شرح نظرية الكم – فيزياء توجيهي فلسطين

آخر تحديث: ٣ تشرين الثاني 2026

محتويات الموضوع (٢٨)

شرح الموضوع

إن الفيزياء الكلاسيكية التي درست حركة الأجسام، ووضعت النظريات والقوانين التي سمحت لها بتفسير كثير من الظواهر الطبيعية من حركة الأجسام المنتظمة والمتسارعة إلى حركة الكواكب وغيرها؛ من الظواهر التي كانت…

نظرية الكم

التعرف إلى نظرية الكم.
تفسير الظاهرة الكهروضوئية.
دراسة تطور النماذج الذرية.
تفسير الأطياف الذرية بدلالة نموذج بور لذرة الهيدروجين.
توضيح المقصود بمبدأ اللايقين.
حل مسائل متنوعة على القوانين والعلاقات الرياضية.

لماذا احتاجت الفيزياء إلى نظرية جديدة؟

مع بداية القرن العشرين ظهر عجز الفيزياء الكلاسيكية عن تفسير ظواهر مثل إشعاع الجسم الأسود والظاهرة الكهروضوئية وانبعاث خطوط الطيف.

الفيزياء الكلاسيكية وضعت نظريات وقوانين فسرت كثيراً من الظواهر، من حركة الأجسام المنتظمة والمتسارعة إلى حركة الكواكب.
عجزها عن بعض الظواهر دفع العلماء إلى التفكير بطرق جديدة أسهمت في بناء الفيزياء الحديثة التي تعالج العالم المجهري.

فمن هم العلماء الذين وضعوا هذه النظريات؟ وما أهم النظريات في الفيزياء الحديثة؟ وما الأساس الذي تم الاعتماد عليه في هذه النظريات؟

نشاط (9-1): ألوان التوهج

1-9 إشعاع الجسم الأسود

لماذا يتوهج الجسم الساخن بألوان مختلفة؟

نشاهد اختلاف التوهج في كثير من التطبيقات الحياتية مثل ماكينة اللحام، كما في الشكل (1-9).

الجسم الساخن يصدر حرارة وينبعث منه أشعة كهرومغناطيسية تسمى الإشعاع الحراري.
شدة الإشعاع الحراري للجسم الساخن تعتمد على درجة حرارته وعلى خصائص سطحه.
لون الجسم الساخن معين وفقاً لدرجة حرارته، مثل الضوء المنبعث من مصابيح التنجستن.

قام كيرتشوف بافتراض وجود جسم أسود مثالي لتسهيل دراسته.
يمثل الجسم الأسود المثالي صندوق مجوف له ثقب صغير؛ الشعاع الداخل ينعكس عدة انعكاسات على الجدران الداخلية حتى يتم امتصاصه بالكامل.

عند تسخين جسم ما مثل الحديد يبدأ في إشعاع لون قريب من اللون الأحمر، عندما تقارب حرارته 700 درجة سلسيوس.
بزيادة الحرارة يتحول إلى اللون البرتقالي حتى يصل إلى اللون الأبيض عند 1200 درجة سلسيوس.
طبيعة إشعاع الجسم الأسود المثالي تعتمد فقط على درجة حرارة الجسم، وليس على المادة المصنوع منها جدران التجويف.

لدراسة الإشعاع المنبعث عند درجة حرارة معينة نستخدم كاشفاً يقيس علاقة شدة الإشعاع بالطول الموجي.

نرسم النتائج بيانياً فنحصل على منحنى يوضح كيفية تغير شدة إشعاع الجسم الأسود مع درجة الحرارة والطول الموجي عند ثلاث درجات حرارة مختلفة.

الإشعاع المنبعث من الجسم الأسود له طيف متصل.
توزيع الشدة: تؤول شدة الإشعاع الطيفية إلى الصفر في منطقة الأمواج القصيرة والأمواج الطويلة.
عند ارتفاع درجة الحرارة ينزاح طول موجة الإشعاع القصوى نحو الطول الموجي الأقصر.

فما القانون الذي يربط لون الوهج بدرجة الحرارة؟

\lambda_{\text{max}} T = 2.898 \times 10^{-3} \text{ m.K} \quad (9-1)

بازدياد درجة الحرارة تنزاح القمة نحو الأطوال الموجية القصيرة، وهذا يفسر اختلاف لون الوهج باختلاف درجة الحرارة.
$\lambda_{\text{max}}$ : الطول الموجي الذي تكون عنده شدة الإشعاع أكبر ما يمكن، وتقاس بالمتر.
T: درجة الحرارة المطلقة بوحدة كلفن.

تزداد القيمة القصوى للإشعاع المنبعث بزيادة درجة الحرارة، ويوضح ذلك قانون ستيفان- بولتزمان:

I = \sigma e T^4 \quad (9-2)

$I$ : شدة الإشعاع هي الطاقة الكلية المشعة من المتر المربع الواحد من سطح الجسم في الثانية الواحدة.

I = \frac{P}{A} \quad (9-3)

وتقاس شدة الإشعاع بوحدة $W/m^2$ .
$\sigma$ : ثابت ستيفان بولتزمان ويساوي $5.670 \times 10^{-8} W/m^2 K^4$ .
$e$ : ثابت إشعاعية السطح، قيمته بين الصفر والواحد الصحيح حسب خواص السطح؛ أكبر للسطوح الخشنة منها للملساء، وللجسم الأسود المثالي = 1.

ما المقصود بالطبيعة المزدوجة للضوء؟

رتب ألوان الطيف المرئي تنازلياً من حيث طول الموجة؟

لماذا يظهر الجسم أسود؟

سؤال: أي الإشعاعات الشمسية تسبب حرقاً أكثر لجلد الإنسان؟ (الأشعة تحت الحمراء، أم الضوء المرئي، أم الأشعة فوق البنفسجية).

