متوسط التغير
متوسط التغير فرق القيم على فرق المدخلات، ويمثل ميل القاطع والسرعة المتوسطة في سياق الحركة.
القانون
- متوسط التغير = [ق(س₂)−ق(س₁)]/(س₂−س₁).
- الصيغة بالإزاحة: [ق(س+هـ)−ق(س)]/هـ، هـ≠0.
- Δص = ق(س₂)−ق(س₁)، وΔس = س₂−س₁.
Condensed revision
Mathematics (Scientific) Tawjihi cheat sheet: key ideas
The core laws and key ideas of each Mathematics (Scientific) lesson, built from the prescribed curriculum. This is a quick preview — open the full cheat sheet with flashcards and questions inside TawjihiAI.
حساب التفاضل
قواعد الاشتقاق
افهم المشتقة كنهاية متوسط التغير، ثم طبّق القواعد الأساسية وقاعدة حاصل الضرب وفحص نقطة الفصل.
القواعد
- (ج)'=0، و(س)'=1.
- (ج ق)'=ج ق'.
- (ق هـ)'=ق'هـ+ق هـ'.
مشتقات الاقترانات المثلثية
ورقة مراجعة مرتبطة بالصفحات المرئية 19–21، مع فصل واضح بين القاعدة، المجال، الرتب العليا، وهوية المثال 13.
قيم المصدر
- مثال 10: ق'(−1)=9/4.
- مثال 11: س=−1 أو س=−5 عند ق'(س)=−3/4.
- مثال 12: ق^(4)(2)=120.
قاعدة لوبيتال، ومشتقة الاقتران الأسي واللوغاريتمي
خريطة سريعة للمقطع المرئي: شخّص 0/0، اشتق البسط والمقام، كرر عند الحاجة، ثم راجع تعريف هـ والاقترانين الطبيعيين.
العدد النيبيري والاقترانان الطبيعيان
- هـ عدد حقيقي غير نسبي، هـ≈2.7182818.
- الأسي الطبيعي: ق(س)=هـ^س.
- اللوغاريتمي الطبيعي: ق(س)=لو_هـ س.
تطبيقات هندسية وفيزيائية
خريطة سريعة لحل تطبيقات الصفحات المطبوعة 30–32: افهم نقطة التماس، احسب المشتقة، اكتب المستقيم، ثم تحقق.
وصفة المماس
- حدد س₁ ثم احسب ص₁=ق(س₁).
- اشتق الاقتران: م=ق′(س₁).
- استخدم ص−ص₁=م(س−س₁).
- بسّط المعادلة واختبر النقطة.
قاعدة السلسلة
ورقة واحدة لمراجعة صيغ الحركة، نتائج المثالين 6 و7، المماس، والاقتران المركب.
الحركة
- متوسط السرعة=Δف/Δن.
- السرعة اللحظية ع=ف'(ن).
- التسارع ت=ف''(ن).
الاشتقاق الضمني
ورقة مراجعة من تمهيد قاعدة السلسلة إلى المشتقة الضمنية والمماس في الصفحات المرئية 42–51.
قيم الأمثلة
- س2+ص2=4س−ص عند (1،1): الميل 2/3.
- (س+ص)3−3ص2=5 عند (1،1): المماس ص=−2س+3.
- √س+√ص=3 عند (1،4): المماس ص=−2س+6.
تطبيقات التفاضل
نظريتا رول والقيمة المتوسطة
خريطة سريعة تبدأ بفحص الشروط، ثم تميّز بين ق'(ج)=٠ في رول وميل القاطع في القيمة المتوسطة، وتنتهي بالتحقق من ج داخل الفترة المفتوحة.
نظرية رول
- تحقق من الاتصال على [أ، ب].
- تحقق من قابلية الاشتقاق على (أ، ب).
- تحقق من ق(أ)=ق(ب).
- بعدها حل ق'(ج)=٠، واقبل فقط ج∈(أ، ب).
الاقترانات المتزايدة والمتناقصة
حدد المجال، أوجد المشتقة، اقسم خط الأعداد عند النقاط الحرجة، ثم اقرأ إشارة المشتقة.
الاختبار
- ق'>0: متزايد.
- ق'<0: متناقص.
- ق'=0 على فترة: ثابت.
القيم القصوى
تعريف، نقاط حرجة، اختبار إشارة، ثم مقارنة على الفترة المغلقة.
اختبار المشتقة الأولى
- حل ق′(س)=0 وأضف مواضع عدم وجود المشتقة داخل المجال.
- رتب المرشحين واختبر إشارة ق′ في الفترات.
- موجب ← سالب: عظمى محلية؛ سالب ← موجب: صغرى محلية؛ ثبات الإشارة: لا حسم.
