الحركة الدورانية

• المقارنة بين متغيرات الحركة الخطية ومتغيرات الحركة الدورانية والعلاقة بينها (الموضع، والسرعة، والتسارع، والقوة، وعزم القوة).
• تحديد المقصود بالقصور الدوراني لجسم جاسئ.
• المقارنة بين مفهومي كتلة القصور والقصور الدوراني.
• تطبيق القانون الثاني لنيوتن في الحركة الدورانية لحل مسائل عددية.
• تفسير بعض التطبيقات العملية على الحركة الدورانية.
• تحديد المقصود بالزخم الزاوي.
• تحديد المقصود بالطاقة الحركية الدورانية.

القوة المركزية: ما الذي يُبقي الجسم في مسار دائري؟

إن قصور السيارة الذاتي يحافظ على سيرها في خط مستقيم، إلا أن قوة الشد في الخيط تمانع هذا الميل فتخضعها للحركة في مسار دائري.

• التسارع المركزي: كرة كتلتها $m$ مربوطة بخيط تدور في مسار دائري أفقي نصف قطره $r$ بسرعة ثابتة $v$.
• اتجاه السرعة يتغير باستمرار أثناء الحركة، فيتسارع الجسم نحو المركز.

• القصور الذاتي يحافظ على سير الجسم في خط مستقيم.
• قوة الشد في الخيط تمانع هذا الميل فتخضعه للحركة في مسار دائري.
• مقدار القوة في الاتجاه المركزي يُعطى بالقانون الثاني لنيوتن.

• وبتعويض $v = \omega r$ في $F_c = m \frac{v^2}{r}$، حيث $\omega$: السرعة الزاوية.

أذكر أمثلة على قوى مركزية في الطبيعة.

العزم: لماذا يهمّ مكان تأثير القوة؟

نؤثر في بعض الأحيان بقوة على جسم فتسبب له دوراناً بدلاً من تحريكه في خط مستقيم

• القوة $F_A$: كلما كان مقدارها كبيراً فتح الباب أسرع.
• القوة $F_B$ بالمقدار نفسه عند نقطة أخرى: لا يفتح الباب بهذه السرعة، فأثر القوة أقل.
• التسارع الزاوي للباب يتناسب طردياً مع مقدار القوة المؤثرة، ومع المسافة العمودية من محور الدوران إلى الخط الذي تؤثر القوة في امتداده.

• التسارع الزاوي $\alpha$ لجسم ما يتناسب طردياً مع عزم الدوران المحصل $\tau$.
• في الشكل (3-2) نناقش: محور دوران الجسم، ونقطة تأثير القوة، وبُعد محور الدوران عن نقطة تأثيرها، والزاوية $\theta$، و$r \sin \theta$.
• ثم نحدد على الرسم مركبتي القوة ($F$)، $r \sin \theta$ و $r \cos \theta$.

حدد العوامل التي يعتمد عليها عزم القوة ($\tau$)

استنتج وحدة قياس عزم القوة.

هناك تشابه بين وحدة قياس عزم القوة ووحدة قياس الشغل كيف تفرق بينهما؟

هل عزم القوة كمية قياسية أم كمية متجهة؟

كيف نحدد اتجاه عزم القوة؟

• قاعدة اليد اليمنى: اجعل اتجاه الأصابع باتجاه متجه الموضع $r$، وأدر الأصابع باتجاه المتجه الثاني (القوة) بأصغر زاوية، فيشير الإبهام إلى متجه $\tau$.
• عند إدارة البرغي مع عقارب الساعة يتجه العزم داخل الورقة، وعكس عقارب الساعة يتجه خارج الورقة.
• اتجاه العزم ليس اتجاه الدوران.

القصور الدوراني: لماذا تصعب إدارة العجلة وإيقافها؟

حاول أن تدير عجلة دراجة هوائية حول محورها من السكون، استمر في إدارتها، ثم حاول إيقافها.

• تشعر بصعوبة عند بدء إدارة العجلة، وتشعر بصعوبة عند محاولة إيقافها.

• جسم نقطي كتلته $m$ يتحرك في مسار دائري طول نصف قطره $r$: يعين قصوره الدوراني من العلاقة الآتية.