وضح تسلسل ألوان التوهج الصادرة عن الإبرة.

ما سبب اختلاف لون التوهج؟

مثال (1)

مثال

المثال 1: جسم أسود مثالي درجة حرارة سطحه $27^{\circ}C$ ، فما:

طول موجة الإشعاع القصوى؟
شدة إشعاع الجسم الأسود؟
معدل الطاقة المنبعثة من $2m^2$ ؟
طول موجة الإشعاع القصوى:

$\lambda_{\text{max}} T = 2.898 \times 10^{-3}$ $\lambda_{\text{max}} (27 + 273) = 2.898 \times 10^{-3}$ $T = 27 + 273 = 300\ \text{K}$ $\lambda_{\text{max}} = 9.66 \times 10^{-6} m$ $\lambda_{\text{max}} = \frac{2.898 \times 10^{-3}}{300} = 9.66 \times 10^{-6}\ \text{m}$ شدة الإشعاع: $I = \sigma e T^4$ $I = 5.670 \times 10^{-8} (1) 300^4$ $300^4 = 8.1 \times 10^{9}$ $I = 459.27 W/m^2$ معدل الطاقة المنبعثة: $I = \frac{P}{A}$ $459.27 = \frac{P}{2}$ معدل طاقة الإشعاع = $918.54 W$ $P = 459.27 \times 2 = 918.54\ \text{W}$

الفيزياء الكلاسيكية وإشعاع الجسم الأسود

رايلي وجينز: أين فشلت الفيزياء الكلاسيكية؟

ماكسويل عدّ الضوء أمواجاً كهرومغناطيسية، وبنى رايلي وجينز على نظريته نظرية لتفسير إشعاع الجسم الأسود.
افترضا أن الجسم الأسود مكون من عدد كبير من المتذبذبات المشحونة تتحرك حركة توافقية بسيطة مطلقة أشعة كهرومغناطيسية.
طاقة المتذبذبات مسموح لها أن تأخذ أية قيمة، فيكون الإشعاع المنبعث أو الممتص سيلاً مستمراً ومتصلاً.

I = \text{constant} \frac{T}{\lambda^4}

عند الأطوال الموجية الطويلة يتفق قانون رايلي وجينز مع النتائج العملية.
عند الأطوال الموجية القصيرة لا يتفق: عندما تقترب $\lambda$ من الصفر تقترب الشدة من اللانهاية، والتجارب تبين أنها تقترب من الصفر.

سؤال: ما وحدة الثابت في قانون رايلي وجينز؟

⁦b-1-9⁩ نظرية الكم

بلانك: الطاقة تأتي في حزم

في عام 1900م افترض بلانك أن إشعاع الجسم الأسود ناتج عن متذبذبات كهربائية تتذبذب بترددات مختلفة.

المتذبذبات تمتلك قيماً محددة من الطاقة تعتمد على التردد، وتحسب طاقتها من العلاقة:

E = n h f \quad (9-4)

$E$ : طاقة الكمية، وتقاس بالجول ⁦(J)⁩، وغالباً ما تستخدم وحدة الإلكترون فولت ⁦(eV)⁩.

1 eV = 1.6 \times 10^{-19} J

$n$ : عدد صحيح موجب يعرف بالعدد الكمي ⁦(Quantum number)⁩ $n = 1, 2, 3, ...$
$h$ : مقدار ثابت، ويعرف بثابت بلانك، وتم التوصل إلى قيمته من خلال التجارب العملية، ويساوي $6.626 \times 10^{-34} J.s$
$f$ : تردد الجسم المهتز، ويقاس بوحدة الهيرتز ⁦(Hz)⁩

المتذبذبات تبعث أو تمتص الطاقة فقط عندما تنتقل من مستوى طاقة مكمأ إلى آخر، ومقدارها الفرق بين طاقة المستويين.
عند الانتقال إلى مستوى أدنى (من $n=3$ إلى $n=2$ ) تعطى الطاقة المنبعثة بالعلاقة:

\Delta E = h f \quad (9-5)

يبين الشكل مستويات الطاقة المكمأة والانتقالات المسموحة المقترحة بواسطة بلانك.

تقريب بالمثال: طاقة وضع جسم على سطح مائل تأخذ أية قيمة، وعلى سطح درج تأخذ قيماً محددة (متقطعة).

استطاع بلانك بناءً على تكمية الطاقة تخطي كارثة الأشعة فوق البنفسجية، وتطابقت افتراضاته مع النتائج التجريبية.
ينبعث الإشعاع من الجسم الساخن نتيجة تذبذبات ذراته على شكل كمات محددة من الطاقة، يعتمد مقدارها على تردد التذبذب.
عند درجة الحرارة الواحدة لا تهتز الذرات جميعها بالتردد نفسه، فلا توجد ذرات كثيرة تتذبذب بترددات عالية أو منخفضة.
الجزيئات ذات الترددات المتوسطة كثيرة؛ وهذا يفسر ارتفاع شدة الطاقة عند هذه الترددات.

سؤال: كيف فسر بلانك كارثة الأشعة فوق البنفسجية؟

2-9 تكميم الضوء

آينشتاين: الضوء نفسه فوتونات

فرض بلانك قام على تكمية طاقة المتذبذبات: الذرات تمتص الطاقة على شكل حزم، ولم يذكر أن الإشعاع نفسه حزم.
في عام 1905م طبق آينشتاين مفهوم الطاقة المكمأة على أمواج الضوء الكهرومغناطيسية أيضاً.

