قسمة الأعداد المركبة

نشاط ١ :

رسم محمد لوحة مستطيلة الشكل مستخدماً الألوان الزيتية أبعادها $(٢٨ + ١٤\sqrt{٥})$ سم، $\frac{١٤}{\sqrt{٥} - ٢}$ سم. وعندما رآها معلم الرياضيات قال إنها مربعة الشكل. ما رأيك؟

نشاط ٢ :

لإنطاق المقام للمقدار $\frac{١}{١ - \sqrt{٢}}$ نعلم أن مرافق العدد $١ - \sqrt{٢}$ هو $١ + \sqrt{٢}$ نضرب كلاً من البسط والمقام بمرافق المقام أي أن $\frac{١}{١ - \sqrt{٢}} = \frac{١}{١ - \sqrt{٢}} \times \frac{١ + \sqrt{٢}}{١ + \sqrt{٢}} = \dots\dots\dots\dots\dots\dots$ (أكمل)

تعتبر عملية القسمة في الأعداد المركبة مشابهة إلى حد كبير لعملية إنطاق المقام، وذلك بكتابة $\frac{ع_١}{ع_٢}$ على الصورة $ع = س + ص ت$

تعريف:

إذا كان $ع = س + ص ت$

1. نسمي المقدار $\sqrt{س^٢ + ص^٢}$ مقياس العدد المركب ع ويرمز له $|ع|$

أي أن: $|ع| = \sqrt{س^٢ + ص^٢}$

2. ونسمي العدد $س - ص ت$ مرافق (conjugate) العدد المركب $ع = س + ص ت$ ويرمز له $\bar{ع}$ أي أن: $\bar{ع} = س - ص ت$

إذا كان $ع = ٣ + ٤ت$ ، جد:

1. $\bar{ع}$
2. $|ع|$
3. $|\bar{ع}|$

الحل :

1. $\bar{ع} = ٣ - ٤ت$
2. $|ع| = |٣ + ٤ت| = \sqrt{٣^٢ + ٤^٢} = ٥$
3. $|\bar{ع}| = |٣ - ٤ت| = \sqrt{٣^٢ + ٤^٢} = ٥$ ماذا تلاحظ؟

نشاط ٣ :

إذا كان $ع_١ = ٢ + ت$ ، $ع_٢ = ١ - ٣ت$ فإن:

1. $|ع_١| = \sqrt{٥}$
2. $|ع_٢| = \dots\dots\dots\dots$
3. $|ع_١ ع_٢| = \dots\dots\dots\dots$ ماذا تلاحظ؟
4. $|-٢ع_١| = ٢\sqrt{٥}$
5. $-٢|ع_١| = \dots\dots\dots\dots$ ماذا تلاحظ؟

نشاط ٤ :

أكمل ما يأتي:

1. $\overline{١ + ت} = \dots\dots\dots\dots$
2. $\overline{١ - ت} = ١ + ت$
3. $\bar{٥} = ٥$
4. $\overline{-٣} = \dots\dots\dots\dots$
5. $\bar{ت} = \dots\dots\dots\dots$
6. $\overline{٢ت + \sqrt{٢}ت} = \dots\dots\dots\dots$

إذا كان $ع \in ك$ فإن:

1. $(\bar{\bar{ع}}) = ع$
2. $ع \bar{ع} = \bar{ع} ع = |ع|^٢$
3. $|\bar{ع}| = |ع|$
4. $|جـ ع| = |جـ| |ع|$ ، $جـ \in ح$
5. إذا كان $ع = أ + ب ت$ فإن $ع + \bar{ع} = ٢أ$ ، $ع - \bar{ع} = ٢ب ت$
6. إذا كان $ع_١ ، ع_٢ \in ك$ ، فإن $|ع_١ ع_٢| = |ع_١| |ع_٢|$
7. إذا كان $ع_١ ، ع_٢ \in ك$ ، $ع_٢ \ne ٠$ فإن $= \left| \frac{ع_١}{ع_٢} \right| = \frac{|ع_١|}{|ع_٢|}$

نشاط ٥ :

أكمل الجدول الآتي:

| العدد المركب ع | المرافق $\bar{ع}$ | المقياس $|ع|$ | النظير الضربي $ع^{-١}$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $ت + ٢$ | | $\sqrt{٥}$ | | | $\sqrt{٣} - ت$ | $\sqrt{٣} + ت$ | | | | $٢ت$ | | | $\frac{-١}{٢}ت$ |

