ضرب المتجهات

من الملخص

الضرب القياسي (الداخلي)

## الضرب القياسي (الداخلي) يُعد الضرب القياسي، أو كما يُعرف بالضرب الداخلي (Dot Product)، أحد أهم العمليات الجبرية على المتجهات، حيث ينتج عنه كمية قياسية (عدد حقيقي) وليس متجهًا. يُعرّف الضرب القياسي للمتجهين \(\vec{A}\) و \(\vec{B}\) هندسياً بأنه حاصل ضرب مقداريهما في جيب تمام الزاوية \(\theta\) المحصورة بينهما: \(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta\). هذه الصيغة تجعله أداة مثالية لحساب الزوايا بين المتجهات. أما جبرياً، في الفضاء ثلاثي الأبعاد، إذا كان \(\vec{A} = (a_1, a_2, a_3)\) و \(\vec{B} = (b_1, b_2, b_3)\)، فإن ضربهما القياسي يُحسب بجمع حواصل ضرب المركبات المتناظرة: \(\vec{A} \cdot \vec{B} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\). من أبرز خصائصه أن الضرب القياسي عملية إبدالية (\(\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}\))، وتكمن أهميته التطبيقية في تحديد ما إذا كان المتجهان متعامدين، حيث يكون حاصل ضربهما القياسي صفراً. *الإسقاط القياسي لمتجه على آخر:** هو طول مسقط متجه على متجه آخر، ويُحسب باستخدام الضرب القياسي. إسقاط المتجه \(\vec{A}\) على المتجه \(\vec{B}\) يساوي \(\text{comp}_\vec{B} \vec{A} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}\). يمثل هذا المفهوم مقدار مركبة المتجه الأول في اتجاه المتجه الثاني.

سؤال من بنك الأسئلة

ما هو تعريف الضرب القياسي (الداخلي) للمتجهين $\vec{A}$ و $\vec{B}$؟

• $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta$
• $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$
• $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| + |\vec{B}| \cos \theta$
• $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \tan \theta$

موضوعات أخرى في الوحدة