• وهو مقدار موجب دائماً.
• العلاقة السابقة صحيحة لجسم أبعاده صغيرة بالنسبة لبعده عن محور الدوران.
• لمنظومة جسيمات يمثل القصور الدوراني المجموع: حاصل جمع الكتل جميعها مضروباً في مربع المسافة من محور الدوران.
• إذا أشرنا إلى الجسيمات برقم (1,2,3) فإن:

• جسم صلب كبير: يحسب قصوره الدوراني عن طريق التكامل، مثل: كرة، أسطوانة، سلك رفيع.

ما وحدات قياس القصور الدوراني؟

هل القصور الدوراني كمية فيزيائية قياسية أم متجهة؟

كيف يتناسب القصور الدوراني لجسم مع كل من كتلة الجسم ونصف قطر الدوران؟

كرتان متجانستان مصمتتان من مادتين مختلفتين لهما الكتلة نفسها، طول نصف قطر الأولى مثلي طول نصف قطر الثانية ($2r_2 = r_1$)، والقصور الدوراني حول محور مار من مركز كل منهما ($I_1$ ، $I_2$) على الترتيب، فإن $I_1$ يساوي:

أ. $32 I_2$ ب. $8 I_2$ جـ. $4 I_2$ د. $\frac{1}{4} I_2$

ما القصور الدوراني لأربع كتل متماثلة قيمة الواحدة منها ($3 \text{ kg}$) موضوعة على رؤوس مستطيل بعداه ($30 \text{ cm} - 40 \text{ cm}$) بالنسبة لمحور عمودي عليه يمر في مركزه بوحدة ($\text{kg.m}^2$)؟

أ. $0.75$ ب. $7.5$ جـ. $75$ د. $300$

ساق مهملة الكتلة طولها ($1 \text{ m}$) يوجد على كل طرف من أطرافها كتلة ($5 \text{ kg}$) ما القصور الدوراني عند أحد أطرافها بوحدة ($\text{kg.m}^2$)؟

أ. $10$ ب. $7.5$ جـ. $5$ د. $2.5$

مسطرة طولها ($1 \text{ m}$) وكتلتها ($0.3 \text{ kg}$) ما الفرق بين القصور الدوراني حول محور عمودي عند الطرف والقصور الدوراني حول محور عمودي عند المركز (استعن بالجدول 1) أ. $0.125$ ب. $0.1$ جـ. $0.075$ د. $0.025$

ما القصور الدوراني بوحدة ($\text{kg.m}^2$) لأربع كتل متماثلة قيمة الواحدة منها ($5 \text{ kg}$) موضوعة على رؤوس مربع طول ضلعه ($0.5 \text{ m}$) بالنسبة لمحور عمودي عليه في مركزه؟

أ. $0.125$ ب. $1.25$ جـ. $2.5$ د. $5$

س8: احسب القصور الدوراني لكل شكل من الأشكال الموضحة بالرسم:

أ. قرص متجانس كتلته ($1 \text{ kg}$) ونصف قطره ($20 \text{ cm}$) عندما يدور على محور يمر من المركز عمودياً على مستواه، علماً بأن ($I = \frac{1}{2} mR^2$) ب. ساق متجانسة كتلتها ($M$) وطولها ($L$) مثبت على كل طرف من أطرافها كتلة نقطية ($m$) كما هو موضح في الشكل عندما تدور حول محور عمودي يمر من المركز ($I = \frac{1}{12} ML^2$، حيث $m = M$) (الشكل غير متوفر في البيانات)

• نستنتج أن القصور الدوراني لنظام معين يختلف باختلاف محاور الدوران.

القانون الثاني للدوران: كيف يرتبط العزم بالتسارع الزاوي؟

• جسم كتلته $m$ يدور في مسار دائري نصف قطره $r$ تحت تأثير قوة مماسية $F_t$؛ فتتولد أيضاً قوة مركزية $F_c$.
• القوة المماسية تعطى حسب القانون الثاني لنيوتن بالعلاقة $F_t = m a_t$، حيث $a_t$ تمثل التسارع المماسي.

• العزم الناتج: $\tau = F_t r = (m a_t) r$
• ويرتبط التسارع الخطي بالتسارع الزاوي من العلاقة: $a_t = r \alpha$
• $\tau = (mr \alpha) r = (mr^2) \alpha$

• نلاحظ التناظر الواضح بين الحركة الانتقالية والحركة الدورانية.

