دارات التيار الكهربائي المتردد

تعمل معظم الأجهزة المنزلية بتيار كهربائي متردد نحصل عليه من المقابس الجدارية. مصدر هذا التيار في المحطات هو مولد كهربائي: ملف فلزي معزول يدور داخل مجال مغناطيسي، فتتغير الزاوية بين متجه مساحة الملف واتجاه المجال، ويتغير التدفق المغناطيسي خلال الملف.

حسب قانون فارادي، تغير التدفق يولد قوة دافعة كهربائية حثية. لذلك يتذبذب مؤشر الفولتميتر يمينا ويسارا حول الصفر، أي إن القوة الدافعة وفرق الجهد يغيران المقدار والاتجاه باستمرار.

فرق الجهد المتردد: فرق جهد يتغير بالنسبة إلى الزمن وفق علاقة جيبية:

$$\Delta v=V_{max}\sin\omega t$$

حيث $$V_{max}$$ القيمة العظمى و$$\omega$$ التردد الزاوي.

العلاقة بين التردد الزاوي والتردد والزمن الدوري هي:

$$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$$

وخلال دورة كاملة يكون فرق الجهد موجبا في نصف الدورة وسالبا في النصف الآخر، كما يظهر في منحنى الجهد مع الزمن.

التيار المتردد $$AC$$ يسري في دارة مغلقة ويتغير مقداره واتجاهه مع الزمن. أما التيار المستمر $$DC$$ الذي تزودنا به البطاريات فيبقى ثابتا في المقدار والاتجاه. في الأردن تزود شركات الكهرباء المنازل بفرق جهد متردد تردده $$50\,Hz$$ وقيمته العظمى نحو $$325\,V$$.

من المعادلة إلى القيم اللحظية: إذا أعطاك السؤال $$V{max}$$ و$$f$$، فابدأ بحساب $$\omega=2\pi f$$، ثم اكتب $$\Delta v=V{max}\sin\omega t$$ قبل التعويض في الأزمنة المطلوبة.

عندما تتصل مقاومة فقط بمصدر فرق جهد متردد، يكون فرق الجهد بين طرفي المقاومة مساويا لفرق جهد المصدر في كل لحظة:

$$\Delta vR=\Delta v=V{max}\sin\omega t$$

وباستخدام قانون أوم اللحظي ينتج التيار:

$$iR=\frac{\Delta vR}{R}=\frac{V{max}}{R}\sin\omega t=I{max}\sin\omega t$$

حيث:

$$I{max}=\frac{V{max}}{R}$$

القيمة الفعالة: القيمة الفعالة هي قيمة ثابتة تكافئ التيار المستمر الذي ينتج القدرة الحرارية نفسها في المقاومة:

$$I{rms}=\frac{I{max}}{\sqrt2}$$

وبالمثل:

$$V{rms}=\frac{V{max}}{\sqrt2}$$

لذلك تحسب القدرة المتوسطة المستهلكة في المقاومة بالعلاقة:

$$P=I_{rms}^{2}R$$

وتقرأ أجهزة الأميتر والفولتميتر في دارات التيار المتردد القيم الفعالة، بينما يستخدم راسم الذبذبات لإظهار منحنى فرق الجهد المتردد مع الزمن.

لا تخلط العظمى والفعالة: إذا كان المصدر الجيبي معطى على صورة $$\Delta v=310\sin\omega t$$، فالقيمة العظمى هي $$310\,V$$، أما القيمة الفعالة فهي $$310/\sqrt2$$.

في مثال المدفأة، تبدأ من $$V{max}=310\,V$$ ثم تحسب $$I{max}=V_{max}/R$$، وبعدها تنتقل إلى القيمة الفعالة قبل حساب القدرة. وفي سؤال الأميتر والفولتميتر لدارة مقاومة، القراءة تكون فعالة لا عظمى.

في دارات التيار المتردد يؤدي المحث والمواسع دورا يشبه دور المقاومة من حيث ممانعة مرور التيار. تسمى هذه الممانعة المعاوقة، ويرمز لها بالرمز $$X$$ وتقاس بالأوم.