التقعر ونقط الانعطاف
إشارة المشتقة الثانية تصف التقعر، وتغيرها مع الاتصال يثبت الانعطاف.
اختبار المشتقة الثانية للقيم القصوى
- عند نقطة حرجة: f′′(ج)>0 صغرى محلية.
- عند نقطة حرجة: f′′(ج)<0 عظمى محلية.
- f′′(ج)=0: الاختبار غير حاسم، فارجع إلى f′.
تطبيقات عملية على القيم القصوى
حوّل الوضع الواقعي إلى قيد ودالة هدف، ثم حسّنها داخل المجال وفسّر الناتج.
نماذج الصفحات
- مجموع 60: P(س)=س(60−س)، والأفضل 30 و30.
- المسافة: استخدم مربع المسافة، وفي المثال D=2س²−4س+12.
- المحيط: مساحة ثابتة 16 تعطي مربعاً 4×4.
المصفوفات والمحددات
المصفوفة
المصفوفة تنظيم مستطيل للأعداد في صفوف وأعمدة، وتُقرأ من خلال الرتبة والعناصر ومواقعها.
التعريف والرتبة
- المصفوفة: تنظيم مستطيل للأعداد في صفوف وأعمدة بين قوسين.
- الرتبة m × n = عدد الصفوف m × عدد الأعمدة n.
- العنصر aij يقع في الصف i والعمود j.
- عدد المدخلات = عدد الصفوف × عدد الأعمدة.
العمليات على المصفوفات
دليل شامل لعمليات الجمع، الطرح، الضرب في عدد ثابت، وضرب المصفوفات مع التركيز على شروط الرتبة والخصائص الجبرية.
جمع وطرح المصفوفات
- الشرط الأساسي: يجب أن تكون المصفوفتان من نفس الرتبة (م × ن).
- القاعدة: نجمع/نطرح المدخلات المتناظرة: A ± B = [aij ± bij]
- الخاصية التبديلية: A + B = B + A (متحققة).
المحددات
قواعد سريعة لحساب المحددات واختيار خصائصها.
القواعد الأساسية
- محدد الرتبة 1 هو المدخل نفسه.
- محدد 2 × 2 = حاصل ضرب القطر الرئيس − حاصل ضرب القطر الآخر.
- محدد 3 × 3 يحسب بالتوسيع من صف أو عمود.
النظير الضربي للمصفوفة المربعة
افحص المحدد، طبّق الصيغة، ثم تحقق بمصفوفة الوحدة.
الوجود
- A مربعة.
- det(A) غير صفري.
- A A⁻¹ = A⁻¹ A = I.
حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات
ثلاث طرائق مرتبة لحل النظام الخطي: الصورة المصفوفية، النظير الضربي، كريمر، وجاوس.
طريقة النظير الضربي
- تحقق من أن A مربعة وأن det(A) لا يساوي صفراً.
- استخدم X = A^-1B.
- للمصفوفة 2 × 2: بدّل مدخلتي القطر الرئيس، وغيّر إشارتَي القطر الآخر، ثم اقسم على المحدد.
التكامل غير المحدود وتطبيقاته
التكامل غير المحدود
خريطة سريعة لتعريف الاقتران الأصلي، ثابت التكامل، وقواعد التكامل المباشر في الصفحات 132–136.
الفكرة الأساسية
- م(س) أصل لـ ق(س) إذا كان م′(س) = ق(س).
- التكامل غير المحدود يجمع كل الأصول.
- اكتب ج لأن الفرق بين الأصول ثابت.
قواعد التكامل غير المحدود
التكامل عكس الاشتقاق؛ اختر القاعدة، بسّط التعبير، طبّقها، ثم أضف ج وتحقق بالاشتقاق.
القواعد المثلثية
- ∫ جا س دس = -جتا س + ج
- ∫ جتا س دس = جا س + ج
- ∫ قا² س دس = ظا س + ج
- ∫ قتا² س دس = -ظتا س + ج
تطبيقات التكامل غير المحدود
طريقة مرتبة للتطبيقين الهندسي والفيزيائي في الصفحات 141–145.
سلسلة الحركة
- ع=ف′.
- ت=ع′.
- ف=∫ع دن+ج، وع=∫ت دن+ج.
طرق التكامل
شجرة قرار وقواعد وأمثلة قصيرة للتعويض والتجزئة والكسور الجزئية، من الصفحات 146–161.
١. التعويض
- ابحث عن هـ(س) ومشتقته.
- ضع ع=هـ(س)، د ع=هـ′(س)دس.
- كامل بدلالة ع، ثم ارجع إلى س.
