أسئلة الرياضيات توجيهي: مع الحل

س: عرّف متوسط التغير، واكتب صيغته من س₁ إلى س₂.

ج: هو نسبة تغير الاقتران إلى تغير المدخل: [ق(س₂)−ق(س₁)]/(س₂−س₁)، مع س₂≠س₁.

س: اشرح لماذا يشترط س₂≠س₁ في قانون متوسط التغير.

ج: لأن المقام س₂−س₁ يمثل التغير في المدخل، وإذا تساوى الطرفان صار المقام صفراً ولا تصح القسمة.

س: أوجد متوسط التغير لاقتران يحقق ق(2)=7 وق(5)=−2.

ج: [ق(5)−ق(2)]/(5−2)=(−2−7)/3=−3.

س: اكتب تعريف المشتقة باستخدام نهاية متوسط التغير، وفسر معنى هـ.

ج: ق'(س)=نها [ق(س+هـ)−ق(س)]/هـ عندما هـ→0، ويمثل هـ تغيراً في س ويكون غير صفري أثناء تكوين الكسر.

س: أوجد مشتقة ق(س)=4س³−7س+9، واذكر القاعدة المستخدمة للثابت.

ج: ق'(س)=12س²−7؛ لأن مشتقة الثابت 9 تساوي صفراً.

س: فسر لماذا تساوي مشتقة الثابت صفراً ومشتقة س واحداً.

ج: الاقتران الثابت لا يتغير فميله صفر، أما ص=س فخط مستقيم ميله واحد.

س: اكتب قاعدة القسمة، واذكر شرطاً على المقام.

ج: إذا كان ق=ب/م فإن ق'=(ب'م−بم')/م2، مع م≠0. يجب استبعاد قيم س التي تجعل المقام صفراً.

س: اشرح معنى المشتقات العليا، ثم ميّز بين المشتقة الثانية ومربع المشتقة الأولى.

ج: المشتقة الثانية هي مشتقة المشتقة الأولى، وتستمر الرتب العليا باشتقاق الرتبة السابقة. أما d2ص/dس2 فهو اشتقاق ثان، في حين أن (dص/dس)2 هو تربيع ناتج الاشتقاق الأول.

س: لماذا لا يجوز قبول قيمة تجعل المقام صفراً حتى لو ظهرت أثناء حل معادلة مشتقة؟

ج: لأن الاقتران الكسري غير معرّف عند تلك القيمة، وقاعدة القسمة تفترض مقاماً غير صفري. لذلك يفحص الحل مجال الاقتران بعد الجبر.

س: اذكر الخطوة الأولى قبل تطبيق قاعدة لوبيتال، ثم وضّح لماذا لا تمثل 0/0 قيمة نهائية.

ج: نبدأ بالتعويض المباشر في البسط والمقام. إذا ظهرت 0/0 فهي صورة غير معينة لا تعطي قيمة النهاية، ولذلك نحتاج إلى طريقة إضافية مثل قاعدة لوبيتال.

س: اكتب قاعدة لوبيتال بالصورة التي يشرحها المصدر، واذكر شرط قابلية الاشتقاق.

ج: إذا كان ق(س) و هـ(س) قابلين للاشتقاق عند س=أ، وكانت النهاية تعطي 0/0، فإن س→أ(ق(س))/(هـ(س))=س→أ(ق'(س))/(هـ'(س)) عندما تكون النهاية الجديدة موجودة.

س: ما الفرق بين تطبيق لوبيتال واشتقاق حاصل القسمة؟

ج: في لوبيتال نشتق البسط وحده والمقام وحده ثم نكوّن خارج قسمة المشتقتين. لا نستخدم صيغة مشتقة حاصل القسمة ذات البسط المركب.

س: اشرح المعنى الهندسي للقيمة ق′(س₁).

ج: تمثل ق′(س₁) ميل المماس لمنحنى ق(س) عند النقطة (س₁، ق(س₁))، أي معدل التغير اللحظي للمنحنى عندها.

س: عرّف نقطة التماس والعمودي على المنحنى.

ج: نقطة التماس هي (س₁، ق(س₁)) التي يمر بها المماس. والعمودي هو المستقيم العمودي على المماس عند نقطة التماس.

س: لماذا يكون ميل العمودي السالب المقلوب لميل المماس؟

ج: لأن المستقيمين متعامدان، وحاصل ضرب ميلي مستقيمين متعامدين يساوي −١؛ لذلك إذا كان ميل المماس م≠٠ فميل العمودي −١/م.

