تدريب مع الحل
أسئلة الرياضيات مع الحل والشرح، مرتّبة حسب الوحدة والدرس. هذه نظرة سريعة — تدرّب على بنك الأسئلة الكامل بوقت محدّد داخل TawjihiAI.
س: عرّف متوسط التغير.
ج: هو التغير في قيم الاقتران مقسوماً على التغير في قيم المتغير المستقل في فترة معينة.
س: عرّف ميل القاطع.
ج: هو القيمة الهندسية التي تمثل متوسط تغير الاقتران بين نقطتين على منحناه.
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب متوسط التغير جبرياً.
ج: 1. نحدد المعطيات: س1 = -1، س2 = 2. 2. نحسب الصور: ق(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 3 = 9، ق(2) = (2)2 - 5(2) + 3 = -3. 3. نطبق القانون: (-3 - 9)/(2 - (-1)) = (-12)/(3) = -4.
س: عرّف المشتقة الأولى.
ج: نهاية معدل تغير الاقتران ق(س) عندما تقترب التغير في س من الصفر، وتساوي ميل المماس للمنحنى عند تلك النقطة.
س: عرّف قابلية الاشتقاق.
ج: يكون الاقتران قابلاً للاشتقاق عند س=أ إذا كانت المشتقة من اليمين تساوي المشتقة من اليسار.
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها تطبيق على قاعدة الضرب.
ج: 1. نطبق قاعدة الضرب: ق'(س) = س × ك'(س) + ك(س) × (1). 2. بالتعويض عند س=2: ق'(2) = 2 × ك'(2) + 4. 3. نستخدم المعطيات للوصول للنتيجة النهائية بناءً على ما ورد في الكتاب.
س: عرّف مشتقة الاقتران المثلثي.
ج: معدل تغير الاقتران المثلثي بالنسبة للمتغير المستقل.
س: عرّف المشتقات ذات الرتب العليا.
ج: اشتقاق الاقتران الناتج عن عملية اشتقاق سابقة لمرة واحدة أو أكثر.
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها تطبيق على قاعدة القسمة.
ج: 1. نحدد البسط u = x والمقام v = x. 2. نطبق قاعدة القسمة: f'(x) = (( x)(x) - ( x)(1))/(x2). 3. النتيجة النهائية: f'(x) = (x x - x)/(x2).
س: عرّف قاعدة لوبيتال.
ج: قاعدة تستخدم لإيجاد نهاية خارج قسمة اقترانين عندما تؤول النهاية إلى حالة عدم تعيين (0/0) أو (∞/∞) عن طريق اشتقاق البسط والمقام كل على حدة.
س: عرّف الاقتران الأسي الطبيعي.
ج: الاقتران الذي أساسه العدد النيبري e ≈ 2.7182818.
س: عرّف الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي.
ج: اللوغاريتم الذي أساسه العدد النيبري e، ويرمز له بـ (س).
س: عرّف ميل المماس.
ج: هو قيمة المشتقة الأولى للاقتران ق(س) عند نقطة التماس (س1، ص1)، ويُرمز له بالرمز م = ق'(س1).
س: عرّف العمودي على المماس.
ج: هو المستقيم العمودي على المماس عند نقطة التماس، وميله يساوي (-1 / ميل المماس).
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها إيجاد معادلة المماس والعمودي.
ج: 1. نجد النقطة: ق(1) = 13 + 5 = 6. النقطة هي (1، 6). 2. نجد الميل: ق'(س) = 3س2، إذن م = ق'(1) = 3(1)2 = 3. 3. معادلة المماس: ص - 6 = 3(س - 1) => ص = 3س + 3. 4. معادلة العمودي: ص - 6 = -1/3(س - 1) => ص = -1/3س + 19/3.
س: عرّف الاقتران المركب.
ج: اقتران ينتج عن تركيب اقترانين، حيث يكون مخرجات الاقتران الأول هي مدخلات للاقتران الثاني.
س: عرّف قاعدة السلسلة.
ج: قاعدة رياضية لاشتقاق الاقترانات المركبة، تنص على أن مشتقة الاقتران المركب هي مشتقة الاقتران الخارجي بالنسبة للاقتران الداخلي مضروبة في مشتقة الاقتران الداخلي.
س: عرّف المتغير الوسيط.
ج: متغير (مثل ع) يُستخدم لربط متغيرين آخرين (مثل ص و س) لتسهيل عملية الاشتقاق.
س: عرّف الدالة الصريحة.
ج: علاقة يكون فيها المتغير التابع (ص) معزولاً في طرف واحد بدلالة المتغير المستقل (س).
س: عرّف الاشتقاق الضمني.
