ملخص فترات الثقة، رياضيات الأعمال

مستوى الثقة

• لا يوجد أي ضمان لأن تكون معلومات العينة الممثلة للمجتمع دقيقة.
• يُعد الإحصاء الاستدلالي أحد فرعي علم الإحصاء، بينما يُعد الإحصاء الوصفي الفرع الآخر.
• يُستعمل الإحصاء الاستدلالي لاستخلاص استنتاجات عن المجتمع كله باستعمال عينة عشوائية مختارة منه.
• نختار عينة عشوائية من المجتمع لتقريب الوسط الحسابي للمجتمع الذي يُسمى المعَلَمة.
• نجد الوسط الحسابي لهذه العينة الذي يُسمى الإحصائي.
• لا توجد أي معلومات دقيقة عن مدى قرب هذا الإحصائي من المعَلَمة.
• نعمل على إيجاد فترة من الأعداد الحقيقية باستعمال الوسط الحسابي للعينة.
• يتوفر لدينا مستوى مُعيَّن من الثقة بأنَّ هذه الفترة ستحتوي على المعَلَمة التي نبحث عنها.
• لا يوجد أي ضمان لأن تكون المعَلَمة واقعة ضمن هذه الفترة.
• يُعرَّف مستوى الثقة ⁦(confidence level)⁩ بأنَّه نسبة تُوضّح مدى التأكّد من أنَّ فترة التقدير تحتوي على القيمة الحقيقية لمعَلَمة مُعيَّنة للمجتمع.
• تُكتب هذه النسبة غالباً بوصفها نسبة مئوية مثل 90%، و95%، و99%.
• يُرمز إلى مستوى الثقة بالحرف $c$.
• يُمكن استعمال التوزيع الطبيعي المعياري لتمثيل مستوى الثقة إذا كان الانحراف المعياري للمجتمع ($\sigma$) معروفاً، وكان للمجتمع توزيع طبيعي، أو إذا كان حجم العينة كبيراً ($n \ge 30$) لتحقيق التقريب الطبيعي.
• يعني مستوى الثقة $c$ أننا واثقون بنسبة $c$ أنَّ الوسط الحسابي للمجتمع سيكون واقعاً ضمن فترة مُعيَّنة.
• تعني هذه النسبة أننا لو أعدنا تجربة اختيار عينة من الحجم نفسه، وأوجدنا فترات التقدير لكل عينة، وكرَّرنا هذه العملية عدداً كبيراً من المرَّات؛ فإنَّ $c$ من هذه الفترات تقريباً ستحتوي على القيمة الحقيقية للوسط الحسابي للمجتمع.
• نبدأ بإيجاد ما يُسمَّى القيمة الحرجة ⁦(critical value)⁩ لإيجاد فترات التقدير.
• القيمة الحرجة هي قيمة معيارية $z$ موجبة مُرتبطة بمستوى الثقة المنشود بصرف النظر عن المجتمع أو العينة.
• نجد $z$ لإيجاد هذه القيمة الحرجة، حيث: $c = P(-z < Z < z)$
• $Z$ هو المتغير العشوائي الطبيعي المعياري.
• يتطلَّب إيجاد القيمة الحرجة المُرتبطة بمستوى الثقة 95% ($c = 0.95$) البحث عن قيمة $z$ الموجبة، حيث: $0.95 = 2P(Z < z) - 1 = P(-z < Z < z)$
• يتبيَّن أنَّ $z = 1.96$ بالرجوع إلى جدول التوزيع الطبيعي المعياري.
• المساحة المتبقية خارج نطاق $z$ و $-z$ في الطرفين هي $1-c$.
• يحتوي كل طرف على مساحة نسبتها: $\frac{1-c}{2}$
• يُبيّن الجدول الآتي أكثر مستويات الثقة استعمالاً والقيم الحرجة المُقابلة لها:

مفهوم أساسي: الحد الأقصى لخطأ التقدير للوسط الحسابي لمجتمع انحرافه المعياري معلوم

• الحد الأقصى لخطأ التقدير للوسط الحسابي لمجتمع انحرافه المعياري معلوم: يُمكن إيجاد الحد الأقصى التقدير $E$ عند تقدير الوسط الحسابي $\mu$ لمجتمع بمستوى ثقة مُعيَّن باستعمال القاعدة الآتية: $E = z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ حيث: $z$: القيمة الحرجة التي تُقابل مستوى ثقة مُعيَّناً.

مفهوم أساسي: الحد الأقصى لخطأ التقدير للوسط الحسابي لمجتمع انحرافه المعياري غير معلوم

• الحد الأقصى لخطأ التقدير للوسط الحسابي لمجتمع انحرافه المعياري غير معلوم: يُمكن إيجاد الحد الأقصى لخطأ التقدير $E$ للوسط الحسابي $\mu$ لمجتمع ما باستعمال القاعدة الآتية: $E = z \times \frac{s}{\sqrt{n}}$ حيث: $z$: القيمة الحرجة التي تُقابل مستوى ثقة مُعيَّناً.

مفهوم أساسي: فترة الثقة للوسط الحسابي لمجتمع انحرافه المعياري معلوم

• يُمكن إيجاد فترة الثقة للوسط الحسابي $\mu$ لمجتمع ما باستعمال القاعدة الآتية: $\bar{x} - E < \mu < \bar{x} + E \quad \text{or} \quad \bar{x} - z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x} + z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
• يُمثل $z$ القيمة الحرجة التي تُقابل مستوى ثقة مُعيَّناً.
• تُمثل $\sigma$ الانحراف المعياري للمجتمع.
• يُمثل $\bar{x}$ الوسط الحسابي للعينة.
• يُمثل $n$ حجم العينة؛ شرط أن يكون $n \ge 30$ إذا لم يكن المجتمع طبيعياً.
• يُشترط ألا يكون حجم العينة $n \ge 30$ إذا كان المجتمع الأصلي طبيعياً.

مفهوم أساسي: فترة الثقة للوسط الحسابي لمجتمع انحرافه المعياري غير معلوم

• يُمكن إيجاد فترة الثقة للوسط الحسابي $\mu$ لمجتمع ما باستعمال القاعدة الآتية: $\bar{x} - E < \mu < \bar{x} + E \quad \text{or} \quad \bar{x} - z \times \frac{s}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x} + z \times \frac{s}{\sqrt{n}}$
• يُمثل $s$ الانحراف المعياري للعينة.
• تُمثل $\bar{x}$ الوسط الحسابي للعينة.
• يُمثل $n$ حجم العينة؛ بشرط أن يكون $n \ge 30$.

الحد الأدنى لحجم العينة اللازم لإجراء تقدير دقيق

• يرتبط تحديد حجم العينة…