الجهد الكهربائي

تعلمت أن نقل شحنة اختبار موجبة من اللانهاية إلى نقطة في مجال كهربائي يحتاج شغلا خارجيا إذا تمت الحركة بسرعة ثابتة. هذا الشغل يختزن في نظام الشحنة والمجال على صورة طاقة وضع كهربائية، والجهد هو طريقة قياس هذه الطاقة لكل وحدة شحنة.

الجهد الكهربائي: $$V=\frac{PE}{q0}=\frac{W}{q0}$$

حيث $$V$$ الجهد بوحدة الفولت، و$$PE$$ طاقة الوضع الكهربائية، و$$q_0$$ شحنة الاختبار.

الجهد كمية قياسية، وهو خاصية للشحنة المولدة للمجال ولا يعتمد على مقدار شحنة الاختبار الموضوعة عند النقطة. إذا صار الجهد عند نقطة معلوما ووضعت شحنة $$q$$ عندها، فإن طاقة وضعها تكون $$PE=qV$$.

طاقة الوضع ليست الجهد: النقطة نفسها لها جهد واحد، لكن طاقة الوضع لشحنة موضوعة عندها تعتمد على مقدار الشحنة وإشارتها: $$PE=qV$$.

عند انتقال الشحنة من نقطة ابتدائية جهدها $$Vi$$ إلى نقطة نهائية جهدها $$Vf$$ يكون تغير طاقة الوضع:

$$\Delta PE=q\Delta V=q(Vf-Vi)$$

ويكون شغل القوة الكهربائية:

$$W=-q\Delta V$$

الإلكترون-فولت: الإلكترون-فولت وحدة طاقة لا وحدة جهد: $$1\,eV=1.6\times10^{-19}\,J$$.

في مجال كهربائي منتظم بين صفيحتين، تبذل القوة الكهربائية شغلا عند تحريك شحنة على خط المجال. بمساواة شغل المجال مع علاقة فرق الجهد نحصل على العلاقة التي تتكرر في مسائل الرسوم والنقاط.

فرق الجهد في مجال منتظم: $$Vb-Va=-Ed\cos\theta$$

حيث $$d$$ مقدار الإزاحة من النقطة الابتدائية إلى النهائية، و$$\theta$$ الزاوية بين الإزاحة واتجاه المجال.

إذا تحركت الشحنة مع اتجاه المجال فإن $$\theta=0^\circ$$ ويقل الجهد، لذلك تظهر الإشارة السالبة. وإذا كانت الإزاحة عمودية على المجال فإن $$\theta=90^\circ$$ فيكون فرق الجهد صفرا، وهذا ما يفسر أن النقاط الواقعة على خط عمودي على المجال المنتظم تكون متساوية الجهد.

الصفيحتان والبطارية: بين صفيحتين متوازيتين مشحونتين يكون مقدار المجال $$E=|\Delta V|/d$$ عندما تكون $$d$$ المسافة العمودية بين الصفيحتين.

تجربة العلاقة بين فرق الجهد والمجال الكهربائي تستعمل حوضا ومحلول كبريتات النحاس ومسمارا متحركا وفولتميتر. ترسم قراءة الفولتميتر مقابل الإزاحة، ويكون ميل الجزء الخطي مرتبطا بمقدار المجال الكهربائي، بينما تستبعد الأطراف لأن المجال قربها لا يكون منتظما تماما.

تجربة لا تحفظ رقما: الغرض من التجربة ليس حفظ قراءات محددة؛ المطلوب أن تربط ميل منحنى $$V$$ مقابل $$d$$ بالمجال، وأن تتوقع مصادر الخطأ مثل عدم انتظام المجال قرب الأطراف أو تغير موضع المسمار.

عند شحن موصل معزول تستقر الشحنات على سطحه الخارجي. إذا كان الموصل كرويا، تتوزع الشحنة بانتظام، ويكون المجال داخله صفرا، لذلك يكون الجهد عند كل نقطة داخل الموصل مساويا لجهد السطح.

داخل الموصل: بما أن $$E=0$$ داخل الموصل المتزن، فإن الشغل لنقل شحنة بين نقطتين داخله يساوي صفرا، ومنه يكون فرق الجهد صفرا.

للموصل الكروي نصف قطره $$R$$ وشحنته $$Q$$:

خارج الموصل، عند $$r>R$$:

$$V=k\frac{Q}{r}$$

وعلى سطحه وداخله، عند $$r\le R$$:

$$V=k\frac{Q}{R}$$

$$r$$ و$$R$$: $$R$$ نصف قطر الكرة، أما $$r$$ فهو بعد نقطة خارجية عن المركز. داخل الكرة لا تعوض $$r$$ في المقام؛ الجهد ثابت ويساوي $$kQ/R$$.

الشكل البياني للمجال يختلف عن الجهد: المجال داخل الموصل صفر، لكن الجهد داخل الموصل ثابت وغير صفري غالبا. خارج الموصل يتناقص الجهد مع $$1/r$$، بينما يتناقص المجال مع $$1/r^2$$.