ج: عملية اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة لـ (س) مباشرة دون الحاجة لعزل (ص) في طرف واحد.
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها مثال محلول: إيجاد المشتقة.
ج: 1. نشتق الطرفين: 2س + 2ص (dy)/(dx) = 4 - (dy)/(dx) 2. نجمع حدود (dy)/(dx): 2ص (dy)/(dx) + (dy)/(dx) = 4 - 2س 3. عامل مشترك: (dy)/(dx) (2ص + 1) = 4 - 2س 4. (dy)/(dx) = (4 - 2س)/(2ص + 1) 5. بالتعويض بالنقطة (1، 1): (dy)/(dx) = (4 - 2(1))/(2(1) + 1) = (2)/(3)
س: عرّف نظرية رول.
ج: إذا كان الاقتران f متصلاً على [a, b] وقابلاً للاشتقاق على (a, b) وكان f(a) = f(b)، فإنه يوجد على الأقل قيمة c في (a, b) بحيث f'(c) = 0.
س: عرّف نظرية القيمة المتوسطة.
ج: إذا كان الاقتران f متصلاً على [a, b] وقابلاً للاشتقاق على (a, b)، فإنه يوجد على الأقل قيمة c في (a, b) بحيث f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).
س: عرّف الميل.
ج: يمثل ميل المماس للمنحنى عند نقطة معينة، وهو المشتقة الأولى للاقتران عند تلك النقطة.
س: عرّف الاقتران المتزايد.
ج: يكون الاقتران متزايداً في فترة إذا كان لكل س1 < س2 في الفترة، فإن ق(س1) < ق(س2).
س: عرّف الاقتران المتناقص.
ج: يكون الاقتران متناقصاً في فترة إذا كان لكل س1 < س2 في الفترة، فإن ق(س1) > ق(س2).
س: عرّف النقطة الحرجة.
ج: هي النقطة التي يكون عندها المشتقة ق'(س) = 0 أو تكون غير موجودة ضمن مجال الاقتران.
س: عرّف النقطة الحرجة.
ج: تكون النقطة (أ، ق(أ)) نقطة حرجة للاقتران ق(س) إذا كان أ في مجال ق(س)، وكان ق'(أ) = 0 أو ق'(أ) غير موجودة.
س: عرّف القيمة العظمى المطلقة.
ج: قيمة ق(ج) بحيث تكون ق(ج) ≥ ق(س) لجميع قيم س في مجال الاقتران.
س: عرّف القيمة الصغرى المطلقة.
ج: قيمة ق(ج) بحيث تكون ق(ج) ≤ ق(س) لجميع قيم س في مجال الاقتران.
س: عرّف التقعر للأعلى.
ج: يكون الاقتران مقعراً للأعلى في الفترة [أ، ب] إذا كان واقعاً فوق مماساته في تلك الفترة.
س: عرّف التقعر للأسفل.
ج: يكون الاقتران مقعراً للأسفل في الفترة [أ، ب] إذا كان واقعاً تحت مماساته في تلك الفترة.
س: عرّف نقطة الانعطاف.
ج: النقطة التي يغير عندها الاقتران اتجاه تقعره (من الأعلى للأسفل أو العكس) بشرط اتصال الاقتران عندها.
س: عرّف دالة الهدف.
ج: الدالة الرياضية التي تصف الكمية المراد تعظيمها (مثل المساحة) أو تقليلها (مثل التكلفة).
س: عرّف المجال الفيزيائي.
ج: مجموعة القيم الممكنة للمتغيرات في المسألة، والتي تفرضها القيود الواقعية (مثل الأبعاد التي يجب أن تكون موجبة).
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها تعظيم مساحة مستطيل.
ج: 1. العلاقة المساعدة: 2x + 2y = 40 → y = 20 - x. 2. دالة الهدف: A = x × y = x(20 - x) = 20x - x2. 3. الاشتقاق: A' = 20 - 2x. 4. النقاط الحرجة: 20 - 2x = 0 → x = 10. 5. النتيجة: عندما x = 10، فإن y = 10. المساحة العظمى هي 100 cm2.
س: عرّف المصفوفة (Matrix).
ج: تنظيم مستطيل لمجموعة من الأعداد في هيئة صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين [ ].
س: عرّف رتبة المصفوفة (Order).
ج: تحدد بـ (م × ن) حيث م هو عدد الصفوف، ون هو عدد الأعمدة.
س: عرّف المصفوفة المربعة.
ج: المصفوفة التي يتساوى فيها عدد الصفوف مع عدد الأعمدة (م = ن).
س: عرّف جمع المصفوفات.
ج: عملية جمع المدخلات المتناظرة لمصفوفتين لهما نفس الرتبة.