هذه الكمات تسمى الفوتونات، ولكل فوتون تردده الخاص، وتحسب طاقته من المعادلة:

\Delta E = h f = h \frac{c}{\lambda} \quad (9-6)

حيث ⁦E⁩: طاقة الفوتون
$\lambda$ : الطول الموجي
$c$ : سرعة الضوء في الفراغ وتساوي ( $3 \times 10^8 m/s$ )

الإشعاعات الصادرة من الجسم الأسود ليست مستمرة، بل مجموعة من الفوتونات، ولكل فوتون طاقة تعتمد على التردد.
استخدم آينشتاين فكرته هذه في تفسير ظاهرة التأثير الكهروضوئي.

مثال (2)

مثال

المثال 2: احسب الطاقة بوحدة الجول والإلكترون فولت لفوتون الضوء الأحمر وطوله الموجي $635 nm$ . $\Delta E = h f = h \frac{c}{\lambda}$ $635\ \text{nm} = 6.35 \times 10^{-7}\ \text{m}$ $\Delta E = 6.626 \times 10^{-34} \times \frac{3 \times 10^8}{6.35 \times 10^{-7}} = 3.13 \times 10^{-19} J$ $6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8} = 1.9878 \times 10^{-25}$ $\Delta E = \frac{3.13 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.96 eV$

وإذا عرفنا طاقة الفوتون فكيف نجد تردده؟

مثال (3)

3-9 ظاهرة التأثير الكهروضوئي

كيف يحرر الضوء الإلكترونات من الفلز؟

لاحظ هيرتز أثناء تجاربه أن سقوط ضوء فوق بنفسجي على سطح قرص كشاف كهربائي لفلز معين يغير انفراج ورقتي الكشاف.
فسر هيرتز ذلك بانبعاث إلكترونات من سطح الفلز.

الإلكترونات المتحررة سميت بالإلكترونات الضوئية.

ماذا حدث عندما تم تسليط الأشعة على لوح الخارصين؟ ماذا تستنتج؟ ماذا تسمى هذه الظاهرة؟

فكيف تدرس هذه الظاهرة عملياً؟

الخلية الكهروضوئية: ماذا يقيس الأميتر؟

الخلية الكهروضوئية أنبوب زجاجي مفرغ من الهواء يحتوي صفيحة فلزية متصلة بالقطب السالب للبطارية تسمى المهبط (الباعث).
المصعد (الجامع) ساق فلزي آخر يتصل بالقطب الموجب للبطارية.
في غرفة مظلمة يقرأ الأميتر صفراً؛ ليدل على عدم وجود تيار في الدارة.
عند سقوط ضوء طاقته كافية لتحرير الإلكترونات من المهبط تنبعث متجهة إلى المصعد، فيمر تيار كهروضوئي وينحرف مؤشر الأميتر.

عند ثبوت شدة الضوء الساقط يزداد التيار مع فرق الجهد الموجب حتى قيمة عظمى يثبت عندها، ويسمى تيار الإشباع ( $I_1$ ).
عند عكس قطبي البطارية وزيادة الجهد السالب ينشأ مجال كهربائي يعاكس حركة الإلكترونات، فتتناقص شدة التيار تدريجياً.
لا تصل إلى القطب الموجب إلا الإلكترونات التي تمتلك طاقة حركية كافية للتغلب على قوة المجال.

عند زيادة شدة الضوء الساقط نحصل على المنحنى الثاني وتكون شدة التيار ( $I_2$ )، ويلاحظ أن جهد القطع لا يعتمد على شدة الضوء.

الموجة أم الفوتون: من يفسر الظاهرة؟

النظرية الموجية للضوء (الكلاسيكية) تتنبأ (تفترض) ما يأتي:
عند زيادة شدة الضوء تزداد الطاقة الحركية القصوى للإلكترونات المنبعثة؛ لأن اتساع المجال الكهربائي يزداد.
تردد الضوء لا يؤثر في الطاقة الحركية للإلكترونات المنبعثة.
إذا كانت شدة الضوء ضعيفة جداً، فإن الإلكترون يستغرق وقتاً طويلاً لامتصاص كمية الطاقة اللازمة لانبعاثه.

وماذا تتنبأ به نظرية الفوتون؟

نظرية الفوتون (الكمية) تقول:
إذا كان تردد الضوء الساقط $f$ أقل من تردد العتبة $f_0$ فلا تتحرر إلكترونات مهما كانت شدة الضوء.
زيادة شدة الضوء تعني زيادة عدد الفوتونات دون تغير في طاقة أي منها.
عند ضوء تردده أكبر من $f_0$ تتحرر إلكترونات مهما كانت الشدة، وبزيادة التردد تزداد الطاقة الحركية القصوى للإلكترونات.

لا تأخير في تحرر الإلكترون، لأن كل فوتون يحرر إلكتروناً واحداً فقط خلال فترة لا تتجاوز ( $10^{-9} s$ ).
وفقاً لآينشتاين يتحرر الإلكترون من الفلز بالاصطدام بفوتون واحد خلال فترة زمنية صغيرة جداً.
الإلكترونات تستقر في الفلز بفعل قوى الجذب، فيلزم حد أدنى من الطاقة لتحريرها تسمى اقتران الشغل ( $\phi$ ).

إذا كانت طاقة الفوتون ( $hf$ ) أقل من اقتران الشغل ( $hf_0 = \phi$ ) فلا تتحرر الإلكترونات.
إذا كانت طاقة الفوتون أكبر من اقتران الشغل تنبعث الإلكترونات من سطح الفلز، وتكون الطاقة محفوظة.
طاقة الفوتون = اقتران الشغل + الطاقة الحركية القصوى

h f = \phi + K_{\text{max}} \quad (9-7)

سؤال: ماذا يحدث عند سقوط ضوء تردده يساوي تردد العتبة للفلز؟

من أين تأتي الطاقة الحركية للإلكترون المتحرر؟

الأشعة تخترق السطح إلى عمق بضع ذرات، فالظاهرة تحدث عند طبقات ذرات على أعماق مختلفة من سطح الفلز.
الإلكترونات المتحررة من طبقة داخلية تتصادم مع ذرات تعترض طريقها فتفقد جزءاً من طاقتها.
الإلكترونات المتحررة من السطح تكون طاقة حركتها قيمة قصوى؛ والعلاقة الرياضية المعبرة عنها:

K_{\text{max}} = \frac{1}{2} m v^2 = q_e V_0 \quad (9-8)

حيث $q_e$ : شحنة الإلكترون، $V_0$ : جهد الإيقاف (القطع).