• قد يدور الجسم حول محور ما تحت تأثير عزم ما بسهولة، ولا يدور حول محور آخر تحت تأثير نفس العزم، لاختلاف القصور الدوراني بالنسبة لكل واحد منهما.
• لجسم جاسئ يدور، يمكن تطبيق المعادلة (3-2) لكل جسيم ثم نجد مجموع عزوم الدوران الناتجة عن كل جسيم.

• القصور الدوراني لا يعتمد على الكتلة فحسب، بل على كيفية توزيع هذه الكتلة بالنسبة إلى المحور أيضاً.
• أسطوانة ذات قطر كبير لها قصور أكبر من أخرى مساوية لها في الكتلة بقطر أصغر؛ فالأولى أصعب في البدء في الدوران وعند الوقوف.
• عندما تتوزع الكتلة بعيداً عن محور الدوران، فإن القصور الدوراني سيكون أكبر.
• في الحركة الدورانية لا يمكن اعتبار الكتلة كما لو أنها مركزة في مركز الكتلة.

الطاقة الحركية الدورانية: ماذا تعطي السرعة الزاوية؟

• تعلمت أن طاقة الحركة تعطى من العلاقة $K = \frac{1}{2} mv^2$، ولكن السرعة الخطية $v = \omega r$.
• وبالتعويض عن السرعة $v$ ينتج أن $K = \frac{1}{2} mr^2 \omega^2$.
• لكن القصور الدوراني للجسم النقطي بالنسبة لمحور الدوران $I = mr^2$.

• التناظر: الطاقة الحركية هي نصف حاصل ضرب الممانعة في مربع السرعة في كلتا الحالتين: الانتقالية والدورانية.

1. حدّد عزم كل قوة: اعتمد على اتجاه القوة وذراعها، وحدّد اتجاه كل عزم بقاعدة اليد اليمنى.
2. احسب التسارع الزاوي: اجمع العزوم لتجد العزم المحصل، ثم اقسمه على القصور الدوراني.
3. احسب السرعة الزاوية: طبّق معادلة الحركة بتسارع زاوي ثابت لتجد السرعة الزاوية في اللحظة المطلوبة.
4. احسب الطاقة: عوّض السرعة الزاوية والقصور الدوراني في معادلة الطاقة الحركية الدورانية.

الزخم الزاوي: ماذا يقيس دوران الجسم؟

• لجسيم نقطي كتلته $m$ يتحرك بسرعة $v$ بالنسبة لمحور يبعد عن الجسيم المسافة المحددة بالمتجه $r$ (مقاساً من محور الدوران إلى الجسيم).

• حيث $p = mv$ (الزخم الخطي للجسيم)، والزخم الزاوي $L = mvr$.
• ولكن $v = \omega r$، وبالتعويض في $L = mvr$ نحصل على $L = mr^2 \omega$، وبالتعويض عن $mr^2 = I$ نحصل على علاقة الزخم الزاوي.

• من التماثل بين الحركتين الدورانية والانتقالية: صيغة القانون الثاني لنيوتن بدلالة التغير في الزخم الخطي هي $F_{net} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.

• $\tau_{net}$: العزم الكلي الذي يعمل على تدوير الجسم.
• $\Delta L$: التغير في الزخم الزاوي خلال الفترة الزمنية.
• أي أن محصلة العزوم المؤثرة في جسم يتحرك دورانياً حول محور تساوي المعدل الزمني للتغير في الزخم الزاوي.

ما وحدة قياس الزخم الزاوي في النظام الدولي؟

كيف يمكن تعيين اتجاه الزخم الزاوي؟

منشار على شكل قرص مستدير يستخدم لقطع الأحجار يدور بسرعة منتظمة حول محور يمر من مركزه وعمودي على وجهيه، فإذا كان ينجز $100$ دورة في ثلث دقيقة وكان قصوره الدوراني $7\ \text{kg.m}^2$ فما مقدار كل من:

أ. سرعته الزاوية، ب. الزخم الزاوي

سؤال: يدور قمر صناعي كتلته ($3 \times 10^3 \text{ kg}$) حول الأرض بسرعة مماسية (خطية) مقدارها $8 \times 10^3 \text{ m/s}$، وفي مسار دائري نصف قطره ($7 \times 10^6 \text{ m}$). احسب كلاً من:

أ. السرعة الزاوية للقمر الصناعي.

ب. الزخم الزاوي للقمر الصناعي.

س2: عرف المفاهيم الآتية: العزم الدوراني، والقصور الدوراني، والزخم الزاوي، وحفظ الزخم الزاوي.