س: عرّف المصفوفة الصفرية.
ج: المصفوفة التي جميع مدخلاتها أصفار، وتعمل كعنصر محايد في عملية الجمع.
س: عرّف ضرب المصفوفات.
ج: عملية حسابية تعتمد على ضرب صفوف المصفوفة الأولى في أعمدة المصفوفة الثانية.
س: عرّف المحدد (Determinant).
ج: اقتران يربط المصفوفة المربعة بعدد حقيقي، ويرمز له بالرمز |أ|.
س: عرّف المصفوفة المربعة.
ج: مصفوفة عدد الصفوف فيها يساوي عدد الأعمدة.
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب محدد 2×2.
ج: 1. نحدد عناصر القطر الرئيسي (3، 5) والثانوي (2، 1). 2. نطبق القانون: |أ| = (3 × 5) - (2 × 1). 3. النتيجة: 15 - 2 = 13.
س: عرّف المصفوفة المحايدة (I).
ج: مصفوفة مربعة عناصر قطرها الرئيسي تساوي 1 وبقية العناصر تساوي 0، حيث أ × م = م × أ = أ.
س: عرّف المصفوفة المنفردة.
ج: المصفوفة المربعة التي لا يوجد لها نظير ضربي، وتكون قيمتها المحددة تساوي صفراً (|أ| = 0).
س: عرّف النظير الضربي (أ⁻¹).
ج: مصفوفة إذا ضُربت في المصفوفة الأصلية (أ) من الجهتين كان الناتج المصفوفة المحايدة (أ × أ⁻¹ = أ⁻¹ × أ = م).
س: عرّف المصفوفة المعكوسة (Inverse Matrix).
ج: مصفوفة A-1 بحيث يكون A × A-1 = I، حيث I هي مصفوفة الوحدة.
س: عرّف محدد المصفوفة (Determinant).
ج: قيمة عددية مرتبطة بالمصفوفة المربعة، تُستخدم لتحديد قابلية عكس المصفوفة وحل الأنظمة.
س: عرّف قاعدة كرامر (Cramer's Rule).
ج: طريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المحددات.
س: عرّف الاقتران الأصلي (Antiderivative).
ج: إذا كان ق(س) متصلاً في الفترة [أ، ب]، فإن م(س) يسمى اقتراناً أصلياً لـ ق(س) إذا كان م'(س) = ق(س).
س: عرّف التكامل غير المحدود.
ج: مجموعة كل الاقترانات الأصلية للاقتران ق(س)، ويرمز له بالرمز ∫ ق(س) د س = م(س) + ج.
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها إيجاد الاقتران الأصلي.
ج: 1. نشتق م(س): م'(س) = د/د س (1/4 س4). 2. نطبق قاعدة القوة: م'(س) = 4 * (1/4) * س^(4-1) = س3. 3. بما أن م'(س) = ق(س)، إذن م(س) هو اقتران أصلي لـ ق(س).
س: عرّف التكامل غير المحدود.
ج: عملية إيجاد الاقتران الأصلي للاقتران المعطى، ويرمز له بالرمز ∫ ق(س) دس.
س: عرّف ثابت التكامل (ج).
ج: مقدار ثابت يضاف إلى ناتج التكامل ليعبر عن عائلة الاقترانات الأصلية التي تختلف فيما بينها بمقدار ثابت.
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها تكامل دالة كسرية.
ج: 1. نبسط المقدار أولاً: ∫ (س2/س2 + 1/س2) دس = ∫ (1 + س^-2) دس 2. نطبق قاعدة التكامل: ∫ 1 دس + ∫ س^-2 دس 3. النتيجة: س + (س^-1 / -1) + ج = س - (1/س) + ج
س: عرّف ميل المماس.
ج: المشتقة الأولى للاقتران عند نقطة ما، والتي يمثل تكاملها الاقتران الأصلي.
س: عرّف الشروط الأولية.
ج: قيم معلومة للاقتران أو مشتقاته عند نقطة محددة، تُستخدم لإيجاد قيمة ثابت التكامل (ج).
س: عرّف التكامل بالتعويض.
ج: طريقة لتحويل تكامل معقد إلى تكامل أبسط باستخدام متغير وسيط (ع).
س: عرّف التكامل بالتجزئة.
ج: تقنية تعتمد على قاعدة مشتقة حاصل الضرب لعكس العملية وتكامل حاصل ضرب دالتين.
س: عرّف الكسور الجزئية.
ج: تحويل دالة كسرية معقدة إلى مجموع كسور أبسط يسهل تكاملها.
س: عرّف طول الفترة الجزئية (Δ س_ر).
ج: الفرق بين طرفي الفترة الجزئية: Δ س_ر = س_ر - سر-1.
