بوحدة ($\text{s}^{-1}$) وتُعرف بالهيرتز ⁦(Hz)⁩، ويتناسب عكسياً مع الزمن الدوري حسب العلاقة الآتية:

التردد الزاوي والراديان ومعادلة الإزاحة

• المقدار ($2\pi$) مقياس لمدى سرعة حدوث الذبذبات.
• يزداد مقدار التردد الزاوي ($\omega$) كلما زاد عدد الذبذبات في وحدة الزمن، ويقاس بوحدة ⁦(rad/s)⁩.
• يحسب التردد الزاوي بالعلاقة:

• يبيّن الشكل (7) منحنى (الإزاحة - الزمن) للحركة التوافقية بدءاً من اللحظة ($t = 0$)، حيث بدأت حركة النظام من أقصى إزاحة ($+A = x$).
• منحنى تغير الإزاحة ⁦(x)⁩ مع الزمن ⁦(t)⁩ يُمثل بيانياً باقتران جيب التمام، ويُعبَّر عنه بالعلاقة:

• تنطبق هذه الصيغة على الحركة التي تبدأ من الموقع ⁦(A)⁩ عند الزمن ($t = 0$).
• ليست صيغة عامة للحركة التوافقية البسيطة، بل حالة خاصة.
• الصيغة العامة إذا بدأ الجسم من إزاحة مقدارها ($x_i$) عند اللحظة ($t = 0$) كما يبيّن الشكل (8):

من الحركة الدائرية إلى الذهاب والإياب: منشار القطع

من معادلة الإزاحة إلى السعة والتردد

من معادلة عامة: موقع الجسم عند بدء الحركة

وماذا لو لم تبدأ الحركة من أقصى إزاحة؟

عربة كتلتها $2\ \text{kg}$ تتصل بأحد طرفي نابض موضوع على سطح أفقي أملس، والطرف الآخر للنابض مثبّت في الجدار كما في الشكل (10).

سُحبت العربة إزاحة مقدارها ($x = +4\ \text{cm}$)، ثم تُركت تتذبذب بدءاً من الزمن ($t = 0$).

ثابت مرونة النابض $32\ \text{N/m}$.

أ. أحسب التردد الزاوي.

ب. أكتب معادلة تغيّر الإزاحة مع الزمن.

البندول: قوة معيدة تشبه قوة النابض

• البندول البسيط من الأمثلة الأخرى على الحركة التذبذبية.

• عند سحبه إلى اليمين أو اليسار بحيث يصنع الخيط زاوية ($\theta$) مع موقع الاتزان ثم تركه، يتذبذب ذهاباً وإياباً على المسار نفسه حول موقع الاتزان.
• تقطع الكرة مسافة ⁦(S)⁩ تشكل قوساً من دائرة نصف قطرها يساوي طول خيط البندول.
• تتأثر الكرة في أثناء حركتها بقوة الشد في الخيط ⁦(T)⁩ وقوة الجاذبية الأرضية ⁦(mg)⁩.

• يبين الشكل (11/ب) مخطط الجسم الحر للكرة عند أقصى إزاحة لها عن موقع الاتزان.
• تحليل قوة الجاذبية: مركبة مماسية ($mg \sin \theta$) ومركبة عمودية على المماس ($mg \cos \theta$)، عند اختيار محور ⁦(x)⁩ باتجاه يوازي المماس للقوس الدائري ومحور ⁦(y)⁩ عمودياً عليه.
• باتجاه المحور ⁦(y)⁩ لا توجد حركة، فالقوة المحصلة تساوي صفراً:

• القوة المحصلة باتجاه المماس تساوي:

• القوة المعيدة قوة يتغير اتجاهها بتغير الموقع بحيث تتجه دائماً نحو موقع الاتزان وبعكس اتجاه الإزاحة، وتعطى بالعلاقة الآتية:

• عندما تكون الزاوية صغيرة ($\theta \le 10^{\circ}$) يساوي مقدار الزاوية ($\theta$) بوحدة راديان تقريباً ($\sin \theta$)، ويساوي طول القوس ⁦(s)⁩ تقريباً الإزاحة الأفقية ⁦(x)⁩.
• في هذه الحالة يمكن وصف حركة البندول بأنها حركة توافقية بسيطة، ويمكن إعادة كتابة العلاقات السابقة كما يأتي:

• القوة المعيدة تساوي تقريباً:

• تحقق هذه المعادلة شروط الحركة التوافقية البسيطة؛ إذ يتناسب مقدار القوة المعيدة طردياً مع الإزاحة، واتجاهها بعكس اتجاه الإزاحة.

