العلامة المعيارية

إذا كانت علامتا الطالبة رنيم في مبحثي الرياضيات والفيزياء هي ٩٣ ، ٨٨ على الترتيب، فهل يعني ذلك أن تحصيل الطالبة رنيم أفضل في الرياضيات ؟ ........................ لماذا ؟ ........................

للحكم على أفضلية التحصيل، لا يكفي أن نعتمد على العلامة فقط، وإنما نحتاج إلى معرفة الوسط الحسابي، والانحراف المعياري لعلامات جميع طلبة الصف.

الوسط الحسابي (μ): هو مجموع القيم (المشاهدات) مقسوماً على عددها. $μ = \frac{\sum_{ر=١}^{ن} س_{ر}}{ن}$

الانحراف المعياري (σ): هو الجذر التربيعي لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي. $σ = \sqrt{\frac{\sum_{ر=١}^{ن} (س_{ر} - μ)^{٢}}{ن}}$

إذا كانت درجات الحرارة في مدينة صفد في خمسة أيام من شهر نيسان، هي: ٢٠ ، ١٦ ، ١٤ ، ١٢ ، ٨ أجد الوسط الحسابي، والانحراف المعياري لدرجات الحرارة.

الوسط الحسابي $μ = \frac{\sum_{ر=١}^{ن} س_{ر}}{ن} =$ ...................................

الانحراف المعياري $σ = \sqrt{\frac{\sum_{ر=١}^{ن} (س_{ر} - μ)^{٢}}{ن}} =$ .......................... $=$ ..........................

تبعد درجة الحرارة ١٦ عن الوسط الحسابي بمقدار ..........................

القيمة الخام: هي القيمة الأصلية التي نحصل عليها في اختبار أو مقياس ما، ويرمز لها بالرمز "س". العلامة المعيارية: هي عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها القيمة (العلامة) الخام عن الوسط الحسابي، وبالرموز فإن: $ع = \frac{س - μ}{σ}$

معتمداً على المعلومات الواردة في الجدول الآتي الذي يبين علامات ثلاثة طلاب في الرياضيات والمحاسبة. أجيب عن كل مما يأتي: تحصيل بلال أفضل في .......................................... أجد العلامة المعيارية للطالب بلال في الرياضيات والمحاسبة

العلامة المعيارية للرياضيات $ع_{١} = \frac{س - μ}{σ} = \frac{٨٢ - ٦٤}{١٠} = ١٫٨$ العلامة المعيارية للمحاسبة $ع_{٢} = \frac{س - μ}{σ} = \frac{٨٠ - ٧٠}{٥} = ٢$

تحصيل بلال أفضل في المحاسبة؛ لأن علامته المعيارية في المحاسبة أكبر من العلامة المعيارية في الرياضيات. تحصيل يامن أفضل في ................... تحصيل كنان أفضل في ...................

مثال (١): مزارع فلسطيني يزرع البندورة في سهل مرج ابن عامر، كان الوسط الحسابي لكتلة (٣٠٠) صندوق بندورة ١٧ كغم، وانحرافها المعياري (٢) كغم، اختيرت ٣ صناديق، وكانت كتلتها ١٣ كغم، ١٩ كغم، ١٧ كغم على الترتيب. أجد العلامة المعيارية لكتل كل من الصناديق الثلاثة. الحل: $ع = \frac{س - μ}{σ}$ ، حيث ع هي العلامة المعيارية، س الكتلة الخام، μ الوسط الحسابي للكتل، σ الانحراف المعياري لها.

• العلامة المعيارية للصندوق الأول $ع_{١} = \frac{١٣ - ١٧}{٢} = -٢$
• العلامة المعيارية للصندوق الثاني $ع_{٢} = \frac{١٩ - ١٧}{٢} = ١$
• العلامة المعيارية للصندوق الثالث $ع_{٣} = \frac{١٧ - ١٧}{٢} =$ صفر

مثال (٢): حصلت عهد على علامة ما في الرياضيات، وكانت العلامة المعيارية المقابلة لها (١٫٥) علماً بأن الوسط الحسابي لعلامة طالبات صفها كان (٨٥) والانحراف المعياري (٦)، أجد علامة عهد في اختبار الرياضيات. الحل: $ع = \frac{س - μ}{σ}$ $١٫٥ = \frac{س - ٨٥}{٦}$ ، $٩ = س - ٨٥$ ومنها $س = ٩٤$

مثال (٣): إذا كانت أعمار (٥) أشخاص كالآتي: ٢٠ ، ٨ ، ١٢ ، ١٤ ، ١٦ ، أجد:

1. العلامة المعيارية المناظرة لأعمار هؤلاء الأشخاص.
2. الوسط الحسابي للعلامات المعيارية.
3. الانحراف المعياري للعلامة المعيارية.

