ديناميكا الحركة الدورانية

الإزاحة الزاوية: كيف نصف دوران جسم؟

كما نصف الحركة الانتقالية بالإزاحة والسرعة والتسارع، يمكن وصف الحركة الدورانية بمفاهيم خاصة وهي: الإزاحة الزاوية، والسرعة الزاوية، والتسارع الزاوي.

• عندما يدور جسمٌ بزاوية معيّنة؛ فإن جميع جُسيماته تدور بالزاوية نفسها.

• في الشكل (15): جُسيم على جسم يدور حول نقطة الأصل (O) بعكس اتجاه حركة عقارب الساعة.
• عند اللحظة ($t_i$) يكون الموقع الزاوي للجُسيم ($\theta_i$)، وعند اللحظة ($t_f$) يصبح ($\theta_f$).

• إشارة الإزاحة الزاوية:
• موجبة عند الدوران بعكس اتجاه حركة عقارب الساعة.
• سالبة عند الدوران باتجاه حركة عقارب الساعة.

ما الإزاحة الزاوية لجسم يدور؟

وكيف نصف سرعة هذا الدوران؟

السرعة الزاوية: بأي سرعة وفي أي اتجاه يدور الجسم؟

• بالمثل مع السرعة الخطية المتوسطة للحركة الانتقالية، يمكن تعريف السرعة الزاوية المتوسطة للحركة الدورانية.

• ووحدة قياسها هي ⁨(rad/s)⁩.

• عندما تكون السرعة ثابتة، فإن السرعة الزاوية المتوسطة تُساوي السرعة الزاوية اللحظية.

• في الشكل (16) جسم يدور حول محور يمر بالنقطة (O) عموديًا عليها.
• إشارة السرعة الزاوية:
• بعكس اتجاه عقارب الساعة: الإزاحة الزاوية موجبة، فسرعته الزاوية موجبة أيضًا.
• باتجاه حركة عقارب الساعة: الإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية سالبتان.

• السرعة الزاوية كمية متجهة، يرسم متجهها على امتداد محور الدوران.
• قاعدة قبضة اليد اليمنى تحدد اتجاهه: ألفّ أصابع اليد اليمنى حول محور الدوران بحيث تُشير إلى اتجاه دوران الجسم.
• فيُشير الإبهام إلى اتجاه السرعة الزاوية، الشكل (17).

• عند دوران جسم حول المحور y:
• بعكس اتجاه عقارب الساعة: متجه السرعة الزاوية باتجاه محور $y+$.
• باتجاه حركة عقارب الساعة: متجه السرعة الزاوية باتجاه محور $y-$.

ما المقصود بالسرعة الزاوية المتوسطة؟

وماذا لو تغيّرت السرعة الزاوية نفسها؟

التسارع الزاوي: متى يتسارع الدوران ومتى يتباطأ؟

• إذا تغيّر مقدار السرعة الزاوية لجسم من ($\omega_i$) إلى ($\omega_f$) خلال فترة زمنية ($\Delta t$) كان له تسارعٌ زاويّ.

• رمزه ($\bar{\alpha}$) ويُقاس بوحدة (rad/s²):

• عند ثبات التسارع الزاوي يُساوي تسارعه المتوسط تسارعه اللحظي؛ أي أن $\alpha = \bar{\alpha}$.

• تسارع أم تباطؤ؟ نعرف ذلك من إشارتي السرعة الزاوية والتسارع الزاوي:
• إشارتان متماثلتان: الجسم يدور بتسارع.
• إشارتان مختلفتان: الجسم يدور بتباطؤ.
• اتجاه المتجهين: يكون متجه التسارع الزاوي باتجاه متجه السرعة الزاوية عند التسارع، وبعكس اتجاهه عند التباطؤ.

• عندما يدور جسمٌ حول محور ثابت، فإن كل جُسيم فيه يدور بالزاوية نفسها خلال مدة زمنية معيّنة.
• لذا لأجزاء الجسم جميعها السرعة الزاوية نفسها والتسارع الزاوي نفسه.
• فالسرعة الزاوية ($\omega$) والتسارع الزاوي ($\alpha$) تميزان الحركة الدورانية للجسم بأكمله إضافةً إلى الجُسيمات المفردة فيه.

