ملخصات رياضيات الأعمال توجيهي الأردن

مقدمة في المصفوفات

أنواع خاصة من المصفوفات

• تُسمّى المصفوفة التي تتكوّن من صف واحد وعدد من الأعمدة row matrix، مثل المصفوفة: A = [2 - 4 0 7].
• تُسمّى المصفوفة التي تتكوّن من عمود واحد وعدّة صفوف column matrix، مثل المصفوفة: B = bmatrix 8 3 -4 bmatrix
• تُسمّى المصفوفة التي يتساوى فيها عدد الصفوف وعدد الأعمدة square matrix، مثل المصفوفة: C = bmatrix 2 4 0 5 1 8 7 2 4 bmatrix
• تُسمّى المصفوفة التي يكون جميع عناصرها أصفاراً zero matrix، مثل المصفوفة: D = bmatrix 0 0 0 0 0 0 bmatrix
• المصفوفتان غير مُساويتين لاختلاف رتبتيهما: bmatrix 1 2 4 0 3 1 bmatrix ≠bmatrix 1 0 2 3 4 1 bmatrix
• المصفوفتان غير مُساويتين لعدم تساوي جميع العناصر المُتناظرة فيهما: bmatrix 2 4 0 1 bmatrix ≠bmatrix 2 4 1 0 bmatrix

العمليات على المصفوفات

مفهوم أساسي

• تكون المصفوفتان A و B من الرتبة n ×m.
• تمثل المصفوفة A + B مصفوفة من الرتبة n ×m.
• يساوي كل عنصر في المصفوفة الناتجة مجموع العنصرين اللذين يناظرانه في المصفوفتين.
• تمثل المصفوفة A - B مصفوفة من الرتبة n ×m.
• يساوي كل عنصر في المصفوفة الناتجة ناتج طرح العنصرين المناظرين له في المصفوفة A والمصفوفة B.
• تكون المصفوفات A و B كما يأتي: A = bmatrix a₁₁ a₁₂ ⋯ a₁n a₂₁ a₂₂ ⋯ a₂n am1 am2 ⋯ amn bmatrix, B = bmatrix b₁₁ b₁₂ ⋯ b₁n b₂₁ b₂₂ ⋯ b₂n bm1 bm2 ⋯ bmn bmatrix

ضرب المصفوفات

شروط ضرب المصفوفات

• يُمكن ضرب مصفوفتين إذا وفقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة الأولى مُساوياً لعدد صفوف المصفوفة الثانية.
• تُضرب المصفوفة A التي رتبتها n ×m في المصفوفة B التي رتبتها r ×n.
• تكون رتبة المصفوفة الناتجة A ×B هي: r ×m
• إذا كانت A مصفوفة من الرتبة n ×m، وكانت B مصفوفة من الرتبة p ×n.
• يساوي العنصر الواقع في الصف i والعمود j في المصفوفة A × B مجموع نواتج ضرب عناصر الصف i من المصفوفة A في العناصر المُتناظرة لها في العمود j من المصفوفة B.
• إذا كانت الرموز كما يلي: A = bmatrix a₁₁ a₁₂ ⋯ a₁n a₂₁ a₂₂ ⋯ a₂n am1 am2 ⋯ amn bmatrix, B = bmatrix b₁₁ b₁₂ ⋯ b₁p b₂₁ b₂₂ ⋯ b₂p bn1 bn2 ⋯ bnp bmatrix

المحددات وقاعدة كريمر

الطريقة 2: باستعمال مُحدِّدة المصفوفة 2 ×2

• |A| = vmatrix a b c d e f g h i vmatrix = a vmatrix e f h i vmatrix - b vmatrix d f g i vmatrix + c vmatrix d e g h vmatrix
• أُعيد كتابة العمود الأوّل والعمود الثاني على يمين المُحدِّدة.
• أجد ناتج ضرب عناصر الأقطار ومُوازياتها.
• أجد مجموع نواتج الضرب في كل مجموعة.
• أجد قيمة المُحدِّدة بطرح المجموع الثاني من المجموع الأوّل.

النظير الضربي للمصفوفة

مصفوفة الوحدة، والنظير الضربي للمصفوفة

• ناتج ضرب أيّ عدد حقيقي في العدد 1 هو العدد نفسه.
• يُحقق العدد 1 هذه الخاصية لأن: 1(x) = x(1) = x
• يُسمَّى العدد 1 عنصرًا مُحايدًا لعملية ضرب الأعداد الحقيقية.
• توجد مصفوفة مُربَّعة تُسمَّى مصفوفة الوحدة (identity matrix).
• يُرمَز إلى مصفوفة الوحدة بالرمز I.
• يكون جميع عناصر القُطر الرئيس في مصفوفة الوحدة 1.