إذا كان $ع_١ ، ع_٢ \in ك$ ، $ع_٢ \ne ٠$ فإن $ع_١ \div ع_٢ = \frac{ع_١}{ع_٢} = \frac{ع_١ \bar{ع_٢}}{ع_٢ \bar{ع_٢}} = \frac{ع_١ \bar{ع_٢}}{|ع_٢|^٢}$

اكتب المقدار $\frac{٢ - ٣ت}{٣ + ٤ت}$ على الصورة $س + ص ت$:

1. باستخدام الضرب بالمرافق
2. باستخدام النظير الضربي

1. باستخدام الضرب بالمرافق:

$\frac{٢ - ٣ت}{٣ + ٤ت} = \frac{(٢ - ٣ت)(٣ - ٤ت)}{(٣ + ٤ت)(٣ - ٤ت)} = \frac{(٦ - ٨ت - ٩ت - ١٢)}{(١٦ + ٩)}$ $= \frac{-٦ - ١٧ت}{٢٥} = \frac{-٦}{٢٥} + \frac{-١٧}{٢٥}ت$

النظير الضربي للعدد $٣ + ٤ت$ هو $\frac{٣}{٢٥} - \frac{٤}{٢٥}ت$ إذن: $\frac{٢ - ٣ت}{٣ + ٤ت} = (٢ - ٣ت)(\frac{٣}{٢٥} - \frac{٤}{٢٥}ت)$ $= \frac{-٦}{٢٥} + \frac{-١٧}{٢٥}ت \quad \text{(ماذا تلاحظ؟)}$

التمثيل البياني والتمثيل القطبي للأعداد المركبة (Cartesian and Polar Representation)

يمكن تمثيل العدد المركب $ع = س + ص ت$ بيانياً في المستوى الديكارتي بالنقطة، أ(س ، ص)*، فالعدد المركب $٣ + ت$ يمثل بالنقطة أ(٣ ، ١) في المستوى كما في الشكل المجاور. يسمى هذا المستوى الإحداثي بالمستوى المركب (مستوى أرجاند).

فكّر وناقش:

ماذا يمثل كل من المحور الأفقي والمحور الرأسي في المستوى المركب؟

مثل بيانياً كلاً من الأعداد الآتية في المستوى المركب: $-٢ت$ ، $٢ + ٣ت$ ، ٤ ، $\sqrt{-\frac{١}{٤}}$

كما أشرنا أعلاه، بأنه يمكن تمثيل العدد المركب $ع = س + ص ت$ بيانياً في مستوى الأعداد المركبة بالنقطة، أو الزوج المرتب (س ، ص) وتتذكر أيضاً أن كل زوج مرتب، يمكن تمثيله بمتجه قياسي بدايته النقطة (٠ ، ٠) ونهايته النقطة (س ، ص) ويصنع زاوية هـ مع الاتجاه الموجب لمحور السينات (المحور الأفقي) وتسمى هـ السعة الأساسية للعدد المركب،

اكتب العدد $ع = ١ + \sqrt{٣} ت$ بالصورة القطبية.

الحل : $ر = |ع| = \sqrt{١^٢ + (\sqrt{٣})^٢} = ٢$ ، $\text{جاهـ} = \frac{ص}{ر} = \frac{\sqrt{٣}}{٢}$ ، $\text{جتاهـ} = \frac{س}{ر} = \frac{١}{٢}$ ومنها $هـ = \frac{\pi}{٣}$

الصورة القطبية للعدد $ع = ٢(\text{جتا}\frac{\pi}{٣} + ت \text{جا}\frac{\pi}{٣})$

---

حوّل العدد المركب $ع = \sqrt{٢} (\text{جتا}\frac{\pi}{٤} + ت \text{جا}\frac{\pi}{٤})$ إلى الصورة أ + ب ت

الحل : $ع = \sqrt{٢} (\text{جتا}\frac{\pi}{٤} + ت \text{جا}\frac{\pi}{٤})$ $= \sqrt{٢} (\frac{١}{\sqrt{٢}} + \frac{ت}{\sqrt{٢}}) = ١ + ت$

نشاط ٦ :

إذا كان $ع = ٤ - ٣ت$ ، فإن $\bar{ع} = \dots\dots\dots\dots\dots$ مثّل كلاً من ع ، $\bar{ع}$ هندسياً في المستوى المركب، ماذا تلاحظ؟

