التوزيع الطبيعي المعياري

تكمن وظيفة الهيموجلوبين في الدم، بأنّه يقوم بحمل الأكسجين والغذاء إلى الخلايا الحيويّة كافّة في جميع مناطق الجسم، ويجب أن تكون نسبة الهيموجلوبين في مستويات محدّدة تختلف حسب عمر الإنسان وجنسه، حتى تتمكّن أعضاء الجسم من القيام بوظائفها بكفاءة عالية. والمستوى الطبيعي للهيموجلوبين يجب أن يكون كالآتي: عند الذكور البالغين: من ١٣٫٥ - ١٧٫٥ جرام/ ديسيلتر، عند الإناث: من ١١ - ١٤ جرام/ ديسيلتر، وعند الأطفال: من ١١ - ١٦ جرام/ ديسيلتر، وعند الأم الحامل: من ١١ - ١٤ جرام/ ديسيلتر. إذا كانت نسبة الهيموجلوبين عند سيدة عمرها ٤٥ سنة هي ٨٫٨، فإن هذه النسبة تكون أقل من المعدل الطبيعي. إذا كانت نسبة الهيموجلوبين عند رجل مدخن هي ١٢٫٥، فإن هذه النسبة تكون ................. إذا كانت نسبة الهيموجلوبين عند طفل هي ١٣، فإن هذه النسبة تكون ..............................

مثّل المعلم حمدان علامات طلاب مدرسته في مادة الرياضيات بيانياً، كما هو في الشكل المجاور. ألاحظ أن هناك تجمعاً لعلامات الطلاب في المنتصف، كما أن شكل التمثيل البياني لتوزيع العلامات يشبه الجرس تقريباً. إن مثل هذا التوزيع يسمى توزيعاً طبيعياً.

الوسيط للعلامات يقع في الفئة .................. المنوال للعلامات هو مركز الفئة .................

إذا كان الوسط = الوسيط = المنوال يكون التوزيع طبيعياً.

يوجد العديد من التوزيعات الاحتمالية، ومنها التوزيع الطبيعي، ويعتبر التوزيع الطبيعي من أهم التوزيعات الاحتمالية في علم الإحصاء، لأنه يمثل كثيراً من الظواهر التي تقابلنا في الحياة العملية، مثل: الأطوال، والكتل، والأعمار، ودرجات الحرارة، والدخول الشهرية، وغيرها من الظواهر المتصلة.

خصائص التوزيع الطبيعي:

1. التمثيل البياني له منحنى يشبه الجرس، ومتماثل حول المستقيم الرأسي المار بالوسط.
2. يتساوى فيه الوسط والوسيط والمنوال.
3. المنحنى متصل.
4. يقترب المنحنى من المحور س، ولكنه لا يمسه.

التوزيع الطبيعي المعياري: هو التوزيع للعلامات المعيارية، وسطه الحسابي يساوي صفراً، وانحرافه المعياري يساوي (١). وسنركز في دراستنا هذه على التوزيع الطبيعي المعياري.

المساحة الكلية تحت المنحنى الطبيعي المعياري تساوي وحدة مساحة واحدة، وقد وضع العلماء جداول خاصة تبين نسبة المساحة تحت المنحنى والمحدودة بقيمة معينة من العلامات المعيارية. سنعتمد الجداول الملحقة في نهاية الكتاب والتي تعطي المساحة المحصورة تحت ع حيث ع عدد حقيقي.

مثال (١): باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، أجد كلاً من:

• أ. المساحة تحت $(ع = ١٫١٧)$
• ب. المساحة فوق $(ع = ١٫٢)$
• ج. المساحة تحت $(ع = -١)$
• د. المساحة فوق $(ع = -٠٫٥)$

الحل: أ) المساحة تحت $(ع = ١٫١٧) = ٠٫٨٧٩٠$ ويتم إيجادها من جدول التوزيع الطبيعي المعياري وتحدد من تقاطع الصف ١٫١ ومن العمود ٠٫٠٧، حيث أن تقاطع العمود مع الصف يمثل قيمة المساحة. ألاحظ الشكل:

