ديناميكا الحركة الدورانية

درست سابقا وصف الحركة الانتقالية بالإزاحة والسرعة والتسارع. في الدوران نحتاج الكميات نفسها لكن بصيغة زاوية، لأن كل نقطة في جسم جاسئ يدور حول محور ثابت تقطع الزاوية نفسها خلال الزمن نفسه حتى لو اختلفت المسافة الخطية التي تقطعها.

الإزاحة الزاوية: الإزاحة الزاوية هي التغير في الموقع الزاوي للجسم: \(\Delta\theta=\thetaf-\thetai\). تقاس بالراديان، وتعد موجبة عند الدوران عكس عقارب الساعة وسالبة عند الدوران مع عقارب الساعة.

الموقع الزاوي هو الزاوية بين الخط الواصل من الأصل إلى الجسيم ومحور \(+x\)، والإزاحة الزاوية هي الفرق بين الموقعين النهائي والابتدائي.

السرعة الزاوية المتوسطة تعرف كما في الكتاب بأنها نسبة الإزاحة الزاوية إلى الزمن: $$\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}$$ حيث تقاس \(\omega\) بوحدة \(rad/s\). وإذا كانت السرعة الزاوية ثابتة فإن السرعة الزاوية المتوسطة تساوي السرعة الزاوية اللحظية.

كل الجسم له \(\omega\) نفسها: أجزاء الأرض أو إطار الدراجة تملك الإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية نفسيهما، لكن المسافات الخطية التي تقطعها تختلف بسبب اختلاف بعدها عن محور الدوران.

الراديان لا الدرجة: استخدم الراديان في قوانين \(\omega\) و\(\alpha\). دورة كاملة تساوي \(2\pi\,rad\)، وليست \(360\) عند التعويض في هذه العلاقات.

اتفاقية الإشارة: قبل الحساب اكتب اتجاه الدوران: عكس عقارب الساعة موجب، ومع عقارب الساعة سالب. هذه الإشارة مهمة في أسئلة التسارع أو التباطؤ.

عندما تتغير السرعة الزاوية خلال زمن، يكون للجسم تسارع زاوي. لا يكفي أن تعرف مقدار السرعة؛ الإشارة تخبرك هل الدوران يزداد في الاتجاه نفسه أم يتباطأ، وهذا نمط مراجعة مباشر هنا.

التسارع الزاوي المتوسط: التسارع الزاوي المتوسط هو نسبة التغير في السرعة الزاوية إلى الزمن: \(\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{\omegaf-\omegai}{\Delta t}\). وحدته \(rad/s^2\).

إذا كانت إشارتي \(\omega\) و\(\alpha\) متماثلتين فإن مقدار السرعة الزاوية يزداد، وإذا اختلفت الإشارتان فإن مقدار السرعة الزاوية يتناقص. لذلك في سؤال مثل \(\omega=-3\,rad/s\) و\(\alpha=-2\,rad/s^2\)، يدور الجسم مع عقارب الساعة ويزداد مقدار سرعته الزاوية.

اتجاه \(\alpha\) بالنسبة إلى \(\omega\) يحدد هل السرعة الزاوية تتزايد أم تتناقص.

قاعدة قبضة اليد اليمنى: لف أصابع يدك اليمنى حول محور الدوران بحيث تشير إلى اتجاه دوران الجسم؛ يشير الإبهام إلى اتجاه متجه السرعة الزاوية. ويكون متجه التسارع الزاوي في اتجاه \(\omega\) عند التسارع وبعكسه عند التباطؤ.

مثال ٧: جهاز فصل مكونات الدم ينتقل من السكون إلى \(3.00\times10^3\,rad/s\) خلال \(30.0\,s\). لذلك \(\alpha=1.00\times10^2\,rad/s^2\)، وبعد \(20.0\,s\) تكون \(\omega=2.00\times10^3\,rad/s\).

المتوسط واللحظي: عندما يكون التسارع الزاوي ثابتا فإن التسارع الزاوي المتوسط يساوي التسارع الزاوي اللحظي. وعندما يرد مصطلح السرعة الزاوية أو التسارع الزاوي وحده في هذه الوحدة، يقصد به اللحظي كما يذكر النص.

في الحركة الانتقالية تقاوم الكتلة تغيير السرعة، وفي الحركة الدورانية يقوم عزم القصور الذاتي بالدور نفسه. العزم المحصل الثابت لا يعطي سرعة زاوية مباشرة؛ بل يعطي تسارعا زاويّا يعتمد على عزم القصور الذاتي للجسم ومحور الدوران.

عزم القصور الذاتي: عزم القصور الذاتي \(I\) مقياس لممانعة الجسم لتغيير حالته الحركية الدورانية، ووحدته \(kg\cdot m^2\). للجسيم النقطي: \(I=mr^2\).