س3: قارن بين الزخم الخطي والزخم الزاوي من حيث التعريف ونوع الكمية والعلاقة الرياضية ووحدة القياس والعوامل المؤثرة في كل منهما.

س6: يتناقص الزخم الزاوي لإطار قصوره الدوراني $0.12 \text{ kg.m}^2$ من $3 \text{ kg.m}^2/\text{s}$ إلى $2 \text{ kg.m}^2/\text{s}$ خلال $1.5 \text{ s}$، احسب كلاً من:

أ. متوسط العزم المؤثر على الإطار.

ب. عدد الدورات التي دارها خلال هذه المدة الزمنية.

س7: تدور نقطة مادية كتلتها ($100 \text{ g}$) على بعد ثابت من محور دوران، بسرعة زاوية ثابتة ($\frac{5}{\pi} \text{ rev/s}$)، فإذا كان قصورها الدوراني حول ذلك المحور ($0.001 \text{ kg.m}^2$). احسب كلاً من:

أ. بعد النقطة المادية عن محور الدوران.

ب. السرعة الخطية للنقطة.

جـ. الزخم الخطي للنقطة أثناء دورانها.

د. الزخم الزاوي لهذه النقطة حول محور الدوران.

هـ. الطاقة الحركية لهذه النقطة أثناء دورانها.

كرة مصمتة نصف قطرها ($10 \text{ cm}$) وكتلتها ($1 \text{ kg}$) والقصور الدوراني لها ($I = \frac{2}{5} mr^2$)، فكم تساوي سرعتها الزاوية بوحدة ($\text{rad/s}$) عندما يبلغ زخمها الزاوي ($L = 5 \times 10^{-2} \text{ kg.m}^2\text{.rad/s}$) حول محور مار من مركزها؟

أ. $25$ ب. $12.5$ جـ. $2$ د. $2 \times 10^{-2}$

مسطرة طولها ($50 \text{ cm}$) وكتلتها ($0.2 \text{ kg}$) ما الزخم الزاوي للمسطرة عندما تدور بسرعة زاوية ($\omega = 3 \text{ rad/s}$) حول محور عمودي عند الطرف (استعن بالجدول 1)؟

أ. $0.25$ ب. $0.05$ جـ. $0.75$ د. $1$

جسمان $A$، $B$ لهما القصور الدوراني نفسه، إذا كان زخم $A$ الزاوي مثلي زخم $B$ الزاوي فإن:

أ. $K_A = 2K_B$ ب. $K_A = 4K_B$ جـ. $K_A = \frac{1}{2} K_B$ د. $K_A = \frac{1}{4} K_B$

جسمان ($A$ , $B$) فإذا كان ($I_B = 2 I_A$) وكان ($K_B = 8 K_A$) فكم يساوي الزخم الزاوي ($L_B$)؟

أ. $2 L_A$ ب. $4 L_A$ جـ. $8 L_A$ د. $16 L_A$

حفظ الزخم الزاوي: متى يبقى الزخم الزاوي ثابتاً؟

• للزخم الزاوي دور مهم لأنه تحت شروط معينة يكون كمية محفوظة.
• من المعادلة (3-11) نستنتج أنه إذا كان العزم الكلي يساوي صفراً فإن:

• من شروط حفظ الزخم الزاوي:
• أن تكون محصلة العزوم المؤثرة على الجسم أو المنظومة تساوي صفراً.
• أن يبقى محور الدوران ثابتاً من دون تغيير.

يقوم الغطاس عند القفز بثني جسمه، وضم صدره إلى ركبتيه، وعندما يقترب من الماء يقوم بفرد جسمه، لماذا؟

اذكر تطبيقات أخرى.

ما أهمية قانون حفظ الزخم الزاوي في الكون المحيط؟

س4: فسر ما يأتي:

أ. ازدياد السرعة الزاوية لراقص على الجليد عندما يضم يديه إلى صدره.

ب. يثبت دولاب معدني قطره كبير وكتلته كبيرة نسبياً على جذع بعض الآلات.

س9: يدور إطار قصوره الدوراني ($I = 0.1 \text{ kg.m}^2$) بسرعة زاوية ($900 \text{ rev/min}$)، عندما يُوصل بمحور دورانه إطار آخر ساكن قصوره الدوراني ($I_2$)، احسب:

أ. السرعة الزاوية للإطارين معاً.

ب. مقدار التغير في الطاقة الحركية للنظام.

