Mathematics (Scientific) Tawjihi questions: answers & practice

Q: لاحظ أن النقطة (2، 3، 4) تبعد عن المستوى (س ص) مسافة تساوي 4 وحدات. برر ذلك رياضياً.

A: المستوى (س ص) معادلته ع = 0. بعد أي نقطة (س، ص، ع) عن هذا المستوى هو القيمة المطلقة للإحداثي ع، أي |4| = 4 وحدات.

Q: كيف يمكنك تمثيل النقطة (2، 3، 4) في الفراغ؟

A: يتم ذلك بتحديد النقطة (2، 3) في المستوى س ص، ثم التحرك موازياً لمحور ع مسافة 4 وحدات للأعلى.

Q: إذا كانت النقطة تقع على محور الصادات، فماذا يمكنك القول عن إحداثياتها س و ع؟

A: تكون قيمة كل من س = 0 و ع = 0، وتصبح النقطة على الصورة (0، ص، 0).

Q: قام عامل بإزاحة صندوق خشبي من النقطة أ(٤،٣) إلى النقطة ب(١٠،٥). أوجد المتجه أ ب بدلالة متجهي الوحدة الأساسية، ثم أوجد طوله.

A: AB = (10-4)i + (5-3)j = 6i + 2j

Q: كيف نجد زاوية اتجاه المتجه v = (x, y) مع الاتجاه الموجب لمحور السينات؟

A: نستخدم العلاقة: () = (y)/(x)، ومنها نجد = ^-1((y)/(x)).

Q: إذا كان المتجه u = (2, 5) والمتجه v = (3, 4)، هل المتجهان متساويان؟ فسر إجابتك.

A: لا، غير متساويين؛ لأن الزوج المرتب للمتجه u لا يساوي الزوج المرتب للمتجه v.

Q: اشرح الخاصية التبديلية في جمع المتجهات.

A: الخاصية التبديلية تنص على أن أ + ب = ب + أ.

Q: إذا كان المتجه أ = (2, 3) والمتجه ب = (1, -1)، أوجد 3أ - 2ب.

A: 3(2, 3) - 2(1, -1) = (6, 9) - (2, -2) = (6-2, 9-(-2)) = (4, 11).

Q: كيف نستخدم المتجهات في حل مسألة طائرة تتأثر بالرياح؟

A: نفرض متجه سرعة الطائرة ومتجه سرعة الرياح، ونجمع المتجهين للحصول على متجه السرعة المحصلة الذي يحدد اتجاه الطائرة الفعلي.

Q: عرف متجهات الوحدة الأساسية في الفراغ واكتب إحداثياتها.

A: هي متجهات طول كل منها وحدة واحدة، وتكون w_1=(1,0,0) ، w_2=(0,1,0) ، w_3=(0,0,1) .

Q: إذا كان m = a - 2w_1 + 5w_3 وكان m = w_1 - 6w_3 ، أوجد المتجه a .

A: a = 3w_1 - 11w_3

Q: إذا كان المتجه AB يمثل إزاحة من النقطة A(10, 4, 1) إلى النقطة B(20, 8, 14) ، فما هو المتجه AB بدلالة متجهات الوحدة الأساسية w_1, w_2, w_3 ؟

A: AB = 10w_1 + 4w_2 + 13w_3

Q: ما هي النتيجة المتعلقة بالضرب القياسي لمتجهين غير صفريين إذا كانا متعامدين؟

A: يكون المتجهان غير الصفريين متعامدين إذا وفقط إذا كان أ . ب = ٠.

Q: الضرب القياسي (الداخلي) للمتجهات

A: |أ| = √(٢² + ٢²) = √٨ = ٢√٢، |ب| = √(٣² + ٠²) = ٣.

Q: عرف الضرب القياسي لمتجهين، واكتب الصيغة الرياضية المستخدمة لحسابه بدلالة الزاوية المحصورة بينهما.

A: الضرب القياسي لمتجهين أ، ب هو كمية قياسية يُرمز لها بالرمز أ . ب، ويُعرف بالعلاقة: أ . ب = |أ| |ب| جتا هـ، حيث هـ هي قياس الزاوية الصغرى المحصورة بين المتجهين، هـ ∈ [٠، π].

Q: التعامد والتطبيقات الهندسية

A: أن يكون المستقيم عمودياً على مستقيمين متقاطعين في ذلك المستوى.