للمحث:

$$X_L=\omega L$$

فتزداد معاوقته بزيادة التردد الزاوي أو المحاثة. وللمواسع:

$$X_C=\frac{1}{\omega C}$$

فتقل معاوقته بزيادة التردد الزاوي أو المواسعة.

سؤال الترددات المتطرفة: عند تردد صغير جدا يكون $$XC$$ كبيرا جدا فيصغر التيار في دارة المواسع، وعند تردد كبير جدا يكون $$XL$$ كبيرا جدا فيكاد ينعدم التيار في دارة المحث.

في دارة مقاومة ومحث ومواسع على التوالي، تكون المعاوقة الكلية:

$$Z=\sqrt{R^2+(XL-XC)^2}$$

والتيار الفعال:

$$I{rms}=\frac{V{rms}}{Z}$$

يبلغ التيار أكبر قيمة عندما يصبح المقام أصغر ما يمكن، وهذا يحدث عند:

$$XL-XC=0\quad\Rightarrow\quad XL=XC$$

ومنها:

$$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

وتسمى $$\omega_0$$ التردد الطبيعي للدارة. إذا ساوى تردد المصدر هذا التردد أصبحت الدارة في حالة رنين.

اتجاه أثر التردد: نقصان التردد يقلل $$XL$$ فيزيد التيار في دارة محث ومصباح. أما في دارة مواسع ومصباح، فنقصان التردد يزيد $$XC$$ فيقل التيار وتضعف الإضاءة.

يعرض الكتاب تجربة لحساب مواسعة مواسع باستخدام دارة $$RC$$ على التوالي ومصدر تيار متردد منخفض الجهد قابل للضبط. تقاس قيمة فرق الجهد بين طرفي المقاومة وفرق الجهد بين طرفي المواسع عند ترددات مختلفة.

تحسب القيمة الفعالة للتيار عند كل محاولة من:

$$I{rms}=\frac{VR}{R}$$

ثم تحسب معاوقة المواسع من:

$$XC=\frac{VC}{I_{rms}}$$

بعد ذلك يرسم الطالب علاقة $$X_C$$ مع $$1/\omega$$، ومن ميل المنحنى يستخرج المواسعة ويقارنها بالقيمة المكتوبة على المواسع.

ما الذي تثبته التجربة؟: التجربة تربط عمليا بين تردد مصدر فرق الجهد والمعاوقة المواسعية؛ لأن $$X_C$$ يتناسب طرديا مع $$1/\omega$$.

تظهر تطبيقات الرنين في بوابات كشف الفلزات؛ إذ تضبط دارة $$RLC$$ على الرنين، فإذا اقترب جسم فلزي تغيرت محاثة الملف فانعدمت حالة الرنين، وتغير التيار فتصدر الدارات الإلكترونية إشارة صوتية أو مرئية.

وتظهر الفكرة نفسها في أجهزة المذياع والاتصال اللاسلكي. عند ضبط مفتاح الموجة يغير الجهاز مواسعة المواسع في دارة الاستقبال، فيصبح التردد الطبيعي مطابقا لتردد موجات إذاعة معينة، فتستقبل بوضوح وتتلاشى الإشارات الأخرى.

مثال المذياع: في مثال ضبط إذاعة عمان، احسب أولا $$\omega0=2\pi f0$$، ثم استخدم $$\omega_0^2=1/(LC)$$ لاستخراج $$C$$.

المحول الكهربائي جهاز يستخدم فرق الجهد المتردد ليخفض الجهد أو يرفعه. يتكون من ملف ابتدائي عدد لفاته $$N1$$ يتصل بالمصدر، وملف ثانوي عدد لفاته $$N2$$ يتصل بالجهاز المستهلك، ويلف الملفان على قلب حديدي مشترك.

