تجاوز إلى المحتوى الرئيسي
تابعنا على تيليجرامانضم

المصفوفات والمحددات

ملخص العمليات على المصفوفات، الرياضيات

القوانين والتعريفات والأفكار الأساسية في الموضوع، من الكتاب المقرّر. راجعها داخل TawjihiAI مع البطاقات والأسئلة.

افتح الملخص في التطبيقكل ملخصات الرياضيات

جمع المصفوفات:

  • مثل ما باعه فرع بيت لحم في الشهرين المذكورين بالمصفوفة ص، وعين رتبتها.
  • كوّن المصفوفة ع (إن أمكن).

تعريف:

  • س + ص
  • ص + س
  • ص + ع
  • س + ص = [٢٣٥٤]\begin{bmatrix} ٢ & ٣ \\ ٥ & ٤ \end{bmatrix} + [٥−٧٣−٤]\begin{bmatrix} ٥ & -٧ \\ ٣ & -٤ \end{bmatrix} = [٢+٥٣+(−٧)٥+٣٤+(−٤)]\begin{bmatrix} ٢ + ٥ & ٣ + (-٧) \\ ٥ + ٣ & ٤ + (-٤) \end{bmatrix} = [٧−٤٨٠]\begin{bmatrix} ٧ & -٤ \\ ٨ & ٠ \end{bmatrix}
  • ص + س = [٥−٧٣−٤]\begin{bmatrix} ٥ & -٧ \\ ٣ & -٤ \end{bmatrix} + [٢٣٥٤]\begin{bmatrix} ٢ & ٣ \\ ٥ & ٤ \end{bmatrix} = [٧−٤٨٠]\begin{bmatrix} ٧ & -٤ \\ ٨ & ٠ \end{bmatrix} (ماذا تلاحظ؟)
  • ص + ع غير معرفة؛ لأن رتبة ص ≠ رتبة ع.

ضرب المصفوفة بعدد حقيقي

  • تعريف: إذا كانت أ مصفوفة من الرتبة م × ن، وكان ك عدداً حقيقياً، فإن ك أ = ج، حيث ج مصفوفة من الرتبة م × ن، وتكون مدخلاتها على النحو: جيهـ_{ي هـ} = ك أيهـ_{ي هـ} لجميع قيم ي، هـ.
  • ٢ أ
  • -أ
  • أ + (-أ)
  • ٢ أ = ٢ [−٣٤١−٢٠٥]=[٢×(−٣)٢×٤٢×١٢×(−٢)٢×٠٢×٥]=[−٦٨٢−٤٠١٠]\begin{bmatrix} -٣ & ٤ & ١ \\ -٢ & ٠ & ٥ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٢×(-٣) & ٢×٤ & ٢×١ \\ ٢×(-٢) & ٢×٠ & ٢×٥ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -٦ & ٨ & ٢ \\ -٤ & ٠ & ١٠ \end{bmatrix}
  • -أ = (-١) أ = -١ [−٣٤١−٢٠٥]=[٣−٤−١٢٠−٥]\begin{bmatrix} -٣ & ٤ & ١ \\ -٢ & ٠ & ٥ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٣ & -٤ & -١ \\ ٢ & ٠ & -٥ \end{bmatrix}
  • أ + (-أ) = [−٣٤١−٢٠٥]+[٣−٤−١٢٠−٥]=[٠٠٠٠٠٠]\begin{bmatrix} -٣ & ٤ & ١ \\ -٢ & ٠ & ٥ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} ٣ & -٤ & -١ \\ ٢ & ٠ & -٥ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٠ & ٠ & ٠ \\ ٠ & ٠ & ٠ \end{bmatrix} (فسّر الإجابة).

طرح المصفوفات

  • تعريف: إذا كانت أ، ب مصفوفتين من نفس الرتبة م × ن، فإن أ - ب = أ + (-ب)

خصائص جمع المصفوفات وضربها بعدد حقيقي:

  • أ + ب = ب + أ (الخاصية التبديلية)
  • (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) (الخاصية التجميعية)
  • أ + و = و + أ = أ (المصفوفة الصفرية المحايدة لعملية جمع المصفوفات)
  • أ + (-أ) = (-أ) + أ = و (النظير الجمعي)
  • ك (أ + ب) = ك أ + ك ب (توزيع الضرب بعدد حقيقي على جمع المصفوفات)

تدريبات:

  • أ) إذا كانت أ = [٢−٣٥١٦٢]\begin{bmatrix} ٢ & -٣ & ٥ \\ ١ & ٦ & ٢ \end{bmatrix}، ب = [−٤١٦٢٥٨]\begin{bmatrix} -٤ & ١ & ٦ \\ ٢ & ٥ & ٨ \end{bmatrix}، فجد ب + ٢أ، ٣أ - ٢ب
  • حل المعادلة المصفوفية: ٢ [١−٥٥٢]\begin{bmatrix} ١ & -٥ \\ ٥ & ٢ \end{bmatrix} - ٣س = س + م٢
  • إذا كانت ج = [٢−٥١٣]\begin{bmatrix} ٢ & -٥ \\ ١ & ٣ \end{bmatrix} فجد المصفوفة أ بحيث: ٢أ + ج = و
  • جد قيم س، ص الحقيقية التي تحقق المعادلة: س [٠٠٣]\begin{bmatrix} ٠ \\ ٠ \\ ٣ \end{bmatrix} + ص [٠٣٥]\begin{bmatrix} ٠ \\ ٣ \\ ٥ \end{bmatrix} = [٠٩−٣]\begin{bmatrix} ٠ \\ ٩ \\ -٣ \end{bmatrix}
  • إذا كانت س + ٢ص = [١٣−٢−١١]\begin{bmatrix} ١ & ٣ \\ -٢ & -١١ \end{bmatrix}، ٣س - ص = [٣−٥٨−٥]\begin{bmatrix} ٣ & -٥ \\ ٨ & -٥ \end{bmatrix} فجد المصفوفتين س، ص.

ضرب المصفوفات

  • إذا كانت المصفوفة ص = [٣١٠]\begin{bmatrix} ٣ & ١ & ٠ \end{bmatrix} تمثل النقاط التي يحصل عليها الفريق في أي مباراة يلعبها،
  • كوّن مصفوفة تمثل نتائج الفرق الثلاثة من النقاط، ثم رتب الفرق تنازلياً حسب عدد النقاط.

تعريف:

  • ضرب المصفوفات: إذا كانت أ مصفوفة من الرتبة م × ن، ب مصفوفة من الرتبة ن × ل، فإن حاصل الضرب

خصائص عملية الضرب على المصفوفات:

  • (أ . ب) . ج = أ . (ب . ج) (الخاصية التجميعية)
    • أ . (ب + ج) = (أ . ب) + (أ . ج) (توزيع الضرب على الجمع من اليمين)
  • (أ + ب) . ج = (أ . ج) + (ب . ج) (توزيع الضرب على الجمع من اليسار)
    • أ . م = م . أ = أ (العنصر المحايد لعملية ضرب المصفوفات)
  • ك (أ . ب) = (ك أ) . ب = أ . (ك ب)