الخوارزميات

• فكرة الدرس هي تعرُّف خوارزميات مُعطاة بالكلمات والرموز وتطبيقها.
• يتضمن الدرس تعرُّف خوارزمية مُخطَّط سَيْر العمليات وتطبيقها.
• تشمل المصطلحات الواردة في الدرس: الخوارزمية، الطريقة شبه الرمزية، جدول التتبُّع، مُخطَّطات سَيْر العمليات.
• تطرح مسألة اليوم تساؤلاً حول كيفية التعبير بطريقة مُنظَّمة عن خطوات ضرب أي عدد من ثلاث منازل في أي عدد من منزلة واحدة.
• تتساءل المسألة عما إذا كانت توجد أكثر من طريقة لذلك.
• تعلَّمتُ في مبحث المهارات الرقمية أنَّ الخوارزمية (algorithm) مجموعة من التعليمات أو الخطوات المُُنظَّمة التي تُحدِّد كيفية حَلَّ مشكلة مُعيَّنة.

خوارزميات تعبئة الصندوق

خوارزمية المُلائمة الأولى

• إيجاد الحدِّ الأدنى من عدد الصناديق اللازمة.
• اتِّباع ترتيب العناصر (العُلَب) المُعطى في المسألة.
• وضع كل عنصر في أوَّل صندوق مُتوافر يتَّسع له، بدءًا بالصندوق الأوَّل في كل مرَّة.
• في حال لم يتَّسع أي صندوق للعنصر الذي يُراد وضعه، فإنَّه يجب إضافة صندوق آخر.
• يبلغ عدد الصناديق اللازمة لتعبئة العُلَب باستعمال المُلائمة الأولى 5 صناديق.
• هل توصَّلتُ إلى الحَلَّ الأمثل لهذه المسألة؟

المخططات

رؤوس المُخطط وحافاته

• تُمثّل مجموعة الرؤوس (vertices set) مجموعة تحوي جميع رؤوس المُخطط.
• تحتوي مجموعة رؤوس المُخطط R المجاور على العناصر الآتية: (A, B, C, E)
• تُمثّل مجموعة الحافات (edges set) مجموعة تحوي جميع حافات المُخطط.
• تحتوي مجموعة حافات المُخطط R على العناصر الآتية: (AB, AE, BC, BE, CE)
• يُعبّر الرمز AB عن الحافة بين الرأس A والرأس B.
• تُمثّل درجة الرأس (degree of the vertex) عدداً يُعبّر عن عدد الحافات التي تلتقي عند الرأس.

أنواع خاصة من المخططات

خوارزمية برايم

• يُمكن إيجاد أصغر شجرة شاملة لمُخطّط متصل موزون باستعمال خوارزمية برايم.
• يتمّ اختيار أيّ رأس في المُخطّط لبدء رسم الشجرة.
• يتمّ تحديد أقل حافة وزنًا تربط بين رأس موجود في الشجرة ورأس لم يُضف بعدُ إلى الشجرة.
• يُمكن اختيار أيّ حافة في حال وجود حافات عديدة لها الوزن نفسه.
• لا تُضاف الحافة إلى الشجرة إذا شكّلت دارة.
• يتمّ تكرار الخطوة الثانية حتى تكتمل إضافة جميع الرؤوس وربطها بالشجرة.

مخططات أويلر

خوارزمية فحص المسار الأويلري للمخطّطات غير الأويلرية ولا شبه الأويلرية

• تحديد الرؤوس ذات الدرجات الفردية في المخطّط.
• تحديد الطرائق المختلفة لإضافة حافات بين الرؤوس ذات الدرجات الفردية (حتى تصبح درجات جميع الرؤوس زوجية)، ثمّ إيجاد مجموع أوزان الحافات المضافة في كل طريقة.
• اختيار الطريقة التي أُضيفت فيها حافات إلى المخطّط وزنها أقل ما يُمكن، ثمّ إضافة هذه الحافات إلى المخطّط.
• إيجاد الوزن الكلي للمخطّط الناتج الذي يساوي طول أقصر مسار أويلري في المخطّط.