• ب. المساحة فوق $(ع = ١٫٢) = ١ - $ المساحة تحت $(ع = ١٫٢) = ١ - ٠٫٨٨٤٩ = ٠٫١١٥١$ ألاحظ الشكل:

• ج. المساحة تحت $(ع = -١) = ٠٫١٥٨٧$ مباشرة من الجدول، ألاحظ الشكل:

• د. المساحة فوق $(ع = -٠٫٥) = ١ - $ (المساحة تحت $ع = -٠٫٥)$

  $= ١ - ٠٫٣٠٨٥ = ٠٫٦٩١٥$ ألاحظ الشكل:

$= $ المساحة تحت $(ع = ٠٫١٥) - $ المساحة تحت $(ع = -٠٫٨)$

مثال (٢): أجد قيمة ع في كل مما يأتي: أ) المساحة تحتها تساوي ٠٫٩٨٥٠

الحل: أ) المساحة تحت ع تساوي ٠٫٩٨٥٠ ، أبحث في الجدول عن المساحة ٠٫٩٨٥٠ ، أجد أنها تقع عند تقاطع صف ع = ٢٫١ وعمود ٠٫٠٧ ، ومنها ع = ٢٫١٧ ، ألاحظ الشكل الآتي:

ب) المساحة فوق ع تساوي ٠٫٦٦٢٨ = ١ - المساحة تحت ع

من الجدول ع = -٠٫٤٢ ، ألاحظ الشكل المجاور:

مثال (٣): الوسط الحسابي لأعمار المصابيح الكهربائية التي ينتجها أحد المصانع هو ١٢٠٠ ساعة بانحراف معياري مقداره ٣٠٠ ساعة، فإذا كانت هذه الأعمار تتبع التوزيع الطبيعي واختير أحد المصابيح عشوائياً، فما النسبة المئوية لأن يبقى المصباح الكهربائي صالحاً مدة تزيد على ١٨٠٠ ساعة. الحل: نسبة أن يبقى المصباح صالحاً لمدة تزيد على ١٨٠٠ ساعة = المساحة فوق $(ع|_{س=١٨٠٠})$ $ع = \frac{س - μ}{σ}$ $ع|_{س=١٨٠٠} = \frac{١٨٠٠ - ١٢٠٠}{٣٠٠} = ٢$ المساحة = المساحة فوق $(ع = ٢)$ $= ١ - $ المساحة تحت $(ع = ٢)$ $= ١ - ٠٫٩٧٧٢ = ٠٫٠٢٢٨$ النسبة المطلوبة = $٠٫٠٢٢٨ × ١٠٠٪ = ٢٫٢٨٪$

مثال (٤): الوسط الحسابي لكتل ١٠٠٠ شخص يساوي ٦٥ كغم، والانحراف المعياري للكتل ١٠ كغم، فإذا كانت الكتل تتبع التوزيع الطبيعي، فما نسبة الأشخاص الذين تقع كتلهم بين ٦٥ كغم و ٩٥ كغم؟ وما عددهم؟ الحل: نسبة الأشخاص الذين كتلهم بين ٦٥ كغم، ٩٥ كغم = المساحة المظللة في الشكل المقابل.

$ع = \frac{س - μ}{σ}$ $ع|_{س=٩٥} = \frac{٩٥ - ٦٥}{١٠} = ٣$ نسبة الأشخاص = المساحة بين $(ع = $ صفر ، و $ع = ٣)$ لماذا؟ = المساحة تحت $(ع = ٣) - ٠٫٥$ لماذا؟

أي أن النسبة المئوية للأشخاص الذين تنحصر كتلهم بين ٦٥ كغم و ٩٥ كغم $= ٤٩٫٨٧٪$ عدد هؤلاء الأشخاص $= ١٠٠٠ × ٠٫٤٩٨٧ ≈ ٤٩٩$ شخصاً.

