القيم القصوى

نشاط: مهنة صيد السمك في قطاع غزة من أكثر المهن التي تُدرّ دخلاً، لكن وبسبب استمرار الحصار على قطاع غزة باتت شريحة الصيادين هي الأفقر، فمساحة الصيد المسموحة لهم فقيرة بالأسماك، كما يتعرض الصيادون لإطلاق نار مستمر من زوارق الاحتلال، لتضاف مهنة الصيد إلى عشرات المهن الأخرى التي تعاني البطالة في القطاع، يخاطر الصياد بحياته لتوفير قوته وقوت أسرته، ففي شهر نيسان يجمع الصيادون أكبر كمية ممكنة من سمك السردين، وتقل كمية هذا النوع من السمك في شهر أيلول، حيث تكون الكمية قليلة جداً، وتتفاوت الكمية في باقي أشهر السنة. أحاول مع زميلي رسم منحنى تقريبي يبين كميات السمك التي تجمع في أشهر السنة.

يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران $ص = ق(س)$ المعرف على ح ،

• نلاحظ أن قيمة الاقتران عند $س = س_{١}$ أكبر من قيمة الاقتران عند جميع قيم س المجاورة لـ $س_{١}$ ، لذلك يقال إن للاقتران $ق(س)$ قيمة عظمى محلية عند $س_{١}$ هي $ق(س_{١})$.
• كما نلاحظ أن قيمة الاقتران عند $س = س_{٢}$ أصغر من قيمة الاقتران عند جميع قيم س المجاورة لـ $س_{٢}$ ، أي أن للاقتران $ق(س)$ قيمة صغرى محلية عند $س_{٢}$ هي $ق(س_{٢})$.
• تسمى القيم العظمى والصغرى المحلية للاقتران قيماً قصوى له.

ملاحظة: سنقتصر في دراستنا للقيم القصوى على الاقترانات كثيرة الحدود المعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية ح فقط.

إذا كان $ص = ق(س)$ اقتراناً وكانت $س = جـ$ في مجال الاقتران، فإنه يقال أن $ق(جـ)$:

• أ. قيمة عظمى محلية للاقتران، إذا كانت $ق(جـ) ≥ ق(س)$ لجميع قيم س المجاورة لـ جـ.
• ب. قيمة صغرى محلية للاقتران، إذا كانت $ق(جـ) ≤ ق(س)$ لجميع قيم س المجاورة لـ جـ.

إن التمثيل البياني لأي اقتران على مجاله يساعد في تحديد نقط القيم القصوى المحلية للاقتران، ولكن: كيف تساعدنا المشتقة الأولى لهذا الاقتران في تعيين القيم القصوى المحلية له؟ أتأمل الأشكال الآتية، وألاحظ العلاقة بين إشارة $ق'(س)$ والقيم القصوى للاقتران.

في الشكل (أ): $ق(جـ)$ قيمة عظمى محلية للاقتران $ق(س)$ ، $ق'(جـ) = $ صفر ، إشارة $ق'(س)$ تغيرت من موجبة لقيم $س < جـ$ إلى سالبة لقيم $س > جـ$. في الشكل (ب): $ق(جـ)$ قيمة صغرى محلية للاقتران $ق(س)$ ، $ق'(جـ) = $ صفر ، إشارة $ق'(س)$ تغيرت من سالبة لقيم $س < جـ$ إلى موجبة لقيم $س > جـ$. في الشكل (ج): $ق'(جـ) = $ صفر ، إشارة $ق'(س)$ موجبة لقيم $س < جـ$ وموجبة لقيم $س > جـ$. $ق(جـ)$ ليست قيمة قصوى محلية للاقتران.

ماذا تستنتج؟

إذا كان $ق(س)$ اقتراناً قابلاً للاشتقاق ، وكانت $ق'(جـ) = $ صفراً ، حيث جـ $\in$ مجال $ق(س)$ ، فإن:

• أ. إذا تغيرت إشارة $ق'(س)$ من موجبة لقيم $س < جـ$ إلى سالبة لقيم $س > جـ$ فإن $ق(جـ)$ قيمة عظمى محلية للاقتران $ق(س)$.
• ب. إذا تغيرت إشارة $ق'(س)$ من سالبة لقيم $س < جـ$ إلى موجبة لقيم $س > جـ$ فإن $ق(جـ)$ قيمة صغرى محلية للاقتران $ق(س)$.

  يسمى هذا باختبار المشتقة الأولى للقيم القصوى.

