ملخص التقريب الاحتمالي باستعمال التوزيع الطبيعي، رياضيات الأعمال

التوزيع الاحتمالي للمُتغير العشوائي للأوساط الحسابية لعينات مأخوذة من مجتمع طبيعي

• المُتغير العشوائي هو مُتغير تعتمد قيمه على نواتج تجربة عشوائية.
• التوزيع الاحتمالي للمُتغير العشوائي هو اقتران يربط كل قيمة للمُتغير العشوائي باحتمال وقوعها في التجربة.

أتذكَّر (الوسط الحسابي والتباين لتوزيع الأوساط)

• $\mu_{\bar{x}} = \mu$
• $\sigma_{\bar{x}}^{2} = \frac{\sigma^{2}}{n}$

مفهوم أساسي

• يُعد $\bar{X}$ مُتغيرًا عشوائيًا لتوزيع الأوساط الحسابية لعينات عشوائية مُتماثلة الحجم ومأخوذة من مجتمع طبيعي.
• يمتلك هذا المجتمع وسطًا حسابيًا $\mu$ وانحرافًا معياريًا $\sigma$.
• يكون شكل توزيع الأوساط الحسابية لهذه العينات قريبًا من شكل التوزيع الطبيعي.
• يتبع هذا التوزيع الصيغة الآتية: $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$
• يُمكن إيجاد احتمال أن يأخذ $\bar{X}$ قيمًا بعينها بنفس الطريقة التي يُمكن بها إيجاد احتمال أن يأخذ أي مُتغير عشوائي طبيعي قيمًا بعينها كما تعلمتُ سابقًا.
• يُمكن إيجاد احتمال أي مُتغير عشوائي طبيعي غير معياري بتحويله إلى مُتغير عشوائي طبيعي معياري.
• يُمكن إيجاد احتمال $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ بالطريقة نفسها بتحويله إلى $Z \sim N(0, 1)$ كما تعلمتُ في الوحدة السابقة.
• يُمكن استعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد الاحتمال عندئذٍ.

مفهوم أساسي

• يُمكن إيجاد قيمة ⁦z⁩ للوسط الحسابي للعينة من مجتمع يتبع توزيعًا طبيعيًا بالصيغة الآتية:
• $z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$
• تُمثل $\bar{x}$ الوسط الحسابي للعينة.
• تُمثل $\mu$ الوسط الحسابي للمجتمع.
• تُمثل $\sigma_{\bar{x}}$ الخطأ المعياري للوسط الحسابي.

مفهوم أساسي

• التوزيع الاحتمالي للمُتغير العشوائي للأوساط الحسابية لعينات مأخوذة من مجتمع توزيعه غير معلوم: إذا كان $\bar{X}$ مُتغيرًا عشوائيًا لتوزيع الأوساط الحسابية لعينات عشوائية، حجم كل منها 30 أو أكثر، وهي مأخوذة من مجتمع، وسطه الحسابي $\mu$، وانحرافه المعياري $\sigma$، فإنَّ شكل توزيع الأوساط الحسابية لهذه العينات سيكون قريبًا من شكل التوزيع الطبيعي.
• ومنه، فإنَّ: $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

استعمال التوزيع الطبيعي في تقريب توزيع ذي الحدين

• تعلمتُ في الوحدة السابقة أنَّ التوزيع الاحتمالي للمُتغير العشوائي ذي الحدين $X$ يُعطى بالقاعدة الآتية: $P(X = r) = \binom{n}{r} p^r (1 - p)^{n-r}$
• يمثل $n$ عدد المحاولات في التجربة.
• يمثل $p$ احتمال النجاح في كل محاولة.
• يمثل $r$ عدد المحاولات الناجحة من بين $n$ من المحاولات.
• تقرر نظرية النهاية المركزية أنَّ أي توزيع احتمالي لعينات عشوائية مأخوذة من مجتمع توزيعه غير معلوم يُمكن أن يقترب من التوزيع الطبيعي مع زيادة حجم العينة $n$ بشكل كبير.
• يقترب شكل توزيع عينات عشوائية مأخوذة من مجتمع توزيعه ذو الحدين من شكل التوزيع الطبيعي نتيجة لذلك.
• يبدأ شكل توزيع ذي الحدين بالتشابه مع شكل التوزيع الطبيعي إذا زاد عدد المحاولات أو اقترب احتمال النجاح من 0.5.
• يُمكن ملاحظة أنَّ شكل توزيع ذي الحدين عندما $n = 4$ و $p = 0.25$ ليس قريبًا من شكل التوزيع الطبيعي في الشكل ⁦(a)⁩.
• يكون شكل توزيع ذي الحدين قريبًا من شكل التوزيع الطبيعي عندما $n = 4$ و $p = 0.5$ في الشكل ⁦(b)⁩.
• يكون شكل توزيع ذي الحدين قريبًا من شكل التوزيع الطبيعي عندما $n = 60$ و $p = 0.25$ في الشكل ⁦(c)⁩.
• يُمكن استعمال التوزيع الطبيعي في تقريب توزيع ذي الحدين كقاعدة عامة إذا كان حجم العينة $n$ كبيرًا بما يكفي لجعل: $np \ge 5$ $n(1-p) \ge 5$

أتعلَّم (معاملا المُتغير

• معاملا المُتغير العشوائي الطبيعي $Y$ هما: $np$، و $np(1-p)$، حيث: $\mu = np$ $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

مفهوم أساسي

• إذا كان $X \sim B(n, p)$، وكان $np \ge 5$ و $n(1-p) \ge 5$، حيث $n$ عدد المحاولات في التجربة، و $p$ احتمال النجاح في كل محاولة، فإنه يمكن اتباع الخطوات الآتية لتقريب توزيع ذي الحدين باستعمال التوزيع الطبيعي.
• الخطوة 1: إيجاد الوسط الحسابي والانحراف المعياري لتوزيع ذي الحدين.
• الخطوة 2: التعبير عن المسألة باستعمال رموز احتمال المُتغير العشوائي $X$.
• الخطوة 3: إيجاد عامل تصحيح الاستمرارية، ثم إعادة كتابة المسألة باستعمال رموز احتمال المُتغير العشوائي $Y$؛ لإظهار المساحة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.
• الخطوة 4: إيجاد قِيَم $z$ المُقابلة لقِيَم المُتغير العشوائي $Y$، ثم استعمال جدول التوزيع الطبيعي وخصائص التوزيع الطبيعي لإيجاد الاحتمال المطلوب.