   الحل: $μ = \frac{\sum_{ر=١}^{ن} س_{ر}}{ن} = \frac{٢٠ + ١٦ + ١٤ + ١٢ + ٨}{٥} = \frac{٧٠}{٥} = ١٤$

2. الوسط الحسابي للعلامات المعيارية:

   $\bar{ع} = \frac{١٫٥ + ٠٫٥ + ٠ + -٠٫٥ + -١٫٥}{٥} =$ صفر

3. الانحراف المعياري للعلامات المعيارية:

$σ_{ع} = \sqrt{\frac{\sum_{ر=١}^{ن} (ع_{ر} - \bar{ع})^{٢}}{ن}} = \sqrt{\frac{(١٫٥ - ٠)^{٢} + (٠٫٥ - ٠)^{٢} + (٠ - ٠)^{٢} + (-٠٫٥ - ٠)^{٢} + (-١٫٥ - ٠)^{٢}}{٥}}$ $σ_{ع} = \sqrt{\frac{٥}{٥}} = ١$

نتيجة: إذا كانت $س_{١}$ ، $س_{٢}$ ، .......... ، $س_{ن}$ مجموعة من القيم الأصلية، وكانت العلامات المعيارية المقابلة لها هي $ع_{١}$ ، $ع_{٢}$ ، .......... ، $ع_{ن}$ فإن الوسط الحسابي $\bar{ع}$ لمجموعة هذه العلامات يساوي صفراً، والانحراف المعياري لها $σ_{ع} = ١$ .

مثال (٤): إذا كانت العلامات المعيارية المناظرة لأطوال ٥ أشجار صنوبر كالآتي:

الحل: $ل + ٠٫٥ + ٠ + -٠٫٥ + -١٫٥ =$ صفر $ل + -١٫٥ =$ صفر

مثال (٥): إذا كانت علامتا طالبين في امتحان المحاسبة ٧٠ ، ٨٨ وكانت علامتاهما المعياريتان المناظرتان -٠٫٨ ، ١ على الترتيب، ما الوسط الحسابي والانحراف المعياري لعلامات طلبة الصف في الامتحان؟ $ع = \frac{س - μ}{σ}$ $-٠٫٨ = \frac{٧٠ - μ}{σ}$ وبالضرب التبادلي: $-٠٫٨σ = ٧٠ - μ$ .......... (١) $١ = \frac{٨٨ - μ}{σ}$ وبالضرب التبادلي: $σ = ٨٨ - μ$ .......... (٢)

أحل المعادلتين (١) ، (٢) بالحذف $σ = ٨٨ - μ$ $-٠٫٨σ = ٧٠ - μ$

بالطرح $١٫٨σ = ١٨$ ومنها $σ = ١٠$ وبالتعويض في إحدى المعادلتين ينتج أن $١٠ = ٨٨ - μ$ ومنها $μ = ٧٨$ أي أن الوسط الحسابي = ٧٨ والانحراف المعياري = ١٠

س١: في مزرعة خراف، إذا كانت كتل (٥) خراف كالآتي ٤٠ كغم، ٥٠ كغم، ٦٠ كغم، ٧٠ كغم، ٥٥ كغم. أجد العلامات المعيارية للكتل؟

س٢: إذا علمت أن علامة علي في امتحان اللغة العربية ٧٢، وفي المحاسبة ٦٩، وفي الرياضيات ٧٥، والوسط الحسابي لعلامات طلبة الصف في المواد الثلاث بالترتيب هو ٦٩، ٦٨، ٧٩، والانحراف المعياري ١، ٤، ٢، في أي المواد كان تحصيل علي أفضل؟

س٣: إذا كان الوسط الحسابي لأطوال أشجار الصنوبر في محيط برك سليمان في بيت لحم ١٧ متراً والانحراف المعياري لمجموعة الأطوال يساوي ٣م، أجد الأطوال الحقيقية للأشجار التي العلامات المعيارية لأطوالها هي:

س٤: إذا حولت القيم الخام لمجتمع إحصائي إلى علامات معيارية وكانت كالآتي ٠٫٥ ، ٠٫٥ ، ك ، -١٫٥ ، ٠ ، -٠٫٥ ، أجد قيمة ك ؟ أتحقق أن الانحراف المعياري للعلامات المعيارية يساوي ١.

س٥: إذا كانت العلامتان ٤٤ ، ٨٤ تقابلهما العلامتان المعياريتان -٢ ، ٣ على الترتيب. أجد الوسط الحسابي والانحراف المعياري لتوزيع العلامات الأصلية؟

س٦: إذا كانت العلامات المعيارية المقابلة للعلامتين ٨٥ ، ٧٠ هي ١ ، -٢ على الترتيب. أحسب العلامة المعيارية للعلامة الخام ٧٥.