Mathematics Tawjihi cheat sheet 2026

الاقترانات المتشعبة

يغطي هذا الدرس مفهوم الاقترانات المتشعبة، وكيفية تمثيلها بيانياً، وتحديد مجالها ومداها، بالإضافة إلى دراسة اقتران القيمة المطلقة وإعادة تعريفه كاقتران متشعب، مع تطبيقات عملية على نمذجة مواقف حياتية.

اقتران القيمة المطلقة

• اقتران القيمة المطلقة اقتران القيمة المطلقة، الذي يكتب على الصورة f(x) = |x|، هو حالة خاصة ومهمة من الاقترانات التي يمكن فهمها كاقتران متشعب.
• من حيث المفهوم الأساسي، تعطي القيمة المطلقة المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد، وهي دائماً قيمة غير سالبة.
• يأخذ منحناه البياني شكل حرف 'V' متماثل حول المحور الرأسي.
• الصورة العامة لاقتران القيمة المطلقة هي f(x) = a|x-h| + k، حيث تتحكم المعاملات a, h, k في تحويلات المنحنى الأساسي.

التحويلات الهندسية للاقترانات

دليل شامل حول كيفية رسم منحنيات الاقترانات باستخدام التحويلات الهندسية الأساسية (الانسحاب، الانعكاس، والتمدد) وتطبيقها على الاقترانات الرئيسة.

التمدد الرأسي والأفقي

• التمدد الرأسي والأفقي على عكس الانسحاب والانعكاس، يُعد التمدد تحويلاً "غير صلب" لأنه يغير شكل وحجم المنحنى عن طريق مده (توسيعه) أو ضغطه (تضييقه).
• التمدد الرأسي يحدث عند ضرب الاقتران f(x) بثابت c، أي g(x) = c * f(x).
• إذا كانت القيمة المطلقة لـ c أكبر من 1 (|c| > 1)، فإن المنحنى يتمدد (يتوسع) رأسيًا مبتعدًا عن المحور السيني.
• وإذا كانت القيمة المطلقة لـ c بين 0 و 1 (0 < |c| < 1)، فإن المنحنى ينضغط (يضيق) رأسيًا مقتربًا من المحور السيني.

المتتاليات والمتسلسلات

دليل شامل يغطي مفاهيم المتتاليات والمتسلسلات، بما في ذلك المتتاليات الحسابية، رمز المجموع (سيغما)، وقوانين المجموع الجزئي.

رمز المجموع (سيغما)

• رمز المجموع (سيغما) عندما نجمع حدود متتالية ما، فإننا نكوّن ما يسمى بالمتسلسلة.
• فمثلاً، إذا كانت لدينا المتتالية 2, 4, 6, 8، فإن المتسلسلة المرتبطة بها هي 2 + 4 + 6 + 8.
• لكتابة هذه المجاميع الطويلة، خاصة عندما يكون عدد الحدود كبيراً، نستخدم طريقة مختصرة وأنيقة تُعرف برمز المجموع، ويُرمز له بالحرف اليوناني الكبير سيغما ().
• يُكتب المجموع على الصورة =1n ak.

النهايات والاتصال

دليل شامل لمفاهيم النهايات، طرق إيجادها بيانياً وعددياً وجبرياً، معالجة الصيغ غير المحددة، وشروط اتصال الاقترانات عند نقطة.

الاتصال عند نقطة

• الاتصال عند نقطة مفهوم الاتصال يربط بشكل مباشر بين قيمة النهاية وقيمة الاقتران الفعلية عند نقطة ما.
• نقول إن الاقتران f(x) متصل عند نقطة x=c إذا كان بالإمكان رسم منحناه البياني مروراً بهذه النقطة دون رفع القلم عن الورقة.
• هذا الوصف البصري يترجم إلى ثلاثة شروط رياضية دقيقة يجب أن تتحقق جميعها.
• أولاً، يجب أن تكون قيمة الاقتران f(c) معرّفة، أي أن النقطة c تنتمي إلى مجال الاقتران، ولا يوجد 'ثقب' أو 'فجوة' في الرسم البياني عند x=c.

الاشتقاق

دليل شامل يغطي مفاهيم الاشتقاق، بدءاً من التعريف العام وصولاً إلى تطبيقات القيم القصوى وتحديد فترات التزايد والتناقص للاقترانات كثيرات الحدود.

النقاط الحرجة وتصنيفها

• النقاط الحرجة وتصنيفها تُعد النقاط الحرجة مفتاح فهم سلوك الاقتران وتحديد قيمه القصوى.
• تُعرَّف النقطة الحرجة بأنها نقطة في مجال الاقتران تكون عندها المشتقة الأولى إما مساوية للصفر (f'(x)=0) أو غير موجودة.
• عندما تكون f'(x)=0، فهذا يعني أن المماس للمنحنى أفقي، مما يشير إلى احتمال وجود قمة (قيمة عظمى محلية) أو قاع (قيمة صغرى محلية).
• لتصنيف هذه النقاط وتحديد طبيعتها، نستخدم "اختبار المشتقة الأولى".