س: فرّق بين السرعة المتوسطة والسرعة اللحظية، واكتب صيغة كل منهما.

ج: السرعة المتوسطة تغير الموضع على طول فترة: [ف(ن2)−ف(ن1)]/(ن2−ن1). السرعة اللحظية عند زمن محدد هي المشتقة ف'(ن).

س: كيف يرتبط التسارع بدالة الموضع؟

ج: السرعة ع=ف'(ن)، والتسارع هو مشتقة السرعة ت=ع'=ف''(ن). لذلك نشتق الموضع مرتين بالنسبة للزمن.

س: لماذا لا تكفي إشارة المسافة وحدها لتحديد اتجاه الحركة؟

ج: المسافة كمية غير سالبة تجمع أطوال المسار، بينما اتجاه الحركة يقرأ من إشارة السرعة اللحظية. قد تعود المسافة موجبة بعد تغيّر السرعة من موجبة إلى سالبة.

س: عرّف الاقتران المركب، واكتب قاعدة السلسلة بصيغة ص=ق(هـ(س)).

ج: الاقتران المركب هو ق(هـ(س)) حيث هـ الداخل وق الخارج. وقاعدة السلسلة دص/دس=ق'(هـ(س))هـ'(س)، أي مشتقة الخارج عند الداخل مضروبة في مشتقة الداخل.

س: لماذا يظهر العامل دص/دس عند اشتقاق حد مثل ص2 بالنسبة إلى س؟

ج: لأن ص تعتمد على س، فهي متغير داخلي. بتطبيق قاعدة السلسلة تصبح مشتقة ص2 هي 2ص دص/دس، وليس 2ص فقط.

س: اكتب خطوات الاشتقاق الضمني عند طلب دص/دس عند نقطة.

ج: نتحقق من النقطة في العلاقة، نشتق الطرفين بالنسبة إلى س، نجمع كل عوامل دص/دس، نخرجها عاملاً مشتركاً ونعزلها، ثم نعوض إحداثيي النقطة.

س: اكتب نظرية رول كاملة، واذكر الفترة التي يجب أن تقع فيها ج.

ج: إذا كان ق متصلاً على [أ، ب] وقابلاً للاشتقاق على (أ، ب) وكان ق(أ)=ق(ب)، فإنه يوجد عدد حقيقي واحد على الأقل ج∈(أ، ب) بحيث ق'(ج)=٠.

س: تحقق من شروط نظرية رول للاقتران ق(س)=س²−س على [٠،١]، ثم أوجد ج.

ج: أ: ق كثير حدود، فهو متصل وقابل للاشتقاق على الفترتين المطلوبتين. ب: ق(٠)=٠ وق(١)=٠. ج: ق'(س)=٢س−١، ومن ٢ج−١=٠ نحصل على ج=١/٢، وهي داخل (٠،١).

س: فسّر لماذا لا يجوز تطبيق نظرية رول إذا كان الاقتران غير متصل عند نقطة داخل الفترة المغلقة.

ج: لأن الاتصال على [أ، ب] شرط أساسي في رول، وفشله يمنع استنتاج وجود ج∈(أ، ب) بحيث ق'(ج)=٠، حتى لو أمكن حل معادلة المشتقة.

س: اكتب تعريف الاقتران المتزايد والمتناقص على فترة باستخدام س₁ وس₂.

ج: إذا س₁<س₂، فالمتزايد يحقق ق(س₁)<ق(س₂)، والمتناقص يحقق ق(س₁)>ق(س₂).

س: اذكر اختبار المشتقة الأولى للتزايد والتناقص والثبات.

ج: ق'>0 يعني متزايداً، وق'<0 يعني متناقصاً، وق'=0 على فترة كاملة يعني ثابتاً، مع تحقق شروط المجال والاشتقاق.

س: اشرح لماذا لا تكفي معرفة أن ق'(a)=0 لتحديد سلوك الاقتران حول a.

ج: لأن ق'(a)=0 قيمة عند نقطة واحدة، وقد تتغير إشارة المشتقة قبلها وبعدها؛ يجب اختبار الفترات المحيطة.

س: قارن بين القيمة القصوى المحلية والقيمة القصوى المطلقة، ثم فسّر مثال الاقتران الثابت ق(س)=4 على [0،3].

ج: المحلية جوار مفتوح، والمطلقة المجال كله؛ والاقتران الثابت يحقق المحليتين بالقيمة نفسها.