حل نظام متباينات خطية بمتغيّرين بيانيا

Solving System of Linear Inequalities in Two Variables Graphically

• x + y -1
• x - 3y ≤-2

البرمجة الخطية

إرشاد

• الاقتران الهدف: يكون في صورة: P = ax + by، حيث:
• القيود: نظام من المتباينات الخطية، وهي تُكتب بدلالة المتغيرين x, y، وتُحدِّد منطقة الحلول الممكنة كما في الشكل المجاور.
• صياغة الفرضيات، وكتابة اقتران الهدف الذي يُراد إيجاد قيمته العظمى أو قيمته الصغرى، ثمَّ تحديد القيود.
• تمثيل نظام المتباينات بيانيًا، ثمَّ تظليل منطقة الحلول الممكنة.
• تحديد إحداثيات رؤوس منطقة الحلول الممكنة، وذلك بإيجاد نقاط تقاطع المستقيمات الحدودية عند تلك الرؤوس.
• اختيار القيمة العظمى أو القيمة الصغرى وفقًا لما هو مطلوب في المسألة، وذلك بتعويض إحداثيات الرؤوس في اقتران الهدف.

الارتباط والانحدار

أتذّكر

• أصف الارتباط بين بُعد الشقة عن مركز المدينة التجاري والإيجار الشهري، ثمَّ أُفسّره.
• يُعطى معامل ارتباط بيرسون بين n من أزواج المشاهدات للمُتغيّر x والمُتغيّر y بالصيغة الآتية:
• r = (Sxy)/(√(Sxx S_yy))
• تُحسب قيم المتغيرات المكونة للصيغة وفق المعادلات الآتية:
• Sxx = Σxi² - ((Σx_i)²)/n
• Syy = Σyi² - ((Σy_i)²)/n

السلاسل الزمنية

السلاسل الزمنية وتمثيلها بيانياً

• تُعرَّف السلسلة الزمنية (time series) بأنها تسلسل من البيانات التي تُجمع أو تُدوّن عند نقاط زمنية مُتتابعة.
• تكون هذه البيانات عادةً على فترات مُنتظمة مثل كل ساعة، أو يوم، أو شهر، أو سنة.
• تُستعمل هذه السلاسل في العديد من المجالات، لا سيّما الاقتصادية والبيئية والطبية؛ لما تُوفّره من قدرة على تحليل التغيّرات بمرور الزمن.
• تشمل الأمثلة الشائعة على السلاسل الزمنية سعر إغلاق أحد الأسهم يومياً على مدار سنة كاملة، وعدد زوّار موقع إلكتروني كل ساعة.
• يُمكن تمثيل السلسلة الزمنية بيانياً بحيث يُمثّل الزمن على المحور الأفقي (x)، وتُمثّل قِيَم الظاهرة المدروسة على المحور الرأسي (y).
• تُعيّن نقاط في المستوى الإحداثي تُمثّل الأزواج المُرتّبة (t, v).

التباين في السلاسل الزمنية

مفهوم أساسي

• تمثيل السلسلة بيانياً.
• إيجاد منتصفات الفترات الزمنية التي ستُقابل الأوساط المُتحرّكة ذات النقاط الأربع، ثمّ إيجاد تلك الأوساط.
• تعيين نقطة لكل وسط حسابي مُتحرّك، بحيث توضع هذه النقطة مُقابل منتصف الفترة الزمنية التي استُعملت لحساب ذلك الوسط الحسابي المُتحرّك.
• رسم المستقيم الأفضل مطابقة لنقاط الأوساط المُتحرّكة، الذي يُمكن به رؤية الاتجاه العام للسلسلة الزمنية بوضوح وسهولة.
• يزيد منتصف الفترة المُقابل للوسط المُتحرّك ذي النقاط الأربع بمقدار 0.5 على رقم ثاني رُبع من الأرباع الأربعة المُستعملة لحساب ذلك الوسط المُتحرّك.
• أجد الأوساط المُتحرّكة كما تعلّمتُ سابقاً.

التوزيع الهندسي

مفهوم أساسي: التجربة الاحتمالية الهندسية

• فرز النتائج الممكنة في كل محاولة إلى نجاح أو فشل.
• ثبات احتمال النجاح في كل محاولة.
• التوقُّف عند أوَّل نجاح.
• تعلَّمتُ سابقًا أنَّ المتغيِّر العشوائي هو متغيِّر تعتمد قيمه على نواتج تجربة عشوائية.
• يُعدُّ التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي اقترانًا يربط كل قيمة للمتغيِّر العشوائي باحتمال وقوعها في التجربة.
• يدلُّ المتغيِّر العشوائي الهندسي X في التجربة الاحتمالية الهندسية على عدد المحاولات وصولًا إلى أوَّل نجاح.

توزيع ذي الحدين

مفهوم أساسي: التجربة الاحتمالية ذات الحدَّين

• فرز النتائج الممكنة في كل محاولة إلى نجاح أو فشل.
• ثبات احتمال النجاح في كل محاولة.
• وجود عدد مُحدَّد من المحاولات في التجربة.