مثال (١): أعيّن جميع القيم القصوى للاقتران $ق(س) = \frac{١}{٣}س^{٣} - ٣س^{٢} + ٨س + ٢$. الحل: $ق'(س) = س^{٢} - ٦س + ٨$ $ق'(س) = ٠$ $س^{٢} - ٦س + ٨ = ٠$

$(س - ٢)(س - ٤) = ٠$ $س = ٢ ، ٤$

إشارة $ق'(س)$ | +++++++ صفر ------- صفر ++++++ س | ٢ | ٤

إشارة $ق'(س)$ تغيرت من موجبة حيث $س < ٢$ إلى سالبة حيث $س > ٢$ ⟸ $ق(٢)$ قيمة عظمى محلية للاقتران $ق(س)$. إشارة $ق'(س)$ تغيرت من سالبة حيث $س < ٤$ إلى موجبة حيث $س > ٤$ ⟸ $ق(٤)$ قيمة صغرى محلية للاقتران $ق(س)$. القيمة العظمى المحلية $= ق(٢) = \frac{٢٦}{٣}$ القيمة الصغرى المحلية $= ق(٤) = \frac{٢٢}{٣}$

مثال (٢): أعيّن القيم القصوى للاقتران $ق(س) = س^{٢} - ٦س + ٩$. الحل: $ق'(س) = ٢س - ٦$ $ق'(س) = ٠$

$٢س - ٦ = ٠$ $س = ٣$

إشارة $ق'(س)$ | ------- صفر ++++++++ س | ٣

إشارة $ق'(س)$ تغيرت من سالبة حيث $س < ٣$ إلى موجبة حيث $س > ٣$ ⟸ $ق(٣)$ قيمة صغرى محلية للاقتران $ق(س)$. القيمة الصغرى المحلية $= ق(٣) = ٩ - ١٨ + ٩ = ٠$

مثال (٣): إذا كان $ق(س) = س^{٣} - ١٢س - ٥$ ، $س \in$ ح ، أجد قيم س التي عندها قيم قصوى للاقتران $ق(س)$. الحل: $ق'(س) = ٣س^{٢} - ١٢$ $ق'(س) = $ صفر

$٣س^{٢} - ١٢ = ٠$ $س^{٢} - ٤ = ٠$ $س = ٢$ أو $-٢$

إشارة $ق'(س)$ | +++++++ صفر ------- صفر ++++++ س | -٢ | ٢

ألاحظ أن إشارة $ق'(س)$ تغيرت من موجبة حيث $س < -٢$ إلى موجبة حيث $س > -٢$ ⟸ عند $(س = -٢)$ يوجد قيمة عظمى محلية للاقتران $ق(س)$. إشارة $ق'(س)$ تغيرت من سالبة حيث $س < ٢$ إلى موجبة حيث $س > ٢$ ⟸ عند $(س = ٢)$ يوجد قيمة صغرى محلية للاقتران $ق(س)$.

مثال (٤): أعيّن القيمة/القيم القصوى المحلية إن وجدت للاقتران $ق(س) = س^{٣}$ ، $س \in$ ح. الحل: $ق'(س) = ٣س^{٢}$ $ق'(س) = ٠$ $٣س^{٢} = ٠$ $س = ٠$

إشارة $ق'(س)$ | +++++++ صفر ++++++++ س | صفر

لم تتغير إشارة $ق'(س)$ حول $(س = ٠)$ ، ومنها لا توجد للاقتران $ق(س)$ قيمة قصوى محلية.

س١: أعيّن القيمة/القيم القصوى إن وجدت لكل من الاقترانات الآتية:

• أ. $ق(س) = ٤س - ٢س^{٢}$ ، $س \in$ ح
• ب. $ق(س) = س(س^{٢} - ١٢)$ ، $س \in$ ح
• ج. $ق(س) = س^{٣} - ٣س + ٢$ ، $س \in$ ح
• د. $ق(س) = -س^{٢} + ١٠س + ٥$ ، $س \in$ ح

س٢: أعيّن القيم القصوى المحلية للاقتران $ق(س) = س^{٢} - ٢س + ١$ ، $س \in$ ح

س٣: إذا كان للاقتران $ق(س) = -س^{٢} + ب س - ٣$ ، $س \in$ ح قيمة عظمى محلية عند $س = -٢$ فما قيمة ب؟

س٤: إذا كان $ق(س) = س^{٣} - ٥$ ، $س \in$ ح ، أبيّن أنه لا توجد للاقتران $ق(س)$ أي قيم قصوى.