يعتمد المحول على الحث الكهرومغناطيسي: التيار المتردد في الملف الابتدائي يولد مجالا مغناطيسيا متغيرا، فيتغير التدفق في القلب الحديدي ويصل إلى الملف الثانوي. حسب قانون فارادي:

$$\Delta V1=-N1\frac{d\Phi}{dt}$$

و:

$$\Delta V2=-N2\frac{d\Phi}{dt}$$

بقسمة العلاقتين نحصل على علاقة الجهد بعدد اللفات:

$$\frac{\Delta V1}{\Delta V2}=\frac{N1}{N2}$$

إذا كان $$N2>N1$$ فهو محول رافع للجهد، وإذا كان $$N2<N1$$ فهو خافض للجهد.

المحول لا يعمل مع تيار مستمر ثابت: لأن التيار المستمر الثابت لا يعطي تغيرا مستمرا في التدفق المغناطيسي، فلا يتولد فرق جهد مستمر في الملف الثانوي بالطريقة نفسها.

في المحول المثالي لا يوجد فقد في الطاقة، لذلك:

$$P1=P2\quad\Rightarrow\quad I1\Delta V1=I2\Delta V2$$

وعند نقل الطاقة لمسافات طويلة يرفع الجهد إلى قيم كبيرة مثل $$230\,kV$$ لتقليل التيار، وبما أن الفقد في الأسلاك يتناسب مع $$I^2R$$ يقل الفقد الحراري في خطوط النقل.

نهاية الدرس تجمع بين ثلاثة مسارات: تعريفات ومقارنات، اتجاهات تغير المعاوقة مع التردد، ومسائل رقمية على المواسع والرنين والمحول. ابدأ دائما بتمييز هل المعطى قيمة عظمى أم فعالة.

قبل التعويض: حوّل $$f$$ إلى $$\omega$$ عند حساب $$XL$$ و$$XC$$، وحول الميكرو إلى $$10^{-6}$$ والملي إلى $$10^{-3}$$ قبل التعويض.

في مسائل الرنين، العبارة الحاسمة هي «أكبر قيمة للتيار الفعال». عندها اكتب مباشرة:

$$XL=XC$$

ثم:

$$\omega L=\frac{1}{\omega C}$$

إذا ضوعف تردد المصدر في دارة RLC، فإن $$R$$ لا يتغير، و$$XL$$ يتضاعف لأنه يتناسب طرديا مع $$\omega$$، أما $$XC$$ فينخفض إلى النصف لأنه يتناسب عكسيا مع $$\omega$$.

في سؤال نقل الطاقة، العلاقة العملية هي: نرفع الجهد كي ينخفض التيار، ثم يقل الفقد الحراري في الأسلاك لأن القدرة المفقودة فيها تتناسب مع مربع التيار.

مراجعة الدرس

• أوضح المقصود بالقيمة العظمى والقيمة الفعالة لفرق الجهد المتردد، وما العلاقة بينهما؟
• أوضح سبب صغر قيمة التيار المتردد في دارة تحتوي مواسعاً فقط عند الترددات المنخفضة؟
• أوضح سبب انعدام التيار تقريباً في دارة تحتوي محثاً فقط عند الترددات العالية جداً؟
• عند مضاعفة تردد المصدر إلى مثليه في دارة RLC: ماذا يحدث لكل من \(R\) و\(XL\) و\(XC\)؟
• دارة تيار متردد تحتوي مواسعاً مواسعته \(5.0\,\mu F\) ومصدر قيمته العظمى \(111\,V\) وتردده \(86\,Hz\). أجد القيمة العظمى للتيار؟
• عند أي تردد زاوي تتساوى المعاوقة الحثية لمحث \(57\,\mu H\) مع المعاوقة المواسعية لمواسع \(5.0\,\mu F\)؟ وماذا يسمى هذا التردد؟
• دارة RLC على التوالي: مقاومة \(80\,\Omega\) ومواسع \(5.0\,\mu F\) ومحث، بمصدر جهده الفعال \(12\,V\) وتردده الزاوي \(2000\,rad/s\). أجد محاثة المحث التي تجعل التيار الفعال أكبر ما يمكن، ثم أكبر قيمة للتيار الفعال؟