التوزيع الطبيعي

المنحنى الطبيعي

• البيانات العددية المنفصلة هي بيانات تأخذ قِيَمًا قابلة للعد.
• تشمل أمثلة البيانات العددية المنفصلة عدد الإخوة وعدد الكتب.
• البيانات العددية المتصلة هي بيانات قِيَمها الممكنة غير قابلة للعد لكنها قابلة للقياس.
• تشمل أمثلة البيانات العددية المتصلة الطول والكتلة.
• تُبيِّن المدرجات التكرارية الآتية كتل مجموعة من الأشخاص الذين اختيروا عشوائيًّا من مدينة ما:
• n = 100

التوزيع الطبيعي المعياري

أتعلّم

• يُستعمل الحرف X للدلالة على المتغير العشوائي الطبيعي.
• يُستعمل الحرف Z للدلالة على المتغير العشوائي الطبيعي المعياري.
• P(z₁ < Z < z₂) = P(Z < z₂) - P(Z < z₁)

احتمال المتغير العشوائي الطبيعي باستعمال الجدول

أتذكر

• P(24 < X < 56)

توزيع الأوساط الحسابية للعينات

أتذكر

• يُطلق على عدد أفراد المجتمع الذين تحويهم العينة اسم حجم العينة.
• تُستعمل غالبًا البيانات التي تنتج من العينات لتقدير خاصية من خصائص المجتمع.
• يجب اختيار العينة بحيث تكون مُمثلة للمجتمع بأكمله.
• يُدرك الباحث أنَّه كلَّما زاد حجم العينة أو زاد عدد العينات المأخوذة، اقتربت العينة من تمثيل المجتمع بدقة أكبر.
• يُعد التحيز (bias) خطأً يؤدي إلى تمثيل غير صحيح للمجتمع.
• تقود العينة المنحازة إلى فئة مُعينة من المجتمع إلى استنتاجات مُتحيّزة.

التقريب الاحتمالي باستعمال التوزيع الطبيعي

مفهوم أساسي

• يُعد X مُتغيرًا عشوائيًا لتوزيع الأوساط الحسابية لعينات عشوائية مُتماثلة الحجم ومأخوذة من مجتمع طبيعي.
• يمتلك هذا المجتمع وسطًا حسابيًا μ وانحرافًا معياريًا σ.
• يكون شكل توزيع الأوساط الحسابية لهذه العينات قريبًا من شكل التوزيع الطبيعي.
• يتبع هذا التوزيع الصيغة الآتية: X ∼N(μ, (σ²)/n)
• يُمكن إيجاد احتمال أن يأخذ X قيمًا بعينها بنفس الطريقة التي يُمكن بها إيجاد احتمال أن يأخذ أي مُتغير عشوائي طبيعي قيمًا بعينها كما تعلمتُ سابقًا.
• يُمكن إيجاد احتمال أي مُتغير عشوائي طبيعي غير معياري بتحويله إلى مُتغير عشوائي طبيعي معياري.

فترات الثقة

مستوى الثقة

• لا يوجد أي ضمان لأن تكون معلومات العينة الممثلة للمجتمع دقيقة.
• يُعد الإحصاء الاستدلالي أحد فرعي علم الإحصاء، بينما يُعد الإحصاء الوصفي الفرع الآخر.
• يُستعمل الإحصاء الاستدلالي لاستخلاص استنتاجات عن المجتمع كله باستعمال عينة عشوائية مختارة منه.
• نختار عينة عشوائية من المجتمع لتقريب الوسط الحسابي للمجتمع الذي يُسمى المعَلَمة.
• نجد الوسط الحسابي لهذه العينة الذي يُسمى الإحصائي.
• لا توجد أي معلومات دقيقة عن مدى قرب هذا الإحصائي من المعَلَمة.

اختبار الفرضيات

الفرضية الصفرية والفرضية البديلة

• تعرَّفتُ في الدرس السابق فترة الثقة وأهميتها في إيجاد تقدير للوسط الحسابي للمجتمع عن طريق العينة.
• سأتعرَّف في هذا الدرس اختبار الفرضية (hypothesis testing).
• نبدأ أوَّلاً بصياغة الادعاء في صورة عبارة رياضية لإجراء اختبار الفرضية.
• نُشكِّل زوجاً من الفرضيات، هما:
• قد يكون الادعاء جزءاً من الفرضية الصفرية، أو جزءاً من الفرضية البديلة.
• يُبيّن صندوق (مفهوم أساسي) الآتي التركيبات المُحتملة للفرضيات.