القيم العظمى والصغرى

يتناول هذا الدرس مفهوم المشتقة الثانية للاقتران، وكيفية إيجادها، وتطبيقاتها في تصنيف النقاط الحرجة ووصف الحركة في مسار مستقيم من خلال السرعة المتجهة والتسارع.

تطبيقات فيزيائية: السرعة والتسارع

• في الفيزياء، عند نمذجة حركة جسم في مسار مستقيم، نستخدم اقتران الموقع s(t) حيث t هو الزمن.
• - السرعة المتجهة: هي المشتقة الأولى لاقتران الموقع v(t) = s'(t).
• - التسارع: هو المشتقة الثانية لاقتران الموقع a(t) = s''(t).
• يساعد هذا التحليل في معرفة مدى تغير سرعة الجسم بمرور الزمن، وهو تطبيق مباشر وعملي للمشتقات العليا في الحياة اليومية، مثل حساب تسارع دراجة نارية.

التباديل والتوافيق

دليل مرجعي شامل يغطي مبادئ العد الأساسية، التباديل، التوافيق، وتطبيقاتها في حساب الاحتمالات.

المضروب

• المضروب المضروب هو عملية رياضية أساسية تلعب دوراً محورياً في حساب التباديل.
• يُرمز لمضروب العدد الصحيح غير السالب (n) بالرمز (n!)، وهو يمثل حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 وصولاً إلى العدد n نفسه.
• على سبيل المثال، 5!
• تساوي 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

المتغيرات العشوائية

دليل شامل ومفصل حول المتغيرات العشوائية، توزيعاتها الاحتمالية، ومقاييس النزعة المركزية والتشتت (التوقع والتباين).

توقع المتغير العشوائي

• توقع المتغير العشوائي بمجرد تحديد التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي، يمكننا البدء في تلخيص خصائصه باستخدام مقاييس عددية.
• أهم هذه المقاييس هو "التوقع" أو "القيمة المتوقعة"، والذي يرمز له بالرمز E(X) أو الحرف اليوناني μ (مو).
• يمثل التوقع القيمة المتوسطة لنتائج المتغير العشوائي على المدى الطويل، أي لو كررنا التجربة عدداً كبيراً جداً من المرات.
• إنه ليس مجرد متوسط حسابي بسيط لقيم المتغير، بل هو "متوسط مرجح"، حيث يتم إعطاء كل قيمة (x) وزناً يساوي احتمال حدوثها (P(X=x)).

قياس الزاوية بالراديان

دليل شامل ومفصل حول مفاهيم قياس الزوايا بالراديان، والتحويل بين الأنظمة، وتطبيقات الحركة الدائرية ومساحات القطاعات.

طول القوس ومساحة القطاع

• عندما يكون قياس الزاوية المركزية بالراديان، نستخدم القوانين التالية: 1.
• طول القوس: s = r 2.
• مساحة القطاع: A = (1)/(2)r2 حيث r هو طول نصف قطر الدائرة.
• يجب الانتباه إلى أن وحدة طول القوس هي وحدة طول (مثل cm) وليست rad cm.

الاقترانات المثلثية

يغطي هذا الدليل المفاهيم الأساسية للاقترانات المثلثية، بدءاً من المثلث قائم الزاوية وصولاً إلى الزوايا في الوضع القياسي، الزوايا الربعية، الزوايا المرجعية، ومعكوس الاقترانات المثلثية، مع تطبيقات هندسية عملية.

معكوس الاقترانات المثلثية

• لإيجاد الزاوية بمعلومية قيمة اقترانها المثلثي، نستخدم المعكوس ضمن مجالات محددة لضمان كون الاقتران واحد لواحد: - y = -1 x : المجال [-1, 1] ، المدى [-()/(2), ()/(2)] .
• - y = -1 x : المجال [-1, 1] ، المدى [0, ] .
• - y = -1 x : المجال (-, ) ، المدى (-()/(2), ()/(2)) .

تمثيل الاقترانات المثلثية بيانياً

دليل شامل لتمثيل اقترانات الجيب وجيب التمام والظل بيانياً، مع شرح مفصل للتحويلات الهندسية (التمدد، الانسحاب، الانعكاس) وتطبيقاتها في الحركة التوافقية البسيطة.

الحركة التوافقية البسيطة

• تستخدم الاقترانات الجيبية لنمذجة الحركة الدورية مثل اهتزاز كتلة معلقة في زنبرك.
• المعادلة العامة هي g(t) = a ( t) أو g(t) = a ( t).
• - أقصى إزاحة للجسم = |a|.
• - دورة الحركة = (2)/().

التكامل غير المحدود

دليل شامل ومكثف حول مفهوم التكامل غير المحدود، وقواعده الأساسية، وخصائصه، وكيفية التعامل مع الاقترانات الأصلية والاقترانات الخطية المرفوعة لقوة.