س١: أجد المساحة تحت المنحنى الطبيعي المعياري في كل من الحالات الآتية:

• أ. تحت $(ع = ١٫٣٨)$
• ب. فوق $(ع = ٠٫٩٠)$

س٢: أجد العلامة المعيارية (ع) في كل من الحالات الآتية:

• أ. المساحة تحت ع هي ٠٫٨٥٥٤
• ب. المساحة فوق ع هي ٠٫٧٧٣٤

س٣: مدرسة ثانوية فيها ٥٠٠ طالب، أطوالهم تتبع التوزيع الطبيعي بوسط حسابي يساوي ١٦٥سم، وبانحراف معياري ١٠سم، ما نسبة الطلبة الذين تنحصر أطوالهم بين ١٥٠سم، ١٨٠سم ؟ وما عددهم ؟

س٤: إذا كان الزمن الذي يستغرقه بائع جرائد للوصول إلى أحد البيوت يتخذ توزيعاً طبيعياً، بوسط حسابي ١٢ دقيقة وبإنحراف معياري دقيقتان، وكان هذا الموزّع ينقل الجرائد يوميّاً على مدار ٣٦٥ يوماً، ما عدد الأيام التي يستغرق فيها الموزّع زمناً:

• أ. يزيد على ١٧ دقيقة؟
• ب. ينحصر بين ٩ - ١٣ دقيقة؟

س٥: إذا كانت علامات ٦٠٠ طالب تتخذ توزيعاً طبيعياً بوسط حسابي ٧٢ وبانحراف معياري ٨ وكانت علامة النجاح هي ٦٠ ، أجد:

• أ. النسبة المئوية للطلبة الذين تقع علاماتهم بين ٦٢ ، ٧٨
• ب. عدد الطلبه الراسبين.

س٦: تتبع رواتب ١٠٠٠ موظف في إحدى الشركات توزيعاً طبيعياً بوسط حسابي ٧٠٠ دينار، وبانحراف معياري ٢٠ ديناراً. أحسب عدد الموظفين الذين تنحصر رواتبهم بين ٦٨٠ ديناراً و ٧٤٠ ديناراً.

س١: أضع دائرة حول رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي:

1. ما قيمة الوسط الحسابي (μ) والانحراف المعياري (σ) لمنحنى التوزيع الطبيعي المعياري:

• أ. $μ = ١$ ، $σ = ١$
• ب. $μ = ٠$ ، $σ = ٠$
• ج. $μ = ٠$ ، $σ = ١$
• د. $μ = ١$ ، $σ = ٠$

2. ما العلامة المعيارية المناظرة للعلامة ٧٧ علماً بأن الوسط الحسابي ٧٠ والانحراف المعياري ١٤ ؟

• أ. -٢
• ب. -٠٫٥
• ج. ٠٫٥
• د. ٢

3. إذا كان الوسط الحسابي لمجموعة من المفردات ٧٥ والانحراف المعياري ١٥ فما العلامة الخام المناظرة للعلامة المعيارية $ع = ٢$ ؟

• أ. ١٠٣
• ب. ١٠٨
• ج. ١٠٤
• د. ١٠٥

4. إذا كان تقييم أداء موظفي بنك أ يتبع التوزيع الطبيعي بوسط حسابي ٣٫٨ وبانحراف معياري ٠٫٤ وتقييم موظفي بنك ب يتبع التوزيع الطبيعي بوسط حسابي ٣٫٦ وبانحراف معياري ٠٫٢ ، إذا كان وسيم موظفاً في بنك أ وتقييمه ٤٫٣ وفراس موظفاً في بنك ب تقييمه ٣٫٧ ما العبارة الصحيحة في كل مما يلي:

• أ. أداء فراس أفضل من أداء وسيم. ج) كلا الموظفين لهما نفس الأداء.
• ب. أداء وسيم أفضل من أداء فراس. د) لا يمكن الحكم على أدائهما.