Q: إذا كان المستوى س يوازي المستوى ص، فماذا يمكن أن نستنتج عن أي مستقيم يقع في س بالنسبة للمستوى ص؟

A: المستقيم يوازي المستوى ص.

Q: ما عدد المستويات التي يمكن أن تمر بنقطتين معلومتين؟

A: عدد لا نهائي من المستويات.

Q: [[figure: p45_activity_1]] صالة رياضية على شكل متوازي مستطيلات، أثبت أن الشعاع الواصل من مصدر الضوء إلى منتصف خط تقاطع السقف مع الأرضية يكون عمودياً على هذا الخط.

A: بفرض أن مصدر الضوء هو النقطة أ، وتقاطع السقف مع الأرضية هو المستقيم هـ د. بما أن أ ب عمودي على الأرضية، وب ج عمودي على هـ د، فإنه بحسب نظرية الأعمدة الثلاثة يكون أ ج عمودياً على هـ د.

Q: لماذا نعتبر نظرية الأعمدة الثلاثة أداة قوية في الهندسة الفراغية؟

A: لأنها تسمح لنا بنقل علاقات التعامد من الفراغ إلى المستوى، مما يسهل حساب الزوايا والأطوال باستخدام قوانين المثلثات القائمة.

Q: تطبيقات هندسية على النظرية

A: م ج ⊥ المستوى س، م د ⊥ المستوى ص، م ج، م د أعمدة من نقطة م.

Q: هل تعتبر الجملة 'نظم سميح القاسم قصيدة الأرض' عبارة رياضية؟ برر إجابتك.

A: نعم، هي عبارة رياضية لأنها جملة خبرية يمكن التحقق من صحتها تاريخياً (صائبة).

Q: إذا كانت العبارة 'ن' صائبة، فما هي قيمة صواب نفيها (~ن)؟

A: قيمة صواب نفيها هي خاطئة (خ).

Q: قيم الصواب والخطأ

A: صائبة (ص)؛ لأن ق(٢) = ٢^٣ - ٨ = ٨ - ٨ = ٠.

Q: حلل العبارة: 'إما المسجد الأقصى أو المسجد الحرام أولى القبلتين'.

A: العبارة صائبة لأن المسجد الأقصى هو أولى القبلتين.

Q: قارن بين جدول صواب (و) وجدول صواب (أو).

A: (و) تكون صائبة فقط في حالة (ص، ص)، بينما (أو) تكون خاطئة فقط في حالة (خ، خ).

Q: صنف العبارة: 'باب الساهرة أحد أبواب الخليل أو الطور أحد جبالها'.

A: صائبة، لأن الطور أحد جبالها.

Q: تمارين مركبة

A: إذا كان الوتر أطول أضلاع المثلث قائم الزاوية فإن مجموع قياسات زوايا الشكل الخماسي 540 درجة.

Q: لماذا تعتبر العبارة الشرطية (ف ← ن) صائبة دائماً إذا كانت المقدمة (ف) خاطئة؟

A: لأن العبارة الشرطية لا تُكذب إلا في حالة واحدة (ص ← خ). إذا كانت المقدمة خاطئة، فلا يمكن إثبات كذب النتيجة، لذا تعتبر العبارة صائبة منطقياً (فراغية الصدق).

Q: حدد قيمة صواب العبارة المصدرية: '2 + 3 < 10 إذا وفقط إذا كان 51 عدداً أولياً.'

A: العبارة خاطئة، لأن 2 + 3 < 10 صائبة، بينما 51 ليس عدداً أولياً؛ والشرطية الثنائية تكون خاطئة عند اختلاف القيمتين.

Q: هل العبارة (ف ∧ ن) ≡ (ن ∧ ف)؟ ولماذا؟

A: نعم، بسبب خاصية التبديل في المنطق الرياضي.

Q: بسط العبارة: ~(~ف).

A: العبارة تكافئ ف (قانون النفي المزدوج).

Q: إذا كانت العبارة (ف ∨ ن) خاطئة، فماذا نستنتج عن ف ون؟

A: يجب أن تكون كل من ف ون خاطئتين، لأن الفصل يكون خاطئاً فقط إذا كانت جميع مكوناته خاطئة.

Q: تحديد مجموعة الحل والتحقق من الصحة

A: ق(٢): ٢ × ٢ = ٤، و ٤ > ٥ خاطئة، إذاً العبارة خاطئة.