الخلية العصبية: يربط الكتاب فرق الجهد بفكرة فرق الجهد عبر غشاء الخلية العصبية؛ داخل الخلية يكون أكثر سلبية من خارجها، فينشأ فرق جهد يؤثر في حركة الأيونات.

سطح تساوي الجهد هو سطح تكون نقاطه جميعا عند الجهد نفسه. في مجال منتظم تظهر السطوح مستوية ومتوازية، وحول شحنة نقطية موجبة تكون كروية متحدة المركز، وحول موصل كروي مشحون تتحد معه في المركز.

سطح تساوي الجهد: سطح يكون الجهد الكهربائي عند نقاطه جميعا متساويا؛ لذلك يكون فرق الجهد بين أي نقطتين عليه صفرا، ولا يلزم شغل لنقل شحنة على السطح نفسه.

سطوح تساوي الجهد لا تتقاطع؛ لأن التقاطع يعني أن النقطة الواحدة لها أكثر من قيمة للجهد. وهي تتعامد مع خطوط المجال الكهربائي، وتتقارب حيث يكون المجال أقوى لأن فرق الجهد نفسه يحدث خلال مسافة أقصر.

الشغل صفر: إذا نقلت شحنة على سطح تساوي الجهد نفسه فإن $$\Delta V=0$$، ومن ثم $$W=q\Delta V=0$$. لذلك يكون اتجاه المجال عموديا على السطح لا مماسا له.

تجربة رسم خطوط تساوي الجهد عمليا تستعمل لوح رسم خرائط المجال وورقا موصلا وفولتميتر ومصدر تيار مستمر. تثبت قراءة معينة للفولتميتر، ثم تحدد عدة نقاط لها القراءة نفسها وترسم خط تساوي الجهد، وبعد ذلك تستنتج خطوط المجال عمودية عليها.

قراءة الرسم: في رسوم سطوح تساوي الجهد، لا تبدأ بالقوانين مباشرة. اقرأ قيمة السطح الذي تقع عليه كل نقطة، ثم احسب فرق الجهد جبريا.

يمتحن هذا الدرس غالبا عبر اتجاه المجال، إشارة فرق الجهد، قراءة رسوم الموصل الكروي، وحساب الشغل من فرق الجهد. اكتب القانون بإشارته أولا، ثم حدد النقطة الابتدائية والنهائية قبل التعويض.

اختيار العلاقة: إذا كانت المسألة في مجال منتظم فاستعمل $$Vb-Va=-Ed\cos\theta$$. إذا كانت حول موصل كروي فاستعمل $$V=kQ/r$$ خارجا و$$V=kQ/R$$ داخلا. إذا كانت على سطح تساوي جهد ففرق الجهد صفر.

مخطط تلخيصي:

الجهد ليس متجها: لا تجمع الجهود كمتجهات. عند وجود أكثر من شحنة تجمع قيم الجهد جبريا بإشاراتها، بخلاف المجال الكهربائي الذي يجمع متجهيا.

راجع بقية صفحات الدرس في الكتاب المدرسي واربط الأفكار بأمثلة محلولة.

قراءة الكتاب: قبل الحل، حدد المعطيات والمطلوب ثم ارجع للشكل أو الجدول في الـ PDF.

مراجعة الدرس

• أصف تغير الجهد عند الانتقال بين نقطتين داخل مجال منتظم باتجاه خط المجال، وعند الانتقال من مركز موصل كروي مشحون إلى خارجه؟
• في شكل سطوح تساوي الجهد لشحنتين متساويتين ومختلفتين في النوع: أي النقاط جهدها صفر؟ وما $$Va-Vc$$ و$$Vb-Vd$$؟
• في السؤال السابق، أحسب شغل القوة الخارجية لنقل شحنة $$5\,nC$$ من النقطة $$d$$ إلى النقطة $$a$$؟
• كرة نحاس موجبة يظهر رسمها البياني أن جهدها ثابت عند $$50\,V$$ حتى $$R=5\,cm$$. أحسب الجهد عند $$4\,cm$$، وشحنة الكرة، وشغل القوة الكهربائية لنقل شحنة $$6\,\mu C$$ من المركز إلى $$8\,cm$$؟
• جسيم موجب اكتسب طاقة وضع $$1.6\times10^{-16}\,J$$ خلال تحركه $$3\,cm$$ في مجال منتظم $$2\times10^4\,V/m$$. أحسب شحنته؟
• نقطتان $$c$$ و$$d$$ في مجال منتظم $$3.0\times10^3\,V/m$$، والمسافة بينهما $$3.0\,cm$$، والزاوية بين الإزاحة من $$d$$ إلى $$c$$ والمجال $$143^\circ$$. أحسب $$Vc-Vd$$؟
• في السؤال السابق، أحسب الشغل المبذول بوساطة قوة خارجية لنقل بروتون من $$d$$ إلى $$c$$ بسرعة ثابتة؟