س٥: الشكل الآتي يبين إشارة $ق'(س)$ ، أجد قيم س التي عندها قيم قصوى للاقتران $ق(س)$ وأبيّن نوعها ، علماً بأن $ق(س)$ كثير حدود معرّف على ح. إشارة $ق'(س)$ | +++++++ صفر ------- صفر ++++++ س | -٢ | ٢

س١: أختار رمز الإجابة الصحيحة لكل مما يأتي:

1. إذا كان متوسط تغير الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[-٤ ، ٢]$ يساوي ٣ ، $ق(-٤) = ٢$ ما قيمة $ق(٢)$؟

• أ. ٢٠
• ب. ٢٦
• ج. ١٦
• د. ١٨

2. ما ميل المستقيم القاطع لمنحنى الاقتران $ق(س)$ المارّ في النقطتين أ $(١ ، ٣)$ ، ب $(٣ ، ٩)$؟

• أ. -٣
• ب. ٣
• ج. ٢
• د. ٦

3. إذا كان $ق(س) = \sqrt{س}$ ، ما قيمة $ق'(٤)$؟

• أ. $\frac{١}{٢}$
• ب. $-\frac{١}{٢}$
• ج. $\frac{١}{٤}$
• د. ٢

4. ما ميل المماس لمنحنى الاقتران $ق(س) = \frac{٥}{س^{٢} - ١}$ عند $س = ٢$ ؟

• أ. $\frac{٤}{٩}$
• ب. $-\frac{٢٠}{٩}$
• ج. ١٥
• د. $\frac{٥}{٣}$

5. إذا كانت $ص = (س - ١)^{٥}$ ما قيمة $\frac{دص}{دس}$ عندما $س = -١$ ؟

• أ. ٥
• ب. ٢٥
• ج. صفر
• د. ٨٠

6. إذا كان $ق(س) = س^{٢}$ ، $هـ(س) = س - ٢$ ما قيمة $(ق ∘ هـ)'(١)$ ؟

• أ. -٢
• ب. ٢
• ج. صفر
• د. ٤

7. إذا كان $ق(س) = ٦س^{٢} - \frac{١}{٣}س^{٦} + ١٠$ ، ما قيمة $ق'(١)$ ؟

• أ. ٦
• ب. ١٦
• ج. ٢٠
• د. ١٠

8. إذا كان $ق(س) = س^{٢}$ ، $هـ(س) = س + ١$ فما قيمة $(هـ ∘ ق)'(٢)$ ؟

• أ. ٣
• ب. ١
• ج. ٤
• د. ٢

9. إذا كانت $ص = (١ - ٢س)^{٢}$ ما قيمة $\frac{د^{٢}ص}{دس^{٢}}$ عندما $س = ٣$ ؟

• أ. -٢٠
• ب. ٨
• ج. -٨
• د. ٢٠

10. إذا كان $ق(س) = هـ(٣س^{٢} + ١)$ فما قيمة $ق'(س)$ ؟

• أ. $٣س^{٢} هـ'(٣س^{٢} + ١)$
• ب. $٣ هـ'(٣س^{٢} + ١)$
• ج. $٦س هـ'(٣س^{٢} + ١)$
• د. $٣س هـ'(٣س^{٢} + ١)$

س٢: إذا كان متوسط تغير الاقتران $ق(س)$ عندما تتغير س من $س_{١} = ٢$ إلى $س_{٢} = ٥$ هو ١٠ ، أجد $ق(٥)$ علماً بأن $ق(٢) = ٦$ ؟

س٣: إذا كان متوسط التغير للاقتران $ق(س) = س^{٢} + ٣$ عندما تتغير س من ٢ إلى أ يساوي ٦ فما قيمة الثابت أ ؟

س٤: إذا كان $ق(س) = س^{٢} + ١$ ، أجد $ق'(٣)$ باستخدام تعريف المشتقة عند نقطة.

س٥: إذا كان $ق(س) = (س^{٢} + ٢)(٣س + ٤)$ أجد $\lim_{هـ \to ٠} \frac{ق(٢ + هـ) - ق(٢)}{هـ}$

س٦: إذا كان $م(س) = س^{٢} × ق(س)$ أجد $م'(٣)$ علماً بأن $ق'(٣) = ٥$ ، $ق(٣) = -٢$

س٧: أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى $ق(س) = س^{٣} + ٥س^{٢} - ٣$ عند النقطة التي إحداثيها السيني = ١

س٨: أجد قيمة الثابت أ التي تجعل ميل المماس لمنحنى الاقتران $ص = أس^{٢} + ٣س + ١$ مساوياً ٤ عندما $س = ١$

س٩: أجد القيم القصوى للاقتران $ق(س) = س^{٣} + ٣س^{٢} + ٧$

س١٠: أقيّم ذاتي: أكمل الجدول الآتي:

أقارن بين عدد الذكور وعدد الإناث في فلسطين. يتوقع من الطلبة بعد الإنتهاء من دراسة هذه الوحدة والتفاعل مع أنشطتها أن يكونوا قادرين على توظيف التوزيع الطبيعي المعياري في الحياة العملية من خلال الآتي:

• التعرف إلى العلاقة بين العلامة المعيارية والعلامة الخام.
• حساب العلامة المعيارية، وتفسيرها.
• التعرف إلى التوزيع الطبيعي المعياري، وخواصه.
• استخدام جدول التوزيع الطبيعي في إيجاد المساحة تحت المنحنى.
• توظيف خواص التوزيع الطبيعي في حل مسائل عملية.