التكامل المحدود وتطبيقاته
التجزئة ومجموع ريمان
ثلاث حركات للحل: افحص التجزئة، احسب أطوال الفترات، ثم اجمع ق(سᵣ*) مضروبة في طول الفترة المناسبة.
١) تحقق من التجزئة — ص 164–165
- للفترة [أ،ب] يجب أن تكون س₀=أ وسₙ=ب.
- يجب أن تكون العناصر مرتبة تصاعدياً: س₀<س₁<…<سₙ.
- الفترة الجزئية الرائية هي [سᵣ₋₁،سᵣ] وطولها Δسᵣ=سᵣ−سᵣ₋₁.
- مجموع أطوال جميع الفترات الجزئية = ب−أ.
التكامل المحدود
خريطة سريعة لما يظهر في الصفحات 175–179: مجموع ريمان، تعريف التكامل المحدود، الأمثلة 1–7، والنظريتان الخاصتان بقابلية التكامل.
قابلية الاقتران للتكامل
- النظرية (1): المتصل على [أ،ب] قابل للتكامل.
- النظرية (2): إذا اتفق هـ وق إلا عند مجموعة منتهية، وكان ق قابلاً للتكامل، فهـ قابل للتكامل وتتكافأ قيمتا التكامل.
- مثال 5: س²+5 متصل على [−2،4].
- مثال 6: [س/2] يقارن بالثابت 2 ويختلف عند س=6.
العلاقة بين التفاضل والتكامل (النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل)
أوجد أصلياً ثم استخدم فرق القيم، أو اشتق اقتران التراكم مباشرة.
التراكم
- ت(س)=∫ من أ إلى س ق(ص) دص.
- ت'(س)=ق(س) عند الاتصال.
- لا تحسب التكامل أولاً إذا كان المطلوب المشتقة.
خصائص التكامل المحدود
خريطة سريعة للقواعد التي تظهر في صفحات 181–188، مع طريقة اختيار الخاصية.
الإضافة
- أ^بق=أ^جـق+جـ^بق
تطبيقات التكامل المحدود
خريطة عملية لاختيار نموذج التكامل، تحديد الحدود، وكتابة المساحات والحجوم مع فحص الإشارة والوحدات.
المساحة بين منحنيين
- حل د(س)=هـ(س) لتحديد نقاط التقاطع وحدود المنطقة.
- على كل جزء لا تتغير فيه العلاقة: A = (الدالة العليا − الدالة السفلى) د س.
- إذا تقاطعت الدالتان داخل الفترة، فقسّم التكامل عند نقطة التقاطع.
- إذا كان الطرح غير واضح، افحص إشارة د(س)−هـ(س) عند قيمة اختبارية.
الأعداد المركبة
الأعداد المركبة
خلاصة الصفحات 206–209: تعريف العدد المركب، أجزاؤه، الوحدة التخيلية، قوى ت، والجذور السالبة.
قوى ت
- ت¹ = ت، ت² = -١، ت³ = -ت، ت⁴ = ١.
- للتبسيط، اقسم الأس ن على ٤ وخذ الباقي م، ثم استخدم ت^ن = ت^م.
- مثال الصفحة: ت^٩٩ = ت³ = -ت.
- مثال الصفحة: ١/ت^٢٢ = ١/ت² = -١.
العمليات على الأعداد المركبة
خريطة سريعة للتساوي والجمع والطرح والضرب والنظير الضربي كما تظهر في الصفحات 210-214.
الضرب
- (س_1+ص_1ت)(س_2+ص_2ت)=(س_1س_2-ص_1ص_2)+(س_1ص_2+س_2ص_1)ت.
- استخدم التوزيع ثم ت2=-1.
قسمة الأعداد المركبة
استخدم المرافق لجعل المقام حقيقياً، واستخدم المقياس والربع للتحويل إلى الصورة القطبية.
الأدوات
- ع̄=س−صت إذا ع=س+صت.
- |ع|=√(س²+ص²).
- ع ع̄=|ع|².
التمثيل البياني والتمثيل القطبي للأعداد المركبة
النقطة (س، ص) ثم ر وهـ ثم ع = ر(جتا هـ + ت جا هـ).
قطبي
- ر = √(س²+ص²)
- س = ر جتا هـ
- ص = ر جا هـ
Frequently asked questions
What is the Mathematics (Scientific) Tawjihi cheat sheet?
Concise revision pages for Mathematics (Scientific) that gather the key laws, ideas, and exam tips for each lesson.
Is it based on the prescribed curriculum?
Yes — built from the prescribed curriculum and official units. You can preview cheat sheets inside TawjihiAI.
Complete your Mathematics (Scientific) prep
Results week: 20 messages a day with Zaki
Sign up now and plan your post-results step with Zaki — no invented ministry dates.