التكامل بالتعويض

ذهبت إيمان إلى السوق واشترت ٣ كغم من التفاح، و٢ كغم من البندورة، و٢ كغم من الموز، و٣ كغم من الخيار، وكيلوغرام واحد من الفجل، ووضعتها في أكياس، ولما همّت بحمل هذه الأغراض، وجدت صعوبة في حملها؛ لذلك اقترح عليها صاحب المحل أن تضع جميع الأكياس في كيس واحد كبير؛ لتسهيل حملها والتنقل بها.

بعض الاقترانات لا يمكن تكاملها باستخدام القواعد التي درستها، وهذه الاقترانات يمكن تكاملها بطرق متعددة ومتنوعة، وسنتعرف في دراستنا لهذه الوحدة إلى طريقة التكامل بالتعويض على أنواع معينة من الاقترانات.

نشاط ٢: أجد $\int (س - ٣)^{٢} دس$

$\int (س - ٣)^{٢} دس = \int ( \ldots ) دس$ لماذا؟

وبالطريقة نفسها أجد $\int (٤س - ٩)^{٣} دس$

لكن هل يمكن أن أجد $\int (٤س - ٩)^{١٠} دس$ بسهولة بالطريقة نفسها؟

يمكن إيجاد $\int (س - ٣)^{٢} دس$ بطريقة أخرى، تسمى طريقة التكامل بالتعويض.

الحل: أفرض أن $ص = (س - ٣)$ ، $\frac{دص}{دس} = ١$ ، $دس = دص$ بالتعويض في التكامل:

مثال (١): أجد $\int (٣س + ١)^{٩} دس$

الحل: أفرض أن $ص = ٣س + ١$ ، $\frac{دص}{دس} = ٣$ ، $دس = \frac{دص}{٣}$

مثال (٢): أجد $\int_{٠}^{١} س(٣س^{٢} - ١)^{٣} دس$

الحل: نفرض أن $ص = (٣س^{٢} - ١)$ ، $\frac{دص}{دس} = ٦س$ ومنها $دس = \frac{دص}{٦س}$

مثال (٣): أجد $\int (٢س + ١)(س^{٢} + س - ٥)^{٣} دس$

الحل: أفرض أن $ص = (س^{٢} + س - ٥)$ ، $\frac{دص}{دس} = (٢س + ١)$

أجد التكاملات الآتية: س١: $\int (٢ - ٣س)^{٣} دس$ س٢: $\int \frac{٣}{(س - ١)^{٥}} دس$ س٣: $\int (أس + ب)^{٤} دس$ ، أ ، ب ثوابت س٤: $\int س^{٢}(س^{٣} + ١)^{٤} دس$ س٥: $\int_{١}^{٢} (٢س - ٣)^{٢} دس$ س٦: $\int_{٠}^{١} (٢س - ٥)(س^{٢} - ٥س + ٧)^{-٢} دس$ س٧: $\int \sqrt{٣س - ١} \, دس$ س٨: $\int (س + ٢) \sqrt[٣]{س^{٢} + ٤س} \, دس$