الفلز	اقتران الشغل $\phi$ (eV)
Na	2.28
Al	4.08
Cu	4.70
Zn	4.51
Ag	4.73
Pt	6.35
Pb	4.14
Fe	4.50

أناقش:

ماذا يمثل المقطع السيني؟

ماذا يمثل المقطع الصادي؟

لماذا يكون المنحنيان متوازيين؟

مثال (4)

اقتران الشغل في الحساب وفي الحياة

مثال

المثال 4: سقط ضوء تردده ( $1 \times 10^{15} Hz$ ) على سطح صوديوم، فانطلقت إلكترونات ضوئية ذات طاقة حركة قصوى تساوي $1.78 eV$ ، احسب تردد العتبة للصوديوم. $h f = \phi + K_{\text{max}}$ $6.626 \times 10^{-34} \times 1 \times 10^{15} = \phi + 1.78 \times 1.6 \times 10^{-19}$ $6.626 \times 10^{-34} \times 1 \times 10^{15} = 6.626 \times 10^{-19}\ \text{J}$ $1.78 \times 1.6 \times 10^{-19} = 2.848 \times 10^{-19}\ \text{J}$ $\phi = 3.778 \times 10^{-19} J$ $\phi = 6.626 \times 10^{-19} - 2.848 \times 10^{-19} = 3.778 \times 10^{-19}\ \text{J}$ $\phi = h f_0$ $3.778 \times 10^{-19} = 6.626 \times 10^{-34} \times f_0$ $f_0 = 5.7 \times 10^{14} Hz$ $f_0 = \frac{3.778 \times 10^{-19}}{6.626 \times 10^{-34}} = 5.7 \times 10^{14}\ \text{Hz}$

سؤال: أي الفلزين الآتيين يظهر التأثير الكهروضوئي عندما يسقط عليه ضوء تردده $7 \times 10^{14} Hz$ الليثيوم ( $\phi = 2.3 eV$ ) أم الفضة ( $\phi = 4.7 eV$ )؟ ولماذا؟

هل عدد الفوتونات في $1 J$ من الضوء الأحمر أكبر من عدد الفوتونات في $1 J$ من الضوء الأزرق أم يساويه، أم أصغر منه؟ وضح ذلك.

عند أي لون استطاعت الكرة المنزلقة إخراج الكرات أسفل المسار؟

هل هناك ارتفاع معين استطاعت عنده الكرة المنزلقة من إخراج الكرتين معاً من المسار؟

فسر ما لاحظته في ضوء نظرية الفوتون لآينشتاين.

التطبيقات العملية على الظاهرة الكهروضوئية

أجهزة عملية كثيرة تعتمد في تصنيعها على الظاهرة الكهروضوئية، والوصلة الثنائية أحد مكوناتها؛ فامتصاص الفوتونات يغير قدرتها على التوصيل.
من هذه الأجهزة جهاز الإنذار والبوابات الإلكترونية، والمقياس الضوئي في الكاميرا الذي يقيس مستوى الضوء ويتحكم في اتساع فتحة الكاميرا.
البناء الضوئي: تحتاج صبغة الكلورفيل إلى تسعة فوتونات من ضوء الشمس لتحويل جزيء واحد من ثاني أكسيد الكربون إلى كربوهيدرات نافعة وغاز أكسجين.

أفكر

ملاحظة

نشاط (9-3): محاكاة تحرر الإلكترونات اعتماداً على تردد الضوء السؤال: ما السبب في تحرر إلكترونات من سطح فلز عند سقوط ضوء معين عليه دون آخر؟ ضع المسار المقوس على سطح طاولة كما هو موضح بالشكل المجاور. قم بتقسيم المسار مبتدئاً من قاعدة المسار وعلى ارتفاع ⁦4 cm⁩ وضع إشارة باللاصق الأحمر، ثم ضع إشارة باللاصق البنفسجي في أعلى المسار وعلى ارتفاع ⁦14 cm⁩ من القاعدة. قم بوضع إشارات ملونة بين اللونين الأحمر والبنفسجي، ويفصل بينها ⁦2 cm⁩ كما بالشكل. ضع الكرتين الفلزيتين على الجزء السفلي من المسار، حيث تمثل هذه الكرات إلكترونات المدار الأخير للذرة. امسك بكرة أخرى عند الموضع المشار إليه باللون الأحمر على المسار، حيث تمثل هذه الكرة فوتون الضوء الأحمر، الذي يمتلك أقل طاقة مقارنة بالألوان الأخرى. اترك الكرة تسقط، ولاحظ ماذا يحدث للكرتين في أسفل المسار، ثم كرر ذلك لكل لون مشار إليه على المسار.

4-9 النماذج الذرية

من كرة مصمتة إلى نواة صغيرة وفراغ

ما المقصود بالذرة؟

ما مكونات الذرة؟

ما شحنة نواة الذرة؟

وصف تركيب الذرة مر بنماذج متنوعة عبر فترات مختلفة.
وضع تومسون عام 1898م التصور الأول: الذرة كرة مصمتة موجبة الشحنة، تتوزع داخلها الشحنات السالبة بشكل عشوائي.

