ملخص اختبار الفرضيات، رياضيات الأعمال

الفرضية الصفرية والفرضية البديلة

• اختبار الفرضية ⁦(hypothesis testing)⁩؛ وهو أسلوب إحصائي يُستعمل لتقييم مدى صحَّة ادعاء مُعيَّن عن معَلَمة في المجتمع، مثل الوسط الحسابي.
• تعرَّفتُ في الدرس السابق فترة الثقة وأهميتها في إيجاد تقدير للوسط الحسابي للمجتمع عن طريق العينة.
• سأتعرَّف في هذا الدرس اختبار الفرضية ⁦(hypothesis testing)⁩.
• نبدأ أوَّلاً بصياغة الادعاء في صورة عبارة رياضية لإجراء اختبار الفرضية.
• نُشكِّل زوجاً من الفرضيات، هما:
• قد يكون الادعاء جزءاً من الفرضية الصفرية، أو جزءاً من الفرضية البديلة.
• يُبيّن صندوق (مفهوم أساسي) الآتي التركيبات المُحتملة للفرضيات.
• ألاحظ أنَّ $H_1$ يُعبِّر عن مُتمِّمة $H_0$.

مفهوم أساسي: فرضيات الادعاء

• فرضيات الادعاء: إذا كان $k$ ادعاءً عن قيمة الوسط الحسابي $\mu$ للمجتمع، فإنَّ التركيبات المُحتملة للفرضيات هي:
• $H_0: \mu = k$ and $H_1: \mu \ne k$
• $H_0: \mu \ge k$ and $H_1: \mu k$

اختبار الفرضية

• الخطأ من النوع ⁦I⁩ والخطأ من النوع: في مُقابل ذلك، توجد حالتان يكون فيهما القرار غير صحيح: رفض الفرضية وهي في الواقع صحيحة، في ما يُسمَّى الخطأ من النوع ⁦I (Type I error)⁩، وعدم رفض الفرضية وهي في الواقع غير صحيحة، في ما يُسمَّى الخطأ من النوع ⁦II (Type II error)⁩.
• يبدأ اختبار صحة ادعاء حيال مُعَلَمة في المجتمع دائماً بالفرضية الصفرية $H_0$.
• يُستعمَل الوسط الحسابي للعينة المُستخرَج من البيانات المُتوافرة لمقارنة الادعاء بالوسط الحسابي المُفترض للمجتمع.
• تُحلَّل الفروق بين الوسط الحسابي للعينة والوسط الحسابي المُفترض للمجتمع.
• يعتمد قرار رفض $H_0$ أو عدم رفضها على تحليل الفرق وفقاً لمستوى دلالة مُحدَّد مُسبقاً.
• تُرفض الفرضية الصفرية إذا كان الفرق بين الوسط الحسابي للعينة والوسط الحسابي المُفترض للمجتمع كبيراً بما يكفي ليكون ذا دلالة إحصائية.
• لا تُرفض الفرضية الصفرية إذا لم يكن الفرق ذا دلالة إحصائية.
• يُتوقَّع وجود أربع نتائج مُمكنة عند اختبار الفرضية الإحصائية ناتجة من احتمالين لحالة الفرضية الصفرية واحتمالين للقرار الإحصائي بناءً على بيانات العينة.
• ينتج من ذلك حالتان يكون فيهما القرار صحيحاً وهما رفض الفرضية إذا كانت غير صحيحة وعدم رفضها إذا كانت صحيحة حقاً.
• توجد حالتان يكون فيهما القرار غير صحيح وهما رفض الفرضية وهي في الواقع صحيحة في ما يُسمَّى الخطأ من النوع ⁦I (Type I error)⁩.
• يُسمى عدم رفض الفرضية وهي في الواقع غير صحيحة الخطأ من النوع ⁦II (Type II error)⁩.
• يُشار إلى الخطأ من النوع ⁦I⁩ بـ الخطأ من النوع الأوَّل.
• يُشار إلى الخطأ من النوع ⁦II⁩ بـ الخطأ من النوع الثاني.
• تحدث هذه الأخطاء لأن الحكم يعتمد على بيانات مأخوذة من عينة جزئية لا من المجتمع كله مما يجعل احتمال الوقوع في خطأ إحصائي أمراً وارداً.
• يُعدُّ اختبار المجتمع بأكمله الطريقة الوحيدة لضمان الدِّقَّة الكاملة.
• لا نستطيع التعامل مع المجتمع كله في معظم الحالات في الواقع.
• تكون الفرضية الصفرية $H_0$ لادعاء شركة أدوية بأن الدواء الجديد آمن هي أن الدواء الجديد آمن ولا يُسبِّب آثاراً جانبية خطيرة.
• تكون الفرضية البديلة $H_1$ لهذا الادعاء هي أن الدواء الجديد غير آمن ويُسبِّب آثاراً جانبية خطيرة.
• يوجد احتمالان للخطأ عند تحليل نتائج تجربة سريرية هما:
• لا بُدَّ من فهم نوعي الخطأ بدقة في المجالات الحساسة مثل الصِّحَّة.
• قد يُفضي الخطأ من النوع الثاني إلى عواقب وخيمة تهدِّد حياة الناس خلافاً للخطأ من النوع الأوَّل الذي يُعدُّ أقل خطراً نسبياً.

مستوى الدلالة

• المنطقة الحرجة: يساعد اختيار مستوى الدلالة $\alpha$ على تحديد المنطقة الحرجة ⁦(critical region)⁩؛ وهي النطاق الإحصائي الذي يؤدّي وقوع قيمة الإحصائي ضمنه إلى رفض الفرضية الصفرية؛ ما يدلُّ على وجود فرق جوهري.
• يُعرَّف أقصى احتمال مسموح به لارتكاب خطأ من النوع ⁦I⁩ بـ مستوى الدلالة ⁦(level of significance)⁩.
• يُرمز إلى مستوى الدلالة بالرمز: $\alpha$
• يعني اختيار $\alpha$ بقيمة 0.10 وجود احتمال بنسبة 10% لرفض الفرضية الصفرية بالرغم من أنها صحيحة.
• يتضمَّن القرار خطأً في الحكم على الفرضية عند رفضها وهي صحيحة.
• تبلغ نسبة احتمال اتخاذ قرار صحيح 90% في هذه الحالة.
• تُختار قيمة $\alpha$ وفقاً لطبيعة الدراسة ومدى حساسية النتائج.
• تُعد القيم الآتية أكثر القِيَم شيوعاً واستعمالاً في التطبيقات الإحصائية:
• يساعد اختيار مستوى الدلالة على تحديد المنطقة الحرجة ⁦(critical region)⁩.
• تُمثّل المنطقة الحرجة النطاق الإحصائي الذي يؤدّي وقوع قيمة الإحصائي ضمنه إلى رفض الفرضية الصفرية.
• يدل وقوع قيمة الإحصائي ضمن المنطقة الحرجة على وجود فرق…