في البندول البسيط، ما القوى المؤثرة في الكرة في أثناء حركتها؟ وما القوة المحصلة المؤثرة فيها على امتداد المحور ⁦(y)⁩ والمحور ⁦(x)⁩؟

ما الذي يحدد الزمن الدوري للبندول؟

• يمكن التعبير عن القوة المعيدة للبندول البسيط بالصورة الآتية:

• وتتفق هذه المعادلة مع الصورة العامة للقوة المعيدة في قانون هوك:

• لذا تعد حركة البندول في هذه الحالة حركة توافقية بسيطة تتشابه مع حركة نظام الكتلة والنابض.
• عند المقارنة: قيمة ثابت النابض ⁦(k)⁩ في قانون هوك يقابله في حالة البندول المقدار ($\frac{mg}{L}$).
• الزمن الدوري للنابض يعطى بالعلاقة ($T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$)، وفي حالة البندول البسيط فإن ($k = \frac{mg}{L}$)، وبذلك يعطى الزمن الدوري للبندول البسيط بالعلاقة:

• توضح هذه العلاقة أن الزمن الدوري للبندول البسيط، الذي يحقق شرط الحركة التوافقية البسيطة، يبقى ثابتاً ما دام طول الخيط وتسارع السقوط الحر ثابتاً.

هل يتغير الزمن الدوري للبندول بتغير أي من سعة الذبذبة أو كتلة البندول؟ أفسر إجابتي.

ساعة بندولية يكمل بندولها ذبذبة واحدة في زمن مقداره ثانية واحدة عندما يكون طوله ($L$).

إذا تضاعف طول البندول أربع مرات ($4L$)، فكم ذبذبة يكمل البندول في زمن مقداره ثانية واحدة؟

ما مقدار الزمن الدوري للبندول نفسه المذكور في المثال (5) على سطح القمر، حيث مقدار تسارع السقوط الحر ($1.62\ \text{m/s}^2$)؟

بندول فوكو: برهان على دوران الأرض

جيولوجي يقيس تسارع السقوط الحر بالبندول

البندول الإيقاعي: ميزان للموسيقيين

كم يبلغ ارتفاع البرج؟ بندول من حبل

تجربة: نحسب تسارع السقوط الحر بالبندول

• أصف الحركة التوافقية البسيطة، وأعبّر عنها بمعادلة رياضية.
• أصف حركة بندول بسيط.
• أحدد العوامل التي يعتمد عليها الزمن الدوري لحركة البندول البسيط عملياً.
• أحسب تسارع السقوط الحر عملياً باستخدام البندول البسيط.

• أستخدم الأرقام: أحسب المتوسط الحسابي ⁦(t)⁩ للفترات الزمنية الثلاث ($t_1, t_2, t_3$) ثم أحسب الزمن الدوري ⁦(T)⁩ بقسمة متوسط الزمن ⁦(t)⁩ على عدد الذبذبات.
• أرسم العلاقة البيانية بين مربع الزمن الدوري ($T^2$) على محور ⁦y⁩ وطول الخيط ⁦L⁩ على محور ⁦x⁩، ثم أجد ميل الخط الناتج ($\frac{\Delta T^2}{\Delta L}$).
• أطبق العلاقة لحساب تسارع السقوط الحر ⁦g⁩:

أحسب المتوسط الحسابي ⁦(t)⁩ للفترات الزمنية الثلاث ثم أحسب الزمن الدوري ⁦(T)⁩. ماذا أتوقع للزمن الدوري عند زيادة طول الخيط؟

أرسم العلاقة البيانية بين مربع الزمن الدوري ($T^2$) على محور ⁦y⁩ وطول الخيط ⁦L⁩ على محور ⁦x⁩، وأجد ميل الخط.