نموذج تومسون فشل في تفسير تصرف أشعة ألفا وتشتتها في تجربة رذرفورد.
في عام 1911 قذف رذرفورد وزملاؤه صفيحة رقيقة من الذهب بجسيمات ألفا الموجبة الشحنة (نواة ذرة الهيليوم $He_2^4$ ).

نموذج رذرفورد: معظم حجم الذرة فراغ، وتتمركز كتلتها في حيز صغير جداً يسمى النواة وتحمل شحنة موجبة، وتحيط بها الإلكترونات السالبة في مدارات.

لهذا وضع بور نموذجاً جديداً استطاع بواسطته تفسير أطياف الذرات.

وكانت هذه الانحرافات غير متوقعة كلياً حسب نموذج تومسون، لماذا؟

⁦a-4-9⁩ نموذج بور لذرة الهيدروجين

فروض بور الأربعة

نموذج بور مزيج من مبادئ الفيزياء الكلاسيكية، ونظرية الكم لبلانك، ونظرية الفوتونات لآينشتاين، ونموذج رذرفورد للذرة.
الفرض الأول: الإلكترون يدور حول النواة في مدارات دائرية تحت تأثير قوة الجذب الكهربائية بين البروتون الموجب والإلكترون السالب.

\frac{m v^2}{r} = k \frac{q^2}{r^2} \quad (9-9)

الفرض الثاني: الإلكترونات في مستويات محددة من الطاقة ذات أنصاف أقطار ثابتة، ولا تشع أية كمية من الطاقة ما دامت في نفس المستوى.
الفرض الثالث: يحدث إشعاع للطاقة عندما ينتقل الإلكترون إلى مستوى أقل طاقة؛ والطاقة المنبعثة تساوي فرق طاقة المستويين، على هيئة كمات (فوتونات).

\Delta E = E_f - E_i = h f \quad (9-10)

الفرض الرابع: الزخم الزاوي للإلكترونات كمية مكماة تساوي مضاعفات صحيحة للمقدار $\frac{h}{2\pi}$

L = m v r_n = n \frac{h}{2\pi} \quad (9-11)

حيث $h$ : ثابت بلانك، $L$ : كمية التحرك الزاوية، $r_n$ : نصف قطر مدار الإلكترون

⁦4-9b⁩ تطبيقات نموذج بور على ذرة الهيدروجين

ماذا يحسب نموذج بور؟

نصف قطر المدار: بتربيع الفرض الرابع وتعويض السرعة من الفرض الأول ينتج:

r_n = n^2 \frac{h^2}{4\pi^2 k q^2 m}

r_n = n^2 r_1 \quad (9-12)

$n$ : رقم المدار المتواجد فيه الإلكترون
$r_n$ : نصف قطر المدار ( $n$ ) للإلكترون
$r_1$ : نصف قطر بور (نصف قطر المدار الأول) ويساوي $0.529 \times 10^{-10} m$
نجحت نظرية بور في التنبؤ بنصف قطر ذرة الهيدروجين، وأنصاف أقطار المدارات المسموحة قيم محددة، أي أنها مكماة.

2- حساب الطاقة الكلية للإلكترون في مداره

الطاقة الكلية للإلكترون في مداره تساوي مجموع طاقتي الوضع والحركة: $E_n = K + U$ .

E_n = \frac{1}{2} \frac{k q^2}{r_n} - \frac{k q^2}{r_n} = -\frac{1}{2} \frac{k q^2}{r_n}

E_n = \frac{E_1}{n^2} \quad (9-13)

طاقة الإلكترون في المستوى الأول ( $E_1$ ) تساوي ( $-13.6 eV$ )، فمدارات الطاقة مكماة أيضاً.
لاحظ أن $K = |E_n|$ و $U = 2E_n$

3- حساب الطول الموجي للأطياف المنبعثة من ذرة الهيدروجين

الطول الموجي للفوتون المنبعث عند انتقال إلكترون من مدار لآخر، بأخذ القيمة الموجبة للفرق في الطاقة بين المدارين:

\frac{1}{\lambda} = R (\frac{1}{n_i^2} - \frac{1}{n_f^2}) \quad (9-14)

حيث $n_i$ : رقم مستوى الطاقة الأدنى، $n_f$ : رقم مستوى الطاقة الأعلى
ويسمى الثابت ( $R$ ) بثابت ريدبيرج ويساوي $1.097 \times 10^7 m^{-1}$
وتسمى هذه المعادلة بمعادلة بور النظرية، ويسمى المقدار $\frac{1}{\lambda}$ الرقم الموجي.

سؤال: ما وحدة قياس الرقم الموجي؟

⁦4-9c⁩ طيف ذرة الهيدروجين

خطوط الطيف: بالمر وليمان وباشن

ذرة الهيدروجين أبسط الذرات، تحتوي إلكتروناً واحداً في مدارها، ولها أبسط طيف ذري.
في عام 1885 توصل بالمر إلى صيغة لحساب الأطوال الموجية لخطوط الطيف المرئي: أربعة خطوط مضيئة يقل التباعد بينها بانتظام.
هي ناتجة عن انتقال إلكترونات من مستويات عليا إلى المستوى ( $n=2$ )، بالألوان: أحمر $H_{\alpha}$ ، أخضر $H_{\beta}$ ، أزرق $H_{\gamma}$ ، بنفسجي $H_{\delta}$ .

قرب الطول الموجي $364.6 nm$ تصبح الخطوط متقاربة، ويمكن اعتبار $n = \infty$ وتطبيق معادلة بالمر:

\frac{1}{\lambda} = R (\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}) \quad (9-15)

$n = 3, 4, 5, ...$
أظهرت التجارب سلاسل أخرى لخطوط طيف الهيدروجين، في منطقة الأشعة فوق البنفسجية ومنطقة الأشعة تحت الحمراء.