Q: أوجد مجموعة الحل للجملة المفتوحة ل(س): س^٢ = ٤، حيث مجموعة التعويض هي مجموعة الأعداد الصحيحة ص.

A: مجموعة الحل هي ٢، -٢، لأن (٢)^٢ = ٤ و (-٢)^٢ = ٤.

Q: إذا كانت هـ(س، ص): س^٢ + ص^٢ = ١، حيث س، ص تنتمي إلى ٠، ١، -١، أوجد مجموعة الحل كأزواج مرتبة.

A: مجموعة الحل هي (٠، ١)، (٠، -١)، (١، ٠)، (-١، ٠).

Q: متى تكون العبارة المسورة جزئياً صائبة؟

A: تكون العبارة المسورة جزئياً ∃ س: ق(س) صائبة إذا وجد عنصر واحد على الأقل من مجموعة التعويض يجعل ق(س) صائبة.

Q: مفاهيم العبارات المسورة

A: يجب أن تكون العبارة صائبة لجميع عناصر مجموعة التعويض.

Q: عرف العبارة الرياضية المسورة كلياً واذكر الرمز المستخدم لها.

A: هي جملة مفتوحة ق(س) تصبح عبارة رياضية مسورة كلياً إذا كانت صائبة لجميع قيم س في مجموعة التعويض، ويرمز لها بالرمز ∀ س، ق(س).

Q: مسائل مركبة

A: نعم، العبارة صحيحة لأن مربع أي عدد حقيقي دائماً موجب أو صفر.

Q: انفِ العبارة: 'بعض المربعات دائرية'.

A: كل المربعات ليست دائرية.

Q: بناءً على ما تعلمته، كيف تنفي عبارة تحتوي على سورين؟ (مثال: ∀ س ∃ ص: س + ص = 0)

A: النفي هو: ∃ س ∀ ص: س + ص ≠ 0.

Q: أثبت باستخدام الاستقراء الرياضي أن مجموع المتسلسلة: (1)/(1×2) + (1)/(2×3) + ... + (1)/(ن(ن+1)) = (ن)/(ن+1)

A: التحقق ن=1: 1/2 = 1/2. الفرض: المجموع لـ ك = ك/(ك+1). الإثبات لـ ك+1: ك/(ك+1) + 1/((ك+1)(ك+2)) = (ك2 + 2ك + 1) / ((ك+1)(ك+2)) = (ك+1)2 / ((ك+1)(ك+2)) = (ك+1)/(ك+2).

Q: إذا كان أ، ب، ج أعداداً حقيقية، أثبت أن أ2 + ب2 + ج2 ≥ أ ب + ب ج + أ ج.

A: نستخدم المتطابقة: (أ-ب)2 + (ب-ج)2 + (ج-أ)2 ≥ 0. بفك الأقواس: 2أ2 + 2ب2 + 2ج2 - 2أب - 2بج - 2أج ≥ 0. بالقسمة على 2 نحصل على المطلوب.

Q: أثبت باستخدام الاستقراء الرياضي أن: 1 + 2 + 3 + ... + ن = (ن(ن+1))/(2)

A: للتحقق ن=1: 1 = 1(2)/2 (صحيح). نفرض صحتها لـ ك. لـ ك+1: المجموع = (ك(ك+1))/(2) + (ك+1) = (ك+1)((ك)/(2) + 1) = ((ك+1)(ك+2))/(2)، وهو المطلوب.

Q: حل النظام: س - ص - ع = -2، س + ص + ع = 12، 2س + 2ص = 18.

A: س = 5، ص = 4، ع = 3

Q: أراد عامل بناء بئراً على شكل متوازي مستطيلات، بحيث يقل الطول عن مجموع العرض والارتفاع بمقدار 2م، ومجموع أبعاده 12م، ومحيط قاعدته 18م. أوجد الأبعاد.

A: الطول = 5م، العرض = 4م، الارتفاع = 3م

Q: ثلاثة إخوة يزرعون أشجاراً. الأول: كل الأشجار ما عدا الزيتون = 50. الثاني: كل الأشجار ما عدا اللوز = 60. الثالث: كل الأشجار ما عدا التفاح = 70. أوجد عدد كل نوع.

A: الزيتون=40، اللوز=30، التفاح=20

Q: الأسئلة المركبة والتطبيقات الهندسية

A: الميل = (-1 - 4) / (8 - 1/2) = -5 / (15/2) = -2/3.