مفهوم الاقتران الأصلي

• الاقتران الأصلي F(x) للاقتران f(x) هو الاقتران الذي يحقق F'(x) = f(x).
• نظراً لأن مشتقة الثابت تساوي صفراً، فإن هناك عدداً لا نهائياً من الاقترانات الأصلية للاقتران الواحد، وتكتب جميعها على الصورة G(x) = F(x) + C.
• العلاقة الأساسية هي: f(x) = (d)/(dx) [F(x) + C].

الشرط الأولي

يتناول هذا الدرس مفهوم الشرط الأولي كأداة رياضية ضرورية لتحديد ثابت التكامل (C أو K) في الاقترانات الأصلية، مع التركيز على تطبيقات الحركة في مسار مستقيم ونمذجة المسائل الحياتية.

الحركة في مسار مستقيم

• في الحركة في مسار مستقيم، يكون اقتران الموقع s(t) هو اقتران أصلي لاقتران السرعة v(t)، واقتران السرعة هو اقتران أصلي لاقتران التسارع a(t).
• العلاقات هي: s'(t) = v(t) و v'(t) = a(t).
• لإيجاد الموقع، نكامل السرعة: s(t) = v(t) dt.
• إذا كان التسارع معطى، نحتاج إلى شرطين أوليين: واحد للسرعة (لتحديد ثابت التكامل الأول C1) وواحد للموقع (لتحديد ثابت التكامل الثاني C2).

التكامل المحدود

دليل شامل حول مفهوم التكامل المحدود، خصائصه، وتطبيقاته في حساب مقدار التغير للاقترانات المتشعبة والقيمة المطلقة والتطبيقات الاقتصادية.

خصائص التكامل المحدود

• تتضمن خصائص التكامل المحدود ما يلي: 1.
• تكامل الاقتران المضروب في ثابت: k f(x) dx = k f(x) dx 2.
• تكامل المجموع أو الفرق: (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx 3.
• التكامل عند نقطة: f(x) dx = 0 4.

المساحات والحجوم

دليل شامل حول كيفية إيجاد مساحة المناطق المحصورة بين منحنيات الاقترانات والمحور x، وحساب حجوم المجسمات الدورانية باستخدام التكامل المحدود.

أهمية نقاط التقاطع

• في حال عدم وجود مستقيمات محددة (x=a, x=b)، فإن نقاط تقاطع منحنى الاقتران مع المحور x هي التي تحدد حدود التكامل.

الاقترانات الأسية

دراسة شاملة للاقترانات الأسية، بدءاً من التعريف والخصائص وصولاً إلى التمثيل البياني والتطبيقات الحياتية.

تعريف وخصائص الاقتران الأسي

• يُعرف الاقتران الأسي بالصورة f(x) = bx.
• من أهم خصائص هذا الاقتران: - المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية R.
• - المدى: مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة (0, ).
• - المقطع y: يقطع الاقتران المحور y دائماً في النقطة (0, 1) لأن b0 = 1.

النمو والاضمحلال الأسي

دليل شامل يغطي نماذج النمو والاضمحلال الأسي، وتطبيقات الربح المركب والمستمر، والاقتران الأسي الطبيعي.

اقتران النمو الأسي

• يُعرف اقتران النمو الأسي بأنه كل اقتران أسي يتزايد بنسبة مئوية ثابتة في فترات زمنية متساوية.
• الصيغة العامة هي A(t) = a(1 + r)t ، حيث a هي الكمية الابتدائية، و r هي نسبة النمو، و t هي الفترة الزمنية.
• يُسمى المقدار (1 + r) عامل النمو.
• هذا النموذج مثالي لتمثيل نمو السكان أو زيادة أعداد الكائنات الحية.

الاقترانات اللوغاريتمية

دراسة شاملة للاقتران اللوغاريتمي كاقتران عكسي للاقتران الأسي، مع التركيز على الخصائص الجبرية، التمثيل البياني، والتحويلات الهندسية.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

• تستنتج الخصائص الأساسية من تعريف اللوغاريتم وقوانين الأسس، وهي كالتالي: 1.
• 1 = 0 لأن b0 = 1.
• b = 1 لأن b1 = b.
• bx = x.

قوانين اللوغاريتمات

دليل شامل لقوانين اللوغاريتمات وكيفية استخدامها في تبسيط المقادير اللوغاريتمية وتحويلها بين الصور المطولة والمختصرة، مع تطبيقات حياتية عملية.

قوانين اللوغاريتمات الأساسية

• تستند قوانين اللوغاريتمات إلى خصائص الأسس.
• الجدول التالي يوضح القوانين المعتمدة: | القانون | الصيغة الرياضية | | :--- | :--- | | قانون الضرب | (xy) = x + y | | قانون القسمة | ((x)/(y)) = x - y | | قانون القوة | xp = p x |

What is the Mathematics Tawjihi cheat sheet?

Concise revision pages for Mathematics that gather the key laws, ideas, and exam tips for each lesson.

Is it based on the prescribed curriculum?

Yes — built from the prescribed curriculum and official units. You can preview cheat sheets inside TawjihiAI.