\frac{1}{\lambda} = R (\frac{1}{1^2} - \frac{1}{n^2}) \quad (9-16)

$n = 2, 3, 4, ...$

\frac{1}{\lambda} = R (\frac{1}{3^2} - \frac{1}{n^2}) \quad (9-17)

$n = 4, 5, 6, ...$

مثال (5)

مثال

المثال 5: انتقل إلكترون في ذرة هيدروجين من مستوى الطاقة الرابع إلى مستوى الطاقة الثاني، ما تردد الفوتون المنبعث؟ وأي الخطوط في الطيف الانبعاثي يطابق هذه الحالة؟ طاقة الفوتون: $\Delta E = E_2 - E_4 = \frac{13.6}{4} - \frac{13.6}{16}$ $\frac{13.6}{4} = 3.40,\ \frac{13.6}{16} = 0.85$ $= (3.40) - (0.850) = 2.55\ \text{eV}$ التردد: $= 2.55 eV \times (1.6 \times 10^{-19}) = 6.63 \times 10^{-34} \times f$ $2.55 \times 1.6 \times 10^{-19} = 4.08 \times 10^{-19}\ \text{J}$ $f = 6.15 \times 10^{14} Hz$ $f = \frac{4.08 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} = 6.15 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ وهو يتوافق مع الخط الثاني في سلسلة الطيف الخطي المرئي ويظهر بلون أخضر.

5-9 الطبيعة الموجية للأجسام

هل للجسيمات طبيعة موجية أيضاً؟

فهل يمكن للجسيمات المادية أن يكون لها طبيعة مزدوجة وتسلك سلوك الأمواج إضافة إلى اعتبارها جسيمات؟

لا يمكن للضوء أن يجمع بين النموذجين في نفس الظاهرة.
في عام 1923م اقترح لويس دي برولي أن الأجسام المادية والجسيمات الذرية مثل الإلكترونات تمتلك الخاصيتين: الموجية والجسيمية.

\lambda = \frac{h}{p} \quad (9-18)

حيث $\lambda$ : طول موجة دي برولي المصاحبة للجسيمات.
$p$ : الزخم = $mv$ ويقاس بوحدة $\text{kg.m/s}$

مثال (6)

مثال (7)

الطول الموجي للأجسام المادية صغير جداً بحيث لا يمكن قياسه، فلا يلاحظ سلوكها الموجي كالتداخل والحيود؛ لأن كتلتها كبيرة جداً.
الجسيمات الذرية كالإلكترونات كتلتها الصغيرة جداً تكسبها طولاً موجياً كبيراً، فيمكن دراسة خصائصها الموجية.

مثال

المثال 7: احسب الطول الموجي المصاحب لإلكترون تم تسريعه تحت فرق جهد $100 V$ $\frac{1}{2} m_e v^2 = q_e V$ $\frac{1}{2} \times 9.1 \times 10^{-31} v^2 = 1.6 \times 10^{-19} \times 100$ $v^2 = \frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 100}{9.1 \times 10^{-31}} = 3.5 \times 10^{13}$ $v = 5.9 \times 10^6 m/s$ $p = 9.1 \times 10^{-31} \times 5.9 \times 10^{6} = 5.4 \times 10^{-24}\ \text{kg.m/s}$ $\frac{h}{mv} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 5.9 \times 10^6}$ $= 1.23 \times 10^{-10}\ \text{m}$

سؤال: إذا اكتسب كل من الإلكترون والبروتون تسارعاً من السكون عند نفس فرق الجهد، أيهما يملك طولاً موجياً أكبر، ولماذا؟

الإلكترونات والطبيعة الموجية: أجرى دافيسون (1881-1958) وجيرمر (1896-1971) تجربة حاسمة: حزمة إلكترونات تحدث حيوداً على بلورة من النيكل.
في العام نفسه اكتشف تومسون السلوك الموجي للإلكترونات بمرورها خلال رقائق ذهب رقيقة، فأثبتت الطبيعة الموجية للمادة بطرق متعددة.
المجهر الإلكتروني تطبيق على الطبيعة الموجية للإلكترونات؛ طول موجة الإلكترون أصغر بكثير من طول موجة الضوء العادي، فالصورة أدق وأكثر كشفاً للتفاصيل.

6-9 موجات الإلكترون

الإلكترون موجة موقوفة حول النواة

عجز بور عن تفسير سبب شغل الإلكترونات مستويات محددة في الذرة وسبب استقرارها في هذه المدارات.
وفقاً لدي برولي يعتبر الإلكترون موجة وليس جسيماً، ويدور حول النواة مشكلاً حركة موجة موقوفة وفق ما تصور شرودنجر.
حتى يكون مستقراً يجب أن يكون طول المدار الذي يتحرك به مساوياً عدداً صحيحاً من طول موجة دي برولي للإلكترون في هذا المدار، أي أن:
طول محيط المدار = عدد صحيح × الطول الموجي المصاحب للإلكترون

n \lambda = 2\pi r_n \quad (9-19)

حيث: $r_n$ : نصف قطر المدار، $n$ عدد صحيح، ويساوي رقم المدار، وتشير إلى عدد الموجات الموقوفة المصاحبة لحركة الإلكترون.
موجات الإلكترونات لا تتحرك حول النواة فقط، بل تتحرك نحو الداخل والخارج، تقترب من النواة وتبتعد عنها في الأبعاد الثلاثة.
أنصاف أقطار المدارات التي تتواجد فيها الإلكترونات هي التي تتفق مع طبيعتها الموجية؛ وبما أن طول محيط المدارات محدد فأنصاف أقطارها وطاقة المستويات محددة أيضاً.
ذكر بور شرط تواجد الإلكترونات في مدارات محددة من خلال فرض بور ( $mvr = n \frac{h}{2\pi}$ ).