هل تتفق قيمة تسارع السقوط الحر ⁦g⁩ المحسوبة مع القيمة المعروفة ($g = 9.8\ \text{m/s}^2$)؟ وما سبب الاختلاف إن وجد؟

هل تغير الزمن الدوري بتغير الكتلة؟ أفسر إجابتي.

هل سيتغير الزمن الدوري للبندول عند إجراء التجربة في منطقة أعلى؟ أفسر إجابتي.

القفز بالحبال: حركة توافقية في الحياة

• القفز بالحبال (البنجي) تطبيق على الحركة التوافقية البسيطة، وهو نشاط رياضي ينطوي على القفز من مناطق شاهقة الارتفاع، ويكون القافز مربوطاً بحبل مطاطي يحقق مواصفات الأمان.
• يقفز من مناطق ثابتة كالجسور والمباني، أو متحرّكة كالقفز من منطاد أو من طائرة عمودية.
• عندما يقفز الشخص ويصل إلى أقصى إزاحة يبدأ بالتذبذب إلى أعلى وأسفل، وتكون الحركة توافقية بسيطة إذا تحقّقت شروطها.

ما مصدر القوة المعيدة في رياضة القفز بالحبال المطاطية؟

لماذا تتوقف الأرجوحة؟ التخامد

• عند دراسة الحركة التوافقية البسيطة (مثل حركة البندول وحركة الكتلة المعلقة بالنابض) افترضنا عدم وجود قوى احتكاك؛ فالنظام لا يفقد طاقة، وسعة التذبذب تبقى ثابتة ويستمر في الحركة إلى اللانهاية.
• في الواقع تقل سعة التذبذب مع الزمن بالتدريج حتى تتوقف الحركة التذبذبية؛ لأن قوى أخرى (مثل قوى الاحتكاك) تبدّد من طاقة النظام حتى تؤول السعة إلى الصفر.
• تتحول الطاقة الميكانيكية إلى طاقة داخلية في الجسم والوسط الذي يتذبذب فيه. وبوجه عام أنظمة التذبذب الطبيعية تكون متخامدة.

• في حالة التخامد لا تُعدّ الحركة التذبذبية حركة توافقية بسيطة.
• من الأمثلة: غالق الباب الهيدروليكي ⁦Hydraulic door closer (⁩ردّاد الباب) كما في الشكل (14).
• يوجد في داخل الغالق نابض ينضغط عند فتح الباب، وعند ترك الباب يعود النابض لطوله الأصلي فيؤثّر بقوة في الزيت لدفعه عبر ثقب صغير؛
• هذه القوة تعمل على تخميد النظام؛ لذا يُغلق الباب ببطء.

ما الفرق بين الحركة التذبذبية والحركة الدورية؟

في الحركة التوافقية البسيطة، ما الكميتان من الكميات الآتية (الإزاحة، القوة المُعيدة، التسارع) اللتان يكون اتجاههما دائماً بالاتجاه نفسه؟

في أنظمة التذبذب العملية، لماذا نلاحظ أن سعة التذبذب تقل مع الزمن إلى أن تتوقف عن الحركة؟

مراجعة الدرس: الحركة التوافقية البسيطة

ما الشروط اللازم تحقيقها في الحركة التذبذبية؛ كي تكون حركة توافقية بسيطة؟

وما المعادلة التي تصف التغير في الإزاحة مع الزمن لحركة توافقية بسيطة؟

بدأ جسم التذبذب في حركة توافقية بسيطة من أقصى إزاحة ($15\ \text{cm}$)، بحيث يُكمل الدورة الواحدة في فترة زمنية مقدارها ($3.4\ \text{s}$). أحسب:

أ. التردّد.

ب. التردّد الزاوي.

جـ. الإزاحة بعد ($3.0\ \text{s}$) من بدء الحركة.