س: اشرح كيف تحدد النقاط الحرجة لاقتران قد تكون مشتقته غير موجودة عند بعض القيم.

ج: أحل ق′=0 وأفحص عدم وجودها، مع إبقاء قيم المجال فقط، ثم أصنف المرشحين باختبار آخر.

س: للاقتـران ق(س)=س³+س²−5س−5، أوجد النقاط الحرجة وصنّف القيم المحلية واحسبها.

ج: العظمى المحلية 40/27 عند س=−5/3، والصغرى المحلية −8 عند س=1.

س: اشرح اختبار التقعر بالمشتقة الثانية، وبيّن لماذا لا يكفي f′′(ج)=0.

ج: الإشارة على الفترات تصف التقعر، والصفر يحدد مرشحاً فقط حتى يثبت تغير الإشارة والاتصال.

س: للاقتران ق(س)=(س²+1)/س، حدد فترات التقعر وناقش الصفر.

ج: التقعر للأسفل قبل الصفر وللأعلى بعده، ولا انعطاف عند صفر خارج المجال.

س: حلل تقعر ق(س)=ln(cos س) على [0،π/3].

ج: التقعر للأسفل على الفترة لأن −sec² س سالبة حيث تكون الدالة معرفة.

س: اكتب خوارزمية عامة لمسألة قيم قصوى عملية من نشاط الشرائط أو زاوية الشارع.

ج: الرسم والمتغيرات ثم القيد ثم دالة الهدف والمجال ثم الاشتقاق والفحص والتفسير.

س: عددان موجبان مجموعهما 60. أوجد العددين اللذين يعطيان أكبر حاصل ضرب.

ج: أفضل تقسيم هو 30 و30.

س: كوّن نموذج الصندوق المفتوح ذي القاعدة المربعة والحجم 8 دسم³ لتقليل مساحة المادة.

ج: النموذج T(س)=س²+32/س، وتحدد النقطة الحرجة من 2س−32/س²=0.

س: عرّف المصفوفة.

ج: تنظيم مستطيل لمجموعة من الأعداد في صفوف وأعمدة محصور بين قوسين.

س: ما رتبة مصفوفة لها m صفوف وn أعمدة؟ وكم عدد مدخلاتها؟

ج: رتبتها m × n، وعدد مدخلاتها m × n.

س: ما معنى العنصر aij؟

ج: المدخل الواقع في الصف i والعمود j.

س: ما شرط جمع مصفوفتين؟ وكيف يتم الجمع؟

ج: أن تكونا من الرتبة نفسها، ثم تجمع المدخلات المتناظرة.

س: اكتب الطرح A − B باستعمال الجمع.

ج: A − B = A + (−B)، حيث −B هو النظير الجمعي لـ B.

س: ما أثر ضرب A في عدد حقيقي k على رتبتها ومدخلاتها؟

ج: تبقى الرتبة نفسها، وتضرب كل مدخلة في k.

س: عرّف محدد المصفوفة.

ج: عدد مرتبط بمصفوفة مربعة ويرمز له بـ |A| أو det(A).

س: اكتب قاعدة محدد 2 × 2.

ج: إذا كانت المصفوفة [[a,b],[c,d]] فالمحدد ad − bc.

س: ما خطوات توسيع محدد 3 × 3؟

ج: اختيار صف أو عمود، ثم المحددات الأصغر والإشارات، ثم جمع الحدود.

س: عرّف النظير الضربي للمصفوفة A.

ج: مصفوفة A⁻¹ تحقق A A⁻¹ = A⁻¹ A = I.

س: متى تكون المصفوفة منفردة؟

ج: عندما يكون محددها صفراً ولا يوجد لها نظير ضربي.

س: ما خطوات اختبار وجود النظير؟

ج: احسب المحدد، ثم قرر من كونه صفراً أو غير صفري.

س: ما معنى AX=B؟

ج: A مصفوفة المعاملات، وX مصفوفة المتغيرات، وB مصفوفة الثوابت.

س: ما الشرط اللازم لإيجاد A^-1؟

ج: أن تكون A مربعة وغير منفردة، أي det(A) غير صفري.

س: رتب خطوات الحل بالنظير الضربي.

ج: أفحص المحدد، أوجد المعكوس، أحسب X=A^-1B، ثم أتحقق بالتعويض.

س: عرّف الاقتران الأصلي للاقتـران ق(س).

ج: م(س) اقتران أصلي لـ ق(س) إذا كان م′(س) = ق(س).