5. ما المساحة تحت $(ع = ٢٫٨٥)$؟

• أ. ٠٫٩٩٧٨
• ب. ٠٫٠٠٢٢
• ج. ٠٫٠٣٢٢
• د. ٠٫٩٧٨٨

6. ما مساحة المنطقة بين $(٠٫٩٦ < ع < ١٫٦٥)$:

• أ. ٠٫٠٩٩١
• ب. ٠٫١١٩٠
• ج. ١٫٨١٢
• د. ١٫٧٨٢

7. ما مجموع العلامات المعيارية لتوزيع طبيعي معياري؟

• أ. ١
• ب. ٠
• ج. -١
• د. ٠٫٥٠٠٠

8. إذا كانت العلامة الخام أقل من الوسط الحسابي في توزيع ما ، فإن العلامة المعيارية المناظرة (ع) تكون:

• أ. سالبة
• ب. موجبة
• ج. صفر
• د. موجبة أو سالبة

9. إذا كانت العلامات المعيارية لخمسة طلاب كما يلي ١ ، $\frac{١}{٢}$ ، $\frac{-٣}{٢}$ ، أ ، $\frac{-١}{٢}$ فما قيمة الثابت أ ؟

• أ. ١
• ب. -١
• ج. $\frac{-١}{٢}$
• د. $\frac{١}{٢}$

10. ما المساحة الواقعة (فوق $ع = ٠٫٧٥$)؟

• أ. ٠٫٢٢٦٦
• ب. ٠٫٢٧٣٤
• ج. ٠٫٧٥١٢
• د. ٠٫٥٧٢١

س٢: إذا كانت العلامتان المعياريتان المناظرتان للعلامتين ٧١ ، ٥٣ هما ٠٫٥ ، -١ على الترتيب، أجد الوسط الحسابي والانحراف المعياري للعلامات الخام لطلبة الصف.

س٣: خط إنتاج في مصنع ينتج أكياساً من الأرز بوسط حسابي يساوي ١٫٠١ كغم، وبانحراف معياري يساوي ٠٫٠٢ كغم. أجد:

• أ. نسبة الأكياس التي كتلتها أقل من ١٫٠٣ كغم.
• ب. نسبة الأكياس التي تتراوح كتلها بين ١ كغم و ١٫٠٥ كغم.

س٤: إذا ارتبط عمر بطارية السيارة بالمسافة التي تقطعها السيارة باستعمال هذه البطارية، وعلم أن عمر أحد أنواع بطاريات السيارات يتوزع طبيعياً بوسط حسابي ١٠٠٠٠٠كم، وبانحراف معياري ١٠٠٠٠كم. وأنتجت إحدى الشركات ٢٠٠٠٠ بطارية من هذا النوع في الشهر. أجد:

• أ. عدد البطاريات التي يتراوح عمرها بين ٩٠٠٠٠ كم، ١١٠٠٠٠ كم.
• ب. عدد البطاريات التي يزيد عمرها على ١٢٠٠٠٠ كم.
• ج. النسبة المئوية للبطاريات التي تتراوح أعمارها بين ٨٠٠٠٠ كم، ١١٠٠٠٠ كم.

س٥: نادي رياضي مكون من ٤٠٠ عضو تتبع أعمارهم التوزيع الطبيعي بوسط حسابي ٤٠ سنة وبانحراف معياري ٥ أجد:

• أ. عدد الأعضاء الذين تزيد أعمارهم على ٥٠ سنة.
• ب. عدد الأعضاء الذين تتراوح أعمارهم بين ٣٥ سنة إلى ٤٥ سنة.

س٦: أقيّم ذاتي: أكمل الجدول الآتي: مستوى الانجاز

أفكر وأناقش: كيف أجد مساحة المناطق المحصورة بين بعض الأقواس والمحور الأفقي في الصورة؟ يتوقع من الطلبة بعد الإنتهاء من دراسة هذه الوحدة والتفاعل مع أنشطتها أن يكونوا قادرين على توظيف قواعد التكامل غير المحدود في الحياة العمليّة من خلال الآتي:

• التعرف إلى مفهوم التكامل غير المحدود.
• إيجاد التكامل غير المحدود.
• التعرف إلى قواعد التكامل غير المحدود وتوظيفها في إيجاده.
• التعرف إلى التكامل المحدود، وحسابه.
• التعرف إلى خواص التكامل المحدود وتوظيفها في حسابه.
• استخدام طريقة التعويض في إيجاد بعض التكاملات.
• توظيف التكامل غير المحدود في تطبيقات هندسية.
• توظيف التكامل المحدود في إيجاد بعض المساحات.