س13: يقف رجل على منصة تدور بسرعة زاوية ($1 \text{ rev/s}$) حاملاً في يديه الممدودتين كتلتين متماثلتين، ثم يضم يديه لصدره ليتناقص قصوره الدوراني من ($6 \text{ kg.m}^2$) إلى ($2 \text{ kg.m}^2$)، احسب ما يأتي:

أ. سرعته الزاوية بعد ضم يديه لصدره.

ب. التغير في طاقته الحركية.

س15: يدور قرصان مختلفان في نصف القطر ($r_1, r_2$) منفصلان حول محور واحد بسرعتين زاويتين ($\omega_1, \omega_2$) وقصورهما الدوراني ($I_1, I_2$) على الترتيب، يُدفعان بقوتين ($F_1, F_2$) حتى يلتصقا فيصبحا جسماً واحداً على محور الدوران نفسه.

ما السرعة الزاوية التي سيدور بها القرصان معاً؟

1. تحقّق من الشرطين: محصلة العزوم الخارجية صفر ومحور الدوران ثابت، فيُحفظ الزخم الزاوي.
2. اكتب الحفظ: ساوِ الزخم الزاوي قبل الحدث بالزخم الزاوي بعده.
3. عوّض عن القصور الدوراني: اختر علاقة القصور الدوراني المناسبة لشكل الجسم ولبعده عن المحور.
4. احسب المجهول: حلّ المعادلة لتجد السرعة الزاوية أو الخطية بعد الحدث.

س10: قرص دائري نصف قطره $10 \text{ cm}$، والقصور الدوراني له $0.02 \text{ kg.m}^2$ أثرت قوة مماسية مقدارها $15 \text{ N}$ على محيطه. ما التسارع الزاوي للقرص؟ وما التسارع المماسي له؟

س14: مسطرة طولها ($1 \text{ m}$) وكتلتها ($0.3 \text{ kg}$)، تؤثر عليها قوة عمودية ($5 \text{ N}$) عند أحد أطرافها، فإذا دارت في مستوى أفقي حول محور عمودي يمر من مركزها ⁦(O)⁩ مرة وحول محور عمودي يمر بطرفها الآخر ⁦(p)⁩ مرة ثانية، كما هو موضح في الشكل المجاور.

احسب التسارع الزاوي عند كل محور من محاور الدوران.

الطاقة الحركية الدورانية لجسم يدور حول محور ثابت تتناسب:

أ. طردياً مع السرعة الزاوية ($\omega$) ب. عكسياً مع مربع السرعة الزاوية ($\omega^2$) جـ. طردياً مع مربع السرعة الزاوية ($\omega^2$) د. عكسياً مع القصور الدوراني للجسم $I$

جسم يتحرك دورانياً بسرعة زاوية ($\omega_1$) وطاقته الحركية ($K_1$) فإذا تضاعفت سرعته الزاوية، فما العلاقة التي تصف طاقته الحركية الدورانية ($K_2$)؟

أ. $K_2 = 4 K_1$ ب. $K_2 = 3 K_1$ جـ. $K_2 = 2 K_1$ د. $K_2 = K_1$

أسطوانة وقرص مصمتان لهما الكتلة نفسها ($M$) ويدوران بالسرعة الزاوية نفسها حول محور الأسطوانة الطولي ($XX$) كما هو موضح في الشكل، فإذا كان لهما الطاقة الحركية الدورانية نفسها، فما النسبة بين نصفي قطريهما ($\frac{r}{R}$) أ. $\frac{1}{4}$ ب. $\frac{1}{2}$ جـ. $\sqrt{2}$ د. $1$ (الشكل غير متوفر في البيانات)

س5: يدور قرص كتلته $50 \text{ kg}$ ونصف قطره $0.5 \text{ m}$ بسرعة زاوية $300 \text{ rev/min}$ إذا توقفت خلال $10 \text{ s}$، جد كلاً من:

أ. طاقته الحركية الدورانية الابتدائية.

ب. العزم اللازم لإيقاف القرص (إذا علمت أن القصور الدوراني للقرص يساوي $\frac{1}{2} mR^2$)

س12: عجلة الدراجة الهوائية الموضحة في الشكل المجاور، طول قطرها ($60 \text{ cm}$) وكتلة محيطها ($1 \text{ kg}$) وكتلة كل قطر فيها ($0.4 \text{ kg}$) وتدور بسرعة زاوية ($1 \text{ rev/s} = \omega$). احسب كلاً من:

القصور الدوراني.