1. جد $|١ + \sqrt{-٤}|$

2. إذا كان $ع_١ = ١ + ت$ ، $ع_٢ = ١ - ت$ ، جد ما يلي:

• أ. $|-٣ع_١|$
• ب. $|\frac{١}{٢} ع_١ \bar{ع_١}|$
• جـ. $\left| \frac{ع_٢}{ع_١} \right|$
• د. $|٢ع_١ ع_٢|$

4. اكتب المقادير الآتية على صورة أ + ب ت:

• أ. $\frac{-١ + \sqrt{٢}ت}{٢ + ت}$
• ب. $\frac{٣ + ٤ت}{٣ - ٥ت} + \frac{٢ + ٣ت}{٢ - ٣ت}$

5. أثبت أن: $|ع - ١| = |\bar{ع} - ١|$ حيث $ع \in ك$

6. مثّل الأعداد الآتية في المستوى المركب:

• أ. $ت^{٣٥}$
• ب. $٢ + \sqrt{-٢}$
• جـ. $\sqrt{-٤} + \sqrt{-٩}$
• د. $\frac{١}{ت^{٥٢}}$

7. إذا كان $ع^٢ = (\bar{ع})^٢$ فأثبت أن ع إما أن تكون عدداً حقيقياً، أو أنها عدد تخيلي.

8. اكتب ما يأتي على الصورة القطبية $ع = ر(\text{جتا}هـ + ت \text{جا}هـ)$:

• أ. $ع = -١ + ت$
• ب. $ع = \frac{-١}{٢}$
• جـ. $ع = \frac{-١ + \sqrt{٣}ت}{٢}$

1. اختر رمز الإجابة الصحيحة لكل مما يأتي:

١ ما قيمة $(ت)^{٥٧}$؟

• أ. $١$
• ب. $-١$
• جـ. $ت$
• د. $-ت$

٢ ما قيمة $(\sqrt{٢}-ت)-ت(١-\sqrt{٢}ت)$؟

• أ. $-٢$
• ب. $٢ت$
• جـ. $-٢ت$
• د. $ت$

٣ ما قيمة $\frac{٤+ت}{٢-٣ت}$؟

• أ. $\frac{٥-١٤ت}{١٣}$
• ب. $\frac{-٥-١٤ت}{٣}$
• جـ. $\frac{-٥-١٤ت}{٥}$
• د. $\frac{٥+١٤ت}{١٣}$

٥ ما قيمة $\overline{\bar{ع}+ت}$؟

• أ. $ع+ت$
• ب. $ع-ت$
• جـ. $-ع+ت$
• د. $-ع-ت$

٦ ما الصورة القطبية للعدد $ع = ٢+٢ت$؟

• أ. $٢\sqrt{٢}(\text{جتا}\frac{\pi}{٤}-ت\text{جا}\frac{\pi}{٤})$
• ب. $٢\sqrt{٢}(\text{جتا}\frac{\pi}{٤}+ت\text{جا}\frac{\pi}{٤})$
• جـ. $٢\sqrt{٢}(-\text{جتا}\frac{\pi}{٤}-ت\text{جا}\frac{\pi}{٤})$
• د. $٢\sqrt{٢}(-\text{جتا}\frac{\pi}{٤}+ت\text{جا}\frac{\pi}{٤})$

٧ ما سعة العدد المركب $(٢+٢ت)^٢$؟

• أ. $٠$
• ب. $\frac{\pi}{٣}$
• جـ. $\frac{\pi}{٤}$
• د. $\frac{\pi}{٢}$

2. إذا كان $ع_١ = ١+٢ت$ ، $ع_٢ = ٢-ت$ ، جد ناتج ما يلي:

• أ. $|ع_١|$
• ب. $|ع_٢|$
• جـ. $|ع_١+ع_٢|$
• د. $|ع_١|+|ع_٢|$ ، (ماذا تلاحظ؟)

3. جد س ، ص $\in$ ح بحيث $س^٢+س+(ص-١)ت = -س^٢ ت$

4. إذا كان $ل = \frac{٥(٣-ت)}{٣+ت}$ ، $م = \frac{١١ت-٢}{١+٢ت}$

• أ. بيّن أن: ل ، م مترافقان.
• ب. احسب ل + م ، ل م ، ثم جد قيمة $ل^٢+م^٢$

5. احسب قيمة $(\frac{\sqrt{٣}-ت}{١+\sqrt{٣}ت})^٧$

6. أُقيم ذاتي: أكمل الجدول الآتي: