ملخص توزيع الأوساط الحسابية للعينات، رياضيات الأعمال

أتذكر

• التحيز: أما التحيز ⁦(bias)⁩ فهو خطأ يؤدي إلى تمثيل غير صحيح للمجتمع؛ فإذا كانت العينة منحازة إلى فئة مُعينة من المجتمع، فإنها ستقود إلى استنتاجات مُتحيّزة.
• يُطلق على عدد أفراد المجتمع الذين تحويهم العينة اسم حجم العينة.
• تُستعمل غالبًا البيانات التي تنتج من العينات لتقدير خاصية من خصائص المجتمع.
• يجب اختيار العينة بحيث تكون مُمثلة للمجتمع بأكمله.
• يُدرك الباحث أنَّه كلَّما زاد حجم العينة أو زاد عدد العينات المأخوذة، اقتربت العينة من تمثيل المجتمع بدقة أكبر.
• يُعد التحيز ⁦(bias)⁩ خطأً يؤدي إلى تمثيل غير صحيح للمجتمع.
• تقود العينة المنحازة إلى فئة مُعينة من المجتمع إلى استنتاجات مُتحيّزة.

العينات العشوائية

• العينة العشوائية: من طرائق المُعاينة الشائعة، أخذ عينة عشوائية ⁦(random sample)⁩ من المجتمع، تكون مُمثلة لجميع أفراده من دون تفضيل فئة مُعينة على أخرى.
• تعلمتُ في المثال السابق أنَّه يُمكن استعمال المُعاينة لاستنتاج معلومات عن المجتمع كلّه.
• يُحتّم هذا الأمر اختيار العينة بعناية لضمان تمثيل المجتمع من دون تحيّز.
• توجد ثلاثة أنواع شائعة الاستعمال من العينات العشوائية:

الإحصائيات والمعلمات

• الإحصائي ⁦(statistic)⁩ هو مقياس (قيمة) يصف إحدى خصائص العينة.
• المعلمة: أمَّا المعلمة ⁦(parameter)⁩ فهي مقياس يصف إحدى خصائص المجتمع.

مفهوم أساسي

• تُمثل البيانات $x_1, x_2, ..., x_n$ عينة عشوائية حجمها $n$.
• يُمكن إيجاد الوسط الحسابي للعينة $\bar{x}$ باستعمال الصيغة الآتية: $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$
• يُرمز إلى تباين العينة ⁦(sample variance)⁩ بالرمز $s^2$.
• يُستعمل تباين العينة لتقدير تباين المجتمع.
• يُمكن إيجاد تباين العينة باستعمال إحدى الصيغتين اللتين يُبيّنهما صندوق (مفهوم أساسي) الآتي.

مفهوم أساسي

• الانحراف المعياري للعينة هو الجذر التربيعي لتباين العينة.
• يُمثل $\bar{x}$ الوسط الحسابي لهذه العينة.
• يُمكن إيجاد تباين العينة $s^2$ باستعمال إحدى الصيغتين الآتيتين: $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} \quad \text{or} \quad s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n - 1}$
• يكون الانحراف المعياري للعينة هو الجذر التربيعي لتباين العينة.

أتعلَّم (المثال 4)

• ألاحِظ أنَّ الوسط الحسابي للعيِّنة عدد غير صحيح؛ لذا يُفضَّل إيجاد تباين العيِّنة باستعمال الصيغة الآتية: $s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n - 1}$

أتذكَّر (تباين المجتمع)

• عند إيجاد تباين المجتمع، فإنَّني أستعمل المعادلة نفسها لتباين العيِّنة، لكنَّني أقسِم على $n$ بدلًا من $n-1$؛ أي إنَّ: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n}$

إذن، تباين العينة هو: 140.54

• الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين.

توزيع الأوساط الحسابية للعينات

• توزيع الأوساط الحسابية للعينات هو توزيع قيم الأوساط الحسابية لعينات عشوائية مُتساوية في الحجم، ومأخوذة من المجتمع.
• الخطأ المعياري للوسط الحسابي: فإنَّه يُمكن إيجاد الانحراف المعياري لتوزيع الأوساط الحسابية للعينات، الذي يُعرف أيضًا باسم الخطأ المعياري للوسط الحسابي ⁦(standard error of the mean)⁩.
• خطأ المعاينة: ويُعزى هذا الاختلاف إلى خطأ المُعاينة ⁦(sampling error)⁩ الذي يحدث بسبب عدم تمثيل العينة للمجتمع بصورة كاملة.
• تعلمتُ في المثال السابق أنَّ القيمة التي تصف إحدى خصائص مجتمع ما مأخوذة من المجتمع.
• لاحظتُ أنَّ الوسط الحسابي يختلف تبعًا لاختلاف العينة.
• يُمكن تقدير قيمة الوسط الحسابي للمجتمع باستعمال ما يُسمى توزيع الأوساط الحسابية للعينات ⁦(distribution of samples means)⁩.
• يُعد هذا التوزيع توزيع قيم الأوساط الحسابية لعينات عشوائية مُتساوية في الحجم، ومأخوذة من المجتمع.
• تشير كلمة توزيع إلى كيفية تنظيم قيم الأوساط الحسابية للعينات، وعدد مرات تكرار كل قيمة.
• يُرمز إلى المُتغير العشوائي الذي يُمثل قيم الأوساط الحسابية بالرمز $\bar{X}$.
• يُبيّن الجدول الآتي الأوساط الحسابية لخمس عينات عشوائية، حجم كل منها 2، وقد أُخذت مع الإرجاع من مجتمع، وسطه الحسابي 15، وانحرافه المعياري 2.24، وهو يتكوّن من القيم الآتية: 18, 16, 14, 12.
• يُبيّن التمثيل البياني المُعطى شكل التوزيع لهذه الأوساط الحسابية.
• ألاحظ من التمثيل البياني أعلاه أنَّ شكل توزيع الأوساط الحسابية للعينات الخمس غير قريب من شكل التوزيع الطبيعي.
• يقترب شكل توزيع الأوساط الحسابية للعينات من شكل التوزيع الطبيعي إذا استُخرجت جميع العينات العشوائية من المجتمع، التي يبلغ عددها 16 عينة، وحجم كل منها 2.
• يُمكن إيجاد الوسط الحسابي للأوساط الحسابية لجميع العينات المُحتملة من المجتمع، التي حجم كل…