س: عرّف مجموع ريمان.
ج: المقدار ر=1ن ق(س_ر^*) × Δ س_ر حيث س_ر^* [سر-1، س_ر].
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب مجموع ريمان.
ج: 1. نحدد الفترات الجزئية: [3، 4]، [4، 5]، [5، 6]. 2. نحسب أطوال الفترات: Δ س1 = 1، Δ س2 = 1، Δ س3 = 1. 3. نحسب قيم الاقتران عند النقاط المختارة (النهايات اليمنى): ق(4)=2، ق(5)=3، ق(6)=4. 4. المجموع = (2 × 1) + (3 × 1) + (4 × 1) = 9.
س: عرّف التكامل المحدود.
ج: هو القيمة التي تؤول إليها مجاميع ريمان للاقتران ق(س) على الفترة [أ، ب] عندما يؤول عدد التجزئات إلى ما لا نهاية.
س: عرّف تجزئة الفترة.
ج: تقسيم الفترة [أ، ب] إلى فترات جزئية متساوية الطول باستخدام نقاط تقسيم.
س: عرّف مجموع ريمان.
ج: طريقة لتقريب المساحة تحت المنحنى باستخدام مجموع مساحات مستطيلات صغيرة.
س: عرّف الاقتران الأصلي (الدالة المقابلة).
ج: اقتران م(س) بحيث يكون م'(س) = ق(س) لجميع قيم س في الفترة.
س: عرّف النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.
ج: إذا كان ق(س) متصلاً في [أ، ب] وكان م(س) اقتراناً أصلياً له، فإن أب ق(س) د س = م(ب) - م(أ).
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها حساب تكامل محدود.
ج: 1. نجد الدالة المقابلة: م(س) = س4 - س. 2. نعوض الحدود: [س4 - س]-23. 3. الحساب: (34 - 3) - ((-2)4 - (-2)) = (81 - 3) - (16 + 2) = 78 - 18 = 60.
س: عرّف التكامل المحدود.
ج: عملية حسابية تعطي قيمة عددية تمثل المساحة الموجهة تحت منحنى دالة ما ضمن فترة مغلقة [أ، ب].
س: عرّف فترة التكامل.
ج: المجال [أ، ب] الذي يتم فيه حساب التكامل، حيث أ هو الحد الأدنى وب هو الحد الأعلى.
س: عرّف المساحة المحصورة.
ج: القيمة المطلقة لتكامل الفرق بين دالتين على الفترة المعطاة.
س: عرّف طريقة الأقراص.
ج: تقنية لحساب حجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران منطقة متصلة بمحور الدوران.
س: عرّف طريقة الحلقات.
ج: تقنية لحساب حجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران منطقة محصورة بين منحنيين حول محور دوران.
س: عرّف العدد المركب.
ج: هو مقدار جبري على الشكل ع = س + ت ص حيث س، ص ح و ت = √(-1).
س: عرّف الوحدة التخيلية.
ج: هي العدد ت الذي يحقق ت2 = -1.
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها استخراج الأجزاء.
ج: 1. نوزع المقام: ع = (2)/(2) + √(7)2 ت = 1 + √(7)2 ت 2. الجزء الحقيقي هو 1 3. الجزء التخيلي هو √(7)2
س: عرّف العدد المركب.
ج: عدد يُكتب على الصورة س + ت ص حيث س جزء حقيقي و ص جزء تخيلي.
س: عرّف مرافق العدد المركب.
ج: للعدد ع = س + ت ص، مرافقه هو س - ت ص.
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها مثال على الضرب.
ج: 1. نوزع الأقواس: 3(2) + 3(-5ت) + ت(2) + ت(-5ت) 2. نبسط: 6 - 15ت + 2ت - 5ت2 3. نعوض ت2 = -1: 6 - 13ت - 5(-1) = 6 - 13ت + 5 4. الناتج النهائي: 11 - 13ت
س: عرّف مرافق العدد المركب (Conjugate).
ج: للعدد المركب ع = س + ت ص، مرافقه هو ع̅ = س - ت ص.
س: عرّف مقياس العدد المركب (Modulus).
ج: هو المقدار |ع| = √س² + ص².
س: اشرح الفكرة الأساسية التي يوضحها مثال: قسمة عددين مركبين.
ج: 1. نضرب البسط والمقام في مرافق المقام (3 - 4ت): [(2 - 3ت)(3 - 4ت)] / [(3 + 4ت)(3 - 4ت)] 2. البسط: 6 - 8ت - 9ت + 12ت² = 6 - 17ت - 12 = -6 - 17ت 3. المقام: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 4. الناتج النهائي: -6/25 - (17/25)ت