سؤال: يوضح الشكل المقابل نوع الأمواج المتولدة في حبل مشدود.

ماذا تسمى الأمواج الموضحة في الشكل المقابل؟ مم تتكون هذه الأمواج؟

سؤال: أثبت رياضياً أنه لا تعارض بين الشرطين.

7-9 مبدأ اللا يقين

لماذا لا نقيس الموقع والزخم معاً بدقة؟

إن مبدأ اللا يقين هو السمة الأساسية لفيزياء الكم.

في الفيزياء الكلاسيكية لا توجد حدود للدقة: نجري قياسات أكثر دقة باستخدام أدوات أكثر ضبطاً.
اللا يقين ليس نتيجة مشكلة في النظام أثناء القياس أو عدم دقة الأدوات المستخدمة، بل ناتج عن الطبيعة المزدوجة للجسيمات.
حسب العالم هيزنبرغ:

رياضياً: حاصل ضرب اللا يقين في الموقع ( $\Delta x$ ) والزخم ( $\Delta p$ ) يكون دائماً أكبر من قيمة صغرى تساوي $\frac{h}{2\pi}$ .

\Delta p \Delta x \ge \frac{h}{2\pi} \quad (9-20)

مثال (8)

مثال

المثال 8: تم قياس سرعة انطلاق إلكترون فكانت $5 \times 10^3 m/s$ ، حيث اللايقين في سرعة الإلكترون $0.003\%$ ، احسب أقل لا يقين في موضع هذا الإلكترون. $p = m v = 9.11 \times 10^{-31} \times 5 \times 10^3$ $= 4.56 \times 10^{-27}\ \text{kg.m/s}$ $\Delta p = p \times 0.00003$ $\Delta p = 4.56 \times 10^{-27} \times 0.00003 = 1.37 \times 10^{-31} kg.m/s$ $\Delta p \Delta x = \frac{h}{2\pi}$ $1.37 \times 10^{-31} \Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2\pi}$ $\Delta x = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2\pi \times 1.37 \times 10^{-31}} = 7.7 \times 10^{-4}\ \text{m}$ $\Delta x = 0.77 mm$

أسئلة الفصل:

أسئلة الفصل: جرّب بنفسك

جسم أسود مثالي درجة حرارته ( $T$ )، إذا أصبحت درجة حرارته مثلي قيمتها فإن شدة إشعاعه:

أ. تبقى ثابتة ب. تصبح ضعفي ما هي عليه ج. تصبح أربعة أضعاف ما هي عليه د. تتضاعف (16 مرة) مما هي عليه

فشل النموذج النظري لـ (رايلي وجينز) المستند إلى الفيزياء الكلاسيكية في تفسير شدة إشعاع الجسم الأسود في منطقة:

أ. الأطوال الموجية الطويلة ب. الأطوال الموجية القصيرة ج. الضوء المرئي د. الأمواج تحت الحمراء

سقط فوتون طول موجته ( $\lambda$ ) على سطح فلز فكان تيار الإشباع ( $20 μ A$ ) وجهد القطع ( $2 V$ )، فإذا تضاعفت شدة الضوء الساقط يصبح:

أ. طول موجة الفوتون الساقط ( $2λ$ ) وجهد القطع ( $4 V$ ) ب. طول موجة الفوتون الساقط ( $\lambda$ ) وجهد القطع ( $2 V$ )، وتيار الإشباع ( $20 μ A$ ) ج. طول موجة الفوتون الساقط ( $\lambda$ ) وجهد القطع ( $2 V$ )، وتيار الإشباع ( $40 μ A$ ) د. طول موجة الفوتون الساقط ( $λ/2$ ) وجهد القطع ( $2 V$ )، وتيار الإشباع ( $40 μ A$ )

مقدار الزخم الزاوي لإلكترون ذرة الهيدروجين في المدار الأول هو:

أ. $\frac{h}{2\pi}$ ب. $(2h)/(π)$ ج. $(h)/(2π r_1)$ د. $(h)/(r_1)$

فشلت الفيزياء الكلاسيكية في تفسير الظاهرة الكهروضوئية لأنها تُعد أن طاقة الموجة الضوئية تعتمد على:

أ. طولها ب. ترددها ج. إتساعها د. زمنها الدوري

وفقاً لنظرية الكم، فإن طاقة الموجة الضوئية تزداد بزيادة:

أ. زمنها الدوري ب. طولها الموجي ج. إتساعها د. ترددها

س2: ما المقصود بكل من:

الجسم الأسود المثالي - مبدأ اللا يقين - نص قانون فين للإزاحة

س3: في الشكل الآتي العلاقة البيانية بين تردد الضوء الساقط وجهد القطع في خلية كهروضوئية، اعتماداً على الشكل، أجب عما يأتي:

أ. ما ثابت بلانك؟

ب. ما اقتران الشغل للفلز؟

ج. ما تردد العتبة للفلز؟

د. إذا قمنا بزيادة شدة الضوء الساقط على مهبط الخلية. ماذا يتغير في الرسم البياني؟

س4: سقط شعاع ضوئي طول موجته ( $3 \times 10-7 m$ ) على فلز مهبط خلية كهروضوئية فانبعثت إلكترونات طاقتها الحركية ( $2 eV$ )، احسب:

أ. اقتران الشغل للفلز.

ب. فرق جهد القطع في الخلية.

ج. تردد العتبة للفلز.

س5: الشكل المجاور يمثل الموجات المصاحبة لإلكترون ذرة الهيدروجين في مستوى ما، احسب:

أ. كمية التحرك الخطية لذلك الإلكترون.

ب. نصف قطر المدار الذي يتواجد فيه الإلكترون.

ج. طول الموجة المصاحبة.