س: فسّر لماذا يختلف أي أصلين للاقتـران المتصل نفسه بثابت.

ج: إذا كان م′(س) = هـ′(س)، فإن (م(س) − هـ(س))′ = ٠، ولذلك م(س) − هـ(س) = ج.

س: اكتب معنى الرمز ∫ ق(س) دس.

ج: هو مجموعة جميع الاقترانات الأصلية للاقتـران ق(س)، وتكتب على صورة م(س) + ج.

س: لماذا نضيف ثابت التكامل ج؟

ج: لأن الاقترانات الأصلية التي لها المشتقة نفسها تختلف بمقدار ثابت.

س: اكتب خاصيتي خطية التكامل.

ج: ∫أق(س) دس=أ∫ق(س) دس، أ≠٠، و∫(ق(س)±هـ(س)) دس=∫ق(س) دس±∫هـ(س) دس.

س: متى لا تستخدم قاعدة القوة؟ وما القاعدة البديلة؟

ج: عندما ن=-1؛ نستخدم ∫(1/س) دس=لو₍هـ₎|س|+ج.

س: إذا كان ق′(س)=٦س ويمر المنحنى بالنقطة (٠،١)، فأوجد ق(س).

ج: ق(س)=٣س²+١.

س: إذا كان ق′(س)=٢س+٣ ويمر المنحنى بالنقطة (١،٥)، فأوجد ق(س).

ج: ق(س)=س²+٣س+١.

س: اشرح دور النقطة المعلومة في سؤال ميل المماس.

ج: تستخدم النقطة بعد التكامل لتحديد ثابت ج، وبدونه تبقى عائلة منحنيات لها الميل نفسه.

س: اذكر العلامة التي تجعلك تجرب التكامل بالتعويض.

ج: ظهور تعبير داخلي هـ(س) ومعه مشتقته أو مضاعف مشتقته داخل التكامل.

س: أوجد ∫٢س√(س²+٤) دس موضحاً المتغير الجديد.

ج: ضع ع=س²+٤، د ع=٢س دس. إذن التكامل ∫√ع دع=٢ع^(٣/٢)/٣+ج=٢/٣(س²+٤)^(٣/٢)+ج.

س: أوجد ∫(٢س+١)^٥ دس.

ج: ع=٢س+١، دس=دع/٢، والناتج ع⁶/١٢+ج=(٢س+١)^٦/١٢+ج.

س: عرّف التجزئة النونية للفترة المغلقة [أ،ب]، واذكر شروطها.

ج: هي σ=س₀،س₁،…،سₙ بحيث س₀=أ<س₁<…<سₙ=ب؛ أي تبدأ عند أ، وتنتهي عند ب، وعناصرها مرتبة تصاعدياً.

س: اكتب الفترة الجزئية الرائية وطولها، ثم بيّن مجموع أطوال الفترات الجزئية.

ج: [سᵣ₋₁،سᵣ]، Δسᵣ=سᵣ−سᵣ₋₁، ومجموع الأطوال ب−أ.

س: ما الفرق بين التجزئة والتجزئة المنتظمة؟

ج: التجزئة تحقق الطرفين والترتيب، أما التجزئة المنتظمة فتضيف شرط تساوي أطوال جميع الفترات الجزئية، بحيث Δس=(ب−أ)/ن.

س: عرّف التكامل المحدود كما في الدرس.

ج: إذا كان ق(س) معرفاً ومحدوداً في [أ،ب] وكانت نهاية م(σₙ،ق)=ل عندما ن→∞ لجميع قيم سᵣ* المناسبة، فإن ∫ من أ إلى ب ق(س) د س=ل.

س: اكتب صيغة مجموع ريمان في تجزئة نونية منتظمة.

ج: م(σₙ،ق)=∑ من ر=1 إلى ن ق(سᵣ*) (ب−أ)/ن.

س: ما المقصود بأن ق(س) محدود؟

ج: أن يوجد عددان حقيقيان أ،ب بحيث أ≤ق(س)≤ب لكل س في مجال الاقتران.

س: اكتب النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، واذكر شرطاً على ق.

ج: إذا كان ق متصلاً على [أ،ب] وكان م'(س)=ق(س)، فإن ∫ من أ إلى ب ق(س) دس = م(ب)−م(أ).

س: اشرح لماذا لا يؤثر ثابت التكامل في قيمة التكامل المحدود.

ج: إذا كان الأصلي م+ج، فإن (م(ب)+ج)−(م(أ)+ج)=م(ب)−م(أ)، فيلغي الطرح الثابت.