Q: هل يمكن لنظام معادلة خطية وتربيعية أن يمتلك 3 حلول؟ علل إجابتك.

A: لا، لأن التعويض يؤدي إلى معادلة تربيعية بمتغير واحد، والمعادلة التربيعية لها حلان على الأكثر.

Q: أوجد نقاط تقاطع س2 + ص2 = 25 مع س = ص + 1.

A: بالتعويض: (ص + 1)2 + ص2 = 25، 2ص2 + 2ص - 24 = 0، ص2 + ص - 12 = 0، (ص + 4)(ص - 3) = 0. إذاً ص = -4 أو ص = 3. قيم س هي -3 أو 4.

Q: هل النقطة (2, 2) تقع على منحنى س2 + ص2 = 4؟

A: لا، لأن 22 + 22 = 8 4.

Q: حل النظام: س2 = ص و ص2 = س.

A: س4 = س ومنه س(س3 - 1) = 0. الحلول س=0 أو س=1. النقاط هي (0, 0), (1, 1).

Q: ماذا يمثل بيانيًا نظام معادلتين تربيعيتين؟

A: يمثل تقاطع منحنيات مثل الدوائر أو القطوع الناقصة في المستوى الإحداثي.

Q: استخدام اللوغاريتمات في حل المعادلات الأسية

A: y2 - 5y + 6 = 0

Q: حل المعادلة 5x = 10 باستخدام اللوغاريتم العادي.

A: بأخذ اللوغاريتم للطرفين: (5x) = (10)، أي x (5) = 1، ومنه x = (1)/((5)) ≈ 1.43.

Q: إذا كان سعر الأرض بعد n سنة يعطى بالعلاقة S = 15000(1.2)^0.2n، متى يصبح السعر 60000 دينار؟

A: بقسمة الطرفين على 15000: 4 = (1.2)^0.2n، بأخذ اللوغاريتم: (4) = 0.2n (1.2)، إذن n = ((4))/(0.2 (1.2)) ≈ 37.1 سنة.

Q: مثل بيانياً: ص ≥ |س|، ص > -2س + 6.

A: نرسم الحدين ص = |س| بخط متصل، و ص = -2س + 6 بخط متقطع، ثم نظلل المنطقة التي تحقق ص ≥ |س| و ص > -2س + 6؛ منطقة الحل هي التقاطع.

Q: مثل بيانياً نظام المتباينات: ص > 2س - 4، 2ص ≥ 6 - س.

A: يتم رسم المستقيم ص = 2س - 4 (متقطع) والمستقيم 2ص = 6 - س (متصل)، ثم تظليل المنطقة التي تحقق المتباينتين وتحديد التقاطع.

Q: ماذا يحدث لمنطقة الحل إذا تغيرت إشارة التباين من ≤ إلى <؟

A: يتحول الخط الحدودي من متصل إلى متقطع، وتصبح نقاط المستقيم نفسه خارج منطقة الحل.

Q: حل المعادلة: |س - 6| = 8

A: س - 6 = 8 ومنها س = 14، أو س - 6 = -8 ومنها س = -2.

Q: حل المعادلة: |س2 + 4س - 11| = 4

A: الحالة الأولى: س2 + 4س - 11 = 4 => س2 + 4س - 15 = 0. الحالة الثانية: س2 + 4س - 11 = -4 => س2 + 4س - 7 = 0. يتم حل كل معادلة تربيعية باستخدام القانون العام.

Q: عرف القيمة المطلقة للعدد س هندسياً، وماذا تعني المعادلة |س| = أ (حيث أ ≥ 0)؟

A: القيمة المطلقة للعدد س هي المسافة بين النقطة س والنقطة صفر على خط الأعداد. المعادلة |س| = أ تعني أن المسافة بين س والصفر تساوي أ، مما يؤدي إلى حلين: س = أ أو س = -أ.

Q: حل المتباينة الواردة في مثال درجات الحرارة: |س - 7| ≤ 10

A: -3 ≤ س ≤ 17

Q: أكمل القاعدة التالية: إذا كان |س| > أ (حيث أ عدد موجب)، فإن المتباينة تكافئ:

A: س > أ أو س < -أ

Q: أكمل القاعدة التالية: إذا كان |س| < أ (حيث أ عدد موجب)، فإن المتباينة تكافئ:

A: -أ < س < أ