ما التسارع الزاوي المتوسط؟ وبأي وحدة يُقاس؟

كيف أحدد اتجاه كل من السرعة الزاوية والتسارع الزاوي لجسم يدور حول محور (z) بعكس اتجاه حركة عقارب الساعة بسرعة متناقصة؟

ويكتسب الجسم التسارع الزاوي بتأثير ماذا؟

عزم القصور الذاتي: لماذا يصعب تدوير بعض الأجسام؟

عندما يؤثر عزم محصل ثابت في جسم؛ فإنه يكتسب تسارعًا زاويًا ثابتًا، وهذا يناظر القانون الثاني لنيوتن في الحركة الانتقالية.

• في الحركة الانتقالية يكتب القانون الثاني لنيوتن: $\sum F = ma$؛ فالقوة المحصلة الثابتة تكسب الجسم تسارعًا خطيًا ثابتًا.
• في الحركة الدورانية: مقدار العزم المحصل يناظر القوة المحصلة، والتسارع الزاويّ يناظر التسارع الخطي.
• الكتلة (m) مقياس لممانعة الجسم للتغيّر في حركته الانتقالية، ويقابلها عزم القصور الذاتي.

• القانون الثاني لنيوتن في الحركة الدورانية يقابل $\sum F = ma$ العلاقة الآتية:

• حيث $\sum \tau$ مقدار العزم المحصل المؤثر في جسم أو نظام.

• لجُسيم نُقطي كتلته (m) يبعد مسافة عمودية (r) عن محور دوران عمودي على مستوى الصفحة يمر بالنقطة (O)، الشكل (19):

• الوحدة: يُقاس بوحدة ($\text{kg.m}^2$) حسب النظام الدولي للوحدات.

• يعتمد عزم القصور الذاتي على كيفية توزيع الكتلة حول محور الدوران.
• كلما توزّعت كتلة الجسم بعيدًا عن محور دورانه؛ فإن عزم القصور الذاتي له يكون أكبر.
• حلقة رقيقة نصف قطرها (r) وكتلتها (m): عزم قصورها الذاتي ($mr^2$).
• أسطوانة مُصمتة كتلتها (m) ونصف قطرها (r): عزم قصورها الذاتي ($\frac{1}{2} mr^2$).

• يعتمد عزم القصور الذاتي كذلك على موقع محور الدوران.
• قضيب كتلته (m) وطوله (L)، محور دورانه عموديّ عليه:
• محور عمودي على القضيب ويمرّ بمنتصفه: عزم القصور الذاتي ($\frac{1}{12} mL^2$).
• محور عمودي على القضيب ويمرّ بطرفه: عزم القصور الذاتي ($\frac{1}{3} mL^2$).
• يلزم عزم أقلّ لتدوير القضيب حول محور في منتصفه مقارنةً بمحور في أحد طرفيه.

• الجدول (1): عزم القصور الذاتي لأجسام مختلفة؛ في الحلقة والأسطوانة والقرص يمرّ المحور بالمركز عموديًا على مستوى قاعدتها.

ما المقصود بعزم القصور الذاتي؟

يبين الشكل (20) أسطوانتين (أ) و (ب) متساويتين في الكتلة.

أيهما أصعب تحريكًا بالسرعة الزاوية نفسها؛ الأسطوانة (أ) أم (ب)؟

وأيهما أصعب إيقافًا عندما تتحركان حركة دورانية بالسرعة الزاوية نفسها؟

فكيف نحسب العزم والتسارع الزاوي في مسألة كاملة؟

أمثلة: من التسارع الزاوي إلى القوة المماسية

• القوة المماسية والعزم: أستخدم علاقة العزم لحساب مقدار القوة المماسية المؤثرة.
• $\tau = r F \sin\theta$
• $\theta = 90^\circ \;\Rightarrow\; \tau = F r$

1. عزم القصور الذاتي: أحدد محور الدوران وأحسب عزم القصور الذاتي للجسم حوله.
2. التسارع الزاوي: أحسب التسارع الزاوي من تغيّر السرعة الزاوية خلال الزمن.
3. العزم المحصل: أضرب عزم القصور الذاتي في التسارع الزاوي فأجد العزم المحصل.
4. القوة: أقسم العزم على بُعد نقطة التأثير عن المحور، وأتحقق من اتجاه الدوران.