س: إذا كان م'(س)=ق(س)، وم(7)=12 وم(−3)=4، أوجد التكامل من −3 إلى 7.

ج: م(7)−م(−3)=12−4=8.

س: ما الخطوات العامة للتعامل مع اقتران معرف على أجزاء داخل تكامل محدود؟

ج: حدّد نقطة أو نقاط الفصل، جزّئ الفترة عندها بخاصية الإضافة، ثم استعمل صيغة الاقتران المناسبة في كل جزء وطبّق الخصائص الأساسية.

س: ماذا يطلب التدريب الخاص بالاقتران ق(س)=|٢-س| على [٠،٥]؟

ج: إيجاد الاقتران المكامل ت(س)، مع الانتباه إلى نقطة التغيّر عند س=٢.

س: ما أثر عكس حدّي التكامل؟

ج: تتغير إشارة الناتج.

س: أوجد المساحة المحصورة بين ق(س)=س²−٩ ومحور السينات، وفسّر سبب تغيير إشارة الاقتران.

ج: نحل س²−٩=٠ فنحصل على س=−٣ و٣. بين هاتين القيمتين يكون س²−٩≤٠، لذلك المساحة الموجبة هي م=∫ من −٣ إلى ٣ (٩−س²) د س. بالتناظر م=٢[٩س−س³/٣] من ٠ إلى ٣=٣٦ وحدة مربعة.

س: للاقتران ق(س)=س+١، أوجد المساحة بين المنحنى ومحور السينات والمستقيمين س=٢ وس=٣.

ج: الإجابة الكاملة: القيم موجبة، م=∫ من ٢ إلى ٣ (س+١) د س، والناتج ٧/٢ وحدة مربعة.

س: أوجد المساحة بين ق(س)=جا س ومحور السينات على [٠،π]، واذكر لماذا لا نجزّئ الفترة.

ج: جا س غير سالب على [٠،π]، لذلك م=∫ من ٠ إلى π جا س د س=[−جتا س] من ٠ إلى π=٢ وحدة مربعة. لا نجزّئ الفترة لأن الإشارة لا تتغير داخلها.

س: عرّف العدد المركب واكتب صورته القياسية.

ج: العدد المركب مقدار جبري على الشكل ع = س + ص ت حيث س، ص ∈ ح و ت = √(-١).

س: ما الوحدة التخيلية؟ وما العلاقة الأساسية التي تحققها؟

ج: ت = √(-١)، ولذلك ت² = -١.

س: ما الجزء الحقيقي والجزء التخيلي في ع = س + ص ت؟

ج: الجزء الحقيقي هو س، والجزء التخيلي هو ص.

س: اكتب شرط تساوي العددين ع_1=س_1+ص_1ت وع_2=س_2+ص_2ت.

ج: س_1=س_2 وص_1=ص_2.

س: اذكر خصائص عملية الجمع للأعداد المركبة الظاهرة في الصفحة 211.

ج: الانغلاق، التجميعية، وجود العنصر المحايد 0، وجود النظير الجمعي، والتبديلية.

س: اذكر خصائص عملية الضرب الظاهرة في الصفحتين 212-213.

ج: الانغلاق، التجميعية، وجود العنصر المحايد 1، وجود النظير الضربي لكل عدد غير صفري، والتبديلية.

س: إذا ع=3+4ت، أوجد مرافقه ومقياسه وحاصل ضربه في مرافقه.

ج: ع̄=3−4ت، |ع|=5، وع ع̄=25.

س: أثبت أن مقياس العدد ومقياس مرافقه متساويان.

ج: إذا ع=س+صت، فـ|ع|=√(س²+ص²)، بينما ع̄=س−صت يعطي |ع̄|=√(س²+(−ص)²)=√(س²+ص²)=|ع|.

س: اكتب خصيصتين للمرافق، واذكر كيف تفيد إحداهما في القسمة.

ج: مرافق المجموع يساوي مجموع المرافقين، ومرافق الحاصل يساوي حاصل المرافقين، كما أن ع ع̄=|ع|². الخاصية الأخيرة تجعل المقام حقيقياً.

س: ماذا يمثل المحور الأفقي في مستوى أرجاند؟

ج: الجزء الحقيقي.

س: ماذا يمثل المحور الرأسي؟

ج: الجزء التخيلي.

س: اكتب الصورة القطبية العامة لـ ع = س + ص ت.

ج: ع = ر(جتا هـ + ت جا هـ)، ر = |ع|.