القانون الثاني لنيوتن في الصورة الدورانية هو: $$\sum\tau=I\alpha$$ حيث \(\sum\tau\) العزم المحصل، و\(I\) عزم القصور الذاتي، و\(\alpha\) التسارع الزاوي. هذه العلاقة تناظر \(\sum F=ma\) في الحركة الانتقالية.

توزيع الكتلة مهم: لا يعتمد \(I\) على الكتلة فقط؛ يعتمد أيضا على كيفية توزيع الكتلة وموقع محور الدوران. كلما ابتعدت الكتلة عن المحور كبر \(I\) وصار بدء الدوران أو إيقافه أصعب.

مخطط تلخيصي

جدول ١ ليس للحفظ: يعطي الكتاب صيغ \(I\) لأجسام مختلفة مثل الحلقة والأسطوانة والكرة والقضيب، ويؤكد أن الجدول ليس للحفظ. استخدم الصيغة المعطاة أو الواردة في السؤال، ولا تخترع صيغة لجسم غير موجود.

حلقة وأسطوانة: حلقة رقيقة وأسطوانة مصمتة لهما الكتلة ونصف القطر نفسيهما: الحلقة أصعب في تغيير دورانها لأن كتلتها أبعد عن المحور، ولذلك \(I{حلقة}=mr^2\) أكبر من \(I{أسطوانة}=\frac12mr^2\).

محور الدوران: القضيب نفسه له قيمتان مختلفتان في الجدول حسب المحور: حول منتصفه \(I=\frac{1}{12}mL^2\)، وحول طرفه \(I=\frac{1}{3}mL^2\). اقرأ موضع المحور قبل اختيار الصيغة.

الجزء الأخير من الدرس يربط قانون \(\sum\tau=I\alpha\) بمسائل القوة المماسية وبأسئلة المراجعة. في الحل ابدأ من العزم إذا أعطيت قوة ونصف قطر، ثم احسب التسارع الزاوي، وبعدها استخدم علاقة السرعة الزاوية إذا طلب الزمن أو السرعة.

مثال ٨: كرة \(3.0\,kg\) في نهاية قضيب خفيف \(0.80\,m\) تصل إلى \(8\pi\,rad/s\) خلال \(5.0\,s\): \(\alpha\approx5.0\,rad/s^2\), \(I=1.9\,kg\cdot m^2\), \(\sum\tau=9.5\,N\cdot m\), و\(F\approx12\,N\).

مسألة احتكاك توقف إطار: في مراجعة السؤال 5: خذ اتجاه الدوران مع عقارب الساعة سالبا. قوة الاحتكاك المماسية تعطي عزما معاكسا للحركة: \(\tau=Fr\). ثم \(\alpha=\tau/I\)، وأخيرا استخدم \(\omegaf=\omegai+\alpha t\).

لماذا تتساوى \(\omega\) على الأرض؟: الجسم عند خط الاستواء والجسم عند القطب الشمالي على الأرض ينجزان دورة الأرض نفسها في الزمن نفسه؛ لذلك سرعتهما الزاوية متساوية وغير صفرية، رغم اختلاف السرعات الخطية.

مثال تدريبي لا مثال كتاب: تمرين القرص الدوار في الصفحة 64 مصدره الكتاب، لكنه ليس مرقما كـ «مثال». لذلك يبقى في المراجعة والتطبيقات، ولا يضاف إلى \(examples[]\) كأنه مثال رسمي.

مراجعة الدرس

• ما الكميات الفيزيائية اللازمة لوصف الحركة الدورانية لجسم؟
• إذا كانت السرعة الزاوية لجسم \(-3\,rad/s\) وتسارعه الزاوي \(-2\,rad/s^2\)، فهل يدور مع عقارب الساعة أم عكسها؟ وهل يزداد مقدار سرعته أم يتناقص؟
• يدور إطار دراجة بسرعة زاوية ثابتة حول محور ثابت. هل تتغير السرعة الزاوية لأجزاء الإطار بالانتقال من داخله إلى حافته الخارجية؟
• علام يعتمد عزم القصور الذاتي لجسم؟
• إطار دراجة نصف قطره \(0.5\,m\)، وعزم قصوره \(2.0\,kg\cdot m^2\)، يدور بسرعة ابتدائية \(10\,rad/s\) مع عقارب الساعة. أثرت قوة احتكاك مماسية مقدارها \(8\,N\) فأوقفته. احسب زمن التوقف؟
• قضيب مهمل الكتلة طوله \(L\) مثبت في طرفيه كرتان متماثلتان. قارن العزم اللازم لبدء الدوران حول محور يمر بمنتصف القضيب ومحور يمر بإحدى الكرتين؟
• جسمان متماثلان على سطح الأرض: A عند خط الاستواء وB عند القطب الشمالي. ما العلاقة بين سرعتيهما الزاويتين؟