د. إذا انتقل الإلكترون إلى مستوى الاستقرار احسب طاقة الفوتون المنبعث مبيناً نوع الطيف الذي ينتمي إليه الإشعاع.

س6: إلكترون ذرة الهيدروجين يتواجد في مستوى الطاقة الثاني ( $n=2$ )، جد ما يأتي:

أ. طول الموجة المرافقة للإلكترون في مستواه.

ب. اللا يقين في تحديد كمية تحركه إذا كان الخطأ في تحديد موقعه يساوي طول موجة الفوتون المنبعث عند انتقال ذلك الإلكترون إلى مستوى الاستقرار.

س7: استخدمت الطاقة الناتجة من عودة الإلكترون من المدار الثالث في ذرة الهيدروجين إلى وضع الاستقرار في تشغيل خلية كهروضوئية فانبعثت الإلكترونات. فإذا كان جهد الإيقاف 1.2 فولت، احسب:

طول الموجة المصاحبة لأسرع الإلكترونات المتحررة.

أكبر طول موجة يحرر الإلكترونات من سطح الخلية الكهروضوئية.

تعريفات أساسية

قانون فين للإزاحة: يتناسب الطول الموجي لشدة الإشعاع القصوى عكسياً مع درجة الحرارة المطلقة
الجسم الأسود المثالي: يمتص جميع الأشعة الساقطة عليه عندما يكون بارداً، ويشع الضوء عندما يسخن على شكل طيف متصل من الأطوال الموجية أو الترددات المختلفة
تكميم الضوء: الطاقة الضوئية تمتص أو تشع بوحدات منفصلة تسمى كمات نتيجة انتقال الإلكترون من مدار إلى مدار آخر
ظاهرة التأثير الكهروضوئي: ظاهرة انبعاث الإلكترونات من أسطح الفلزات عند تعرضها لموجات كهرومغناطيسية بتردد مناسب
اقتران الشغل: حد أدنى من الطاقة لتحرير (أو انبعاث) الإلكترون من خلال السطح
سلسلة ليمان: ناتجة عن انتقال الإلكترونات من مستويات عليا إلى المستوى $n=1$ وتقع في منطقة الأشعة فوق البنفسجية
سلسلة باشن: ناتجة عن انتقال الإلكترونات من مستويات عليا إلى المستوى $n=3$ وتقع في منطقة الأشعة تحت الحمراء
الطبيعة المزدوجة للضوء: في بعض الظواهر مثل الحيود يسلك سلوك الأمواج، وفي ظواهر أخرى مثل ظاهرة التأثير الكهروضوئي فإنه يسلك سلوك الجسيمات
فرضية دي برولي: الجسيمات المادية مثل الإلكترونات تمتلك خصائص موجية تصاحب حركتها، حيث يتناسب الطول الموجي لها عكسياً مع الزخم
مبدأ اللا يقين: من المستحيل قياس موقع الجسم وزخمه في اللحظة نفسها وبدقة عالية، فكلما كانت دقة القياس لزخمه عالية، قلت الدقة في تحديد الموقع، والعكس صحيح

معاينة موضوع «نظرية الكم» من وحدة «الفيزياء الحديثة» في مادة الفيزياء. أقسام الشرح: ٢٨، التعريفات: ١٠، الأسئلة المحلولة: ١٩.

المصدر: وزارة التربية والتعليم العالي الفلسطينية، نظرية الكم (ص ١٥٠–١٦٩)

موضوعات أخرى في الوحدة

بنية النواة والإشعاع النووي

شرح الموضوع

نظرية الكم

لماذا احتاجت الفيزياء إلى نظرية جديدة؟

نشاط (9-1): ألوان التوهج

1-9 إشعاع الجسم الأسود

لماذا يتوهج الجسم الساخن بألوان مختلفة؟

مثال (1)

الفيزياء الكلاسيكية وإشعاع الجسم الأسود

رايلي وجينز: أين فشلت الفيزياء الكلاسيكية؟

⁦b-1-9⁩ نظرية الكم

بلانك: الطاقة تأتي في حزم

2-9 تكميم الضوء

آينشتاين: الضوء نفسه فوتونات

مثال (2)

مثال (3)

3-9 ظاهرة التأثير الكهروضوئي

كيف يحرر الضوء الإلكترونات من الفلز؟

الخلية الكهروضوئية: ماذا يقيس الأميتر؟

الموجة أم الفوتون: من يفسر الظاهرة؟

من أين تأتي الطاقة الحركية للإلكترون المتحرر؟

أناقش:

مثال (4)

اقتران الشغل في الحساب وفي الحياة

التطبيقات العملية على الظاهرة الكهروضوئية

أفكر

4-9 النماذج الذرية

من كرة مصمتة إلى نواة صغيرة وفراغ

⁦a-4-9⁩ نموذج بور لذرة الهيدروجين

فروض بور الأربعة

⁦4-9b⁩ تطبيقات نموذج بور على ذرة الهيدروجين

ماذا يحسب نموذج بور؟

2- حساب الطاقة الكلية للإلكترون في مداره

3- حساب الطول الموجي للأطياف المنبعثة من ذرة الهيدروجين

⁦4-9c⁩ طيف ذرة الهيدروجين

خطوط الطيف: بالمر وليمان وباشن

مثال (5)

5-9 الطبيعة الموجية للأجسام

هل للجسيمات طبيعة موجية أيضاً؟

مثال (6)

مثال (7)

6-9 موجات الإلكترون

الإلكترون موجة موقوفة حول النواة

7-9 مبدأ اللا يقين

لماذا لا نقيس الموقع والزخم معاً بدقة؟

مثال (8)

أسئلة الفصل:

أسئلة الفصل: جرّب بنفسك

تعريفات أساسية

موضوعات أخرى في الوحدة

تابع الدراسة