الزخم الزاوي.

طاقة الحركة الدورانية لها.

إذا كانت تدور حول محور عمودي عليه عند مركزها.

أي الكميات الآتية محفوظة دائماً في أية عملية تلاصق لمنظومة أجسام تتحرك دورانياً حول محور ثابت؟

أ. الطاقة الحركية الدورانية ب. الزخم الزاوي جـ. السرعة الزاوية د. العزم الدوراني

يدور إطار قصوره الدوراني ($I$) بسرعة زاوية ($\omega_1$)، عندما يوصل بمحور دورانه إطار آخر ساكن قصوره الدوراني ($3I$). ما العلاقة التي تصف السرعة الزاوية للنظام ($\omega_2$)؟

أ. $\omega_1 = \omega_2$ ب. $\omega_1 = 2 \omega_2$ جـ. $\omega_1 = 3 \omega_2$ د. $\omega_1 = 4 \omega_2$

المتزلجة: لماذا تدور أسرع عند ضمّ ذراعيها؟

فماذا يحدث لسرعة الدوران عندما يقل القصور الدوراني؟

س3: جسم كتلته $5 \text{ kg}$ يتحرك في خط مستقيم أفقي بسرعة $20 \text{ m/s}$ على سطح أملس، فإذا اصطدم به عمودياً جسم آخر كتلته $10 \text{ kg}$ بسرعة $30 \text{ m/s}$، والتصق الجسمان وسارا معاً بالسرعة نفسها.

فما هي سرعة الجسمين الملتصقين بعد التصادم مباشرة.

س5: تطلق رصاصة كتلتها $8 \text{ g}$ في اتجاه أفقي وتنغرز في جسم خشبي كتلته $9 \text{ kg}$ معلق رأسياً في خيط طوله $50 \text{ cm}$ فتحرك الجسمان معاً بسرعة $0.4 \text{ m/s}$، ما السرعة الابتدائية للرصاصة.

س6: جسم كتلته $2 \text{ kg}$ يتحرك بسرعة $4 \text{ m/s}$ باتجاه المحور السيني الموجب تصادم تصادماً مرناً مع جسم آخر ساكن، وبعد التصادم تحرك الجسم الثاني بسرعة $5 \text{ m/s}$ بالاتجاه السيني الموجب. احسب كلاً من:

2- سرعة الجسم الأول بعد التصادم مباشرة س7: أرسى الصيادان محمد وأحمد زورق الصيد فإذا تحرك محمد الذي كتلته ($80 \text{ kg}$) إلى الأمام بسرعة ($4 \text{ m/s}$) عند مغادرة الزورق، فما مقدار واتجاه سرعة الزورق وأحمد إذا كانت كتلتاهما معاً تساوي ($150 \text{ kg}$)؟

س8: إذا تحرك جزيء نيتروجين كتلته ($4.7 \times 10^{-26} \text{ kg}$) بسرعة ($550 \text{ m/s}$) واصطدم بجدار الإناء الذي يحويه مرتداً إلى الوراء بمقدار السرعة نفسها احسب ما يأتي:

أ. ما الدفع الذي أثر به الجزيء في الجدار؟

ب. إذا حدث ($1.5 \times 10^{23}$) تصادم كل ثانية، فما متوسط القوة المؤثرة في الجدار؟

س9: تتسارع سيارة سباق كتلتها ($845 \text{ kg}$) من السكون إلى ($72 \text{ km/h}$) خلال ($0.9 \text{ s}$).

أ. ما التغير في زخم السيارة؟

ب. ما متوسط القوة المؤثرة في السيارة؟

س10: يركب أحمد الذي كتلته ($42 \text{ kg}$) لوح تزلج كتلته ($2 \text{ kg}$)، ويتحركان بسرعة ($1.2 \text{ m/s}$) فإذا قفز أحمد عن اللوح، وتوقف لوح التزلج تماماً في مكانه، فما مقدار سرعة قفزه؟ وما اتجاهه؟

س11: يقف متزلجان أحدهما مقابل الآخر، ويتدافعان بالأيدي، فإذا كانت كتلة الأول ($90 \text{ kg}$) وكتلة الثاني ($60 \text{ kg}$)، أجب عن الأسئلة الآتية:

أ. جد النسبة بين سرعتي المتزلجين في اللحظة التي أفلتا فيها أيديهما.