العزم والاتزان السكوني

• أُعرّف التأثير الدوراني للقوة على جسم (العزم).
• أحدد مركز الكتلة لجسم منتظم الشكل وجسم غير منتظم الشكل عمليًا.
• أحدد مركز الكتلة لنظام يتكون من جسمين بمعادلة حسابية.
• أُطبّق شرطي الاتزان.
• أُصمّم تجربةً تربط الاتزان بموقع مركز كتلة جسم.

العزم: لماذا نفتح الباب من المقبض؟

نشاهد في حياتنا اليومية أجسامًا تدور حول محور ثابت تحت تأثير قوّة أو أكثر، مثل الأبواب والبراغي والمفكّات.

• الحركة الدورانية: هذا النوع من الحركة، حركة جسم حول محور ثابت تحت تأثير قوّة أو أكثر.
• محور دوران الباب خطٌّ وهميٌّ رأسيٌّ يمرُّ عبر مُفصلات الباب المُثبّتة عند الطرف المقابل للمقبض.

• ضرب مُتّجهي: العزم يساوي ناتج الضرب المُتّجهي لمتجه القوّة ⁦(F)⁩ ومتجه موقع نقطة تأثير القوّة ⁦(r)⁩.
• متجه الموقع ⁦(r)⁩ يبدأ من نقطةٍ على محور الدوران وينتهي عند نقطة تأثير القوّة.
• الوحدة: يُقاس العزم بوحدة ⁦N.m⁩ حسب النظام الدولي للوحدات.

• مقدار العزم يُحسب كما يأتي، حيث ($\theta$) الزاوية المحصورة بين المُتّجهين ⁦r⁩ و ⁦F⁩:

• لفتح الباب نؤثر بقوّة في مقبضه (النقطة ⁦B⁩)، بدلاً من النقطة ⁦(A)⁩ القريبة من محور الدوران.
• أكبر عزم: نجعل نقطة تأثير القوّة أبعد ما يمكن عن محور الدوران، وبزاوية قائمة بالنسبة لمستوى سطح الباب.

أفسّر دفع الباب بقوة عمودية على مستوى سطح الباب أفضل من دفعه جانبيًا بقوة تميل عن مستوى سطح الباب بزاوية.

ذراع القوة: أي مسافة تُحسب؟

• القوّة ⁦(F)⁩ في الشكل (3) تؤثر في مقبض الباب، ونراه منظرًا عُلويًا.

• عندما تؤثر القوّة ⁦(F)⁩ عموديًا على مستوى سطح الباب، الشكل (3/أ): يكون ذراع القوّة أكبر ما يُمكن، ويساوي مقدار المُتّجه ⁦(r)⁩.
• عندما لا تكون القوّة عمودية على سطح الباب، الشكل (3/ب): ذراع القوّة يساوي ($r \sin \alpha = r \sin \theta$).
• السبب: ($\sin \alpha = \sin \theta$) لأن مجموع الزاويتين يساوي 180°.

• مقدار العزم يتناسب طرديًا مع كُلّ من مقدار القوّة ⁦(F)⁩ وطول ذراعها ($r \sin \theta$).
• العزم كميّة مُتّجهة؛ نعدّه موجبًا عندما يسبّب دوران الجسم في عكس اتجاه حركة عقارب الساعة.
• ونعدّه سالبًا عندما يسبّب دوران الجسم في اتجاه حركة عقارب الساعة.

ما العزم، وعلام يعتمد مقدار العزم؟

فكيف نحسب العزم في مسألة؟

أمثلة: عزم قوة واحدة بزوايا مختلفة

1. المحور والذراع: أحدد محور الدوران، ثم الزاوية بين متجه الموقع ⁦r⁩ ومتجه القوة ⁦F⁩.
2. الإشارة: أحدد اتجاه الدوران: عكس عقارب الساعة عزمه موجب، ومع عقاربها سالب.
3. التعويض: أعوّض في صيغة مقدار العزم وأحسب الناتج مع إشارته.
4. قراءة الناتج: إشارة الناتج تعطي اتجاه الدوران، والصفر يعني أن القوة لا تدوّر الجسم.

العزم المحصل: كيف نجمع عزوم عدة قوى؟

• أكثر من قوة: أحسب العزم الناتج عن كل قوة على حدة، مع مراعاة اتجاه الدوران، ثم أجمع العزوم مع إشاراتها.
• في الشكل (6): ⁦(F₁)⁩ تدوّر الجسم بعكس اتجاه حركة عقارب الساعة، و ⁦(F₂)⁩ باتجاه حركة عقارب الساعة.
• العزم المحصل ⁦(Στ)⁩ المؤثر في الجسم هو مجموع العزمين مع إشارة كل منهما:

كيف أحسب عزم قوى عدة تؤثر في جسم قابل للدوران حول محور ثابت؟ وكيف أحدد اتجاهه؟

الاتزان: متى يبقى الجسم ساكنًا؟

• الجسم الساكن يكون في حالة اتزانٍ سكوني.
• الجسمُ المتحرِّك بسرعة ثابتة وبخطٍّ مستقيمٍ يكون في حالة اتزانٍ حركي.
• في الحالتين القوّة المُحصلة المؤثرة في الجسم تساوي صفرًا؛ ($\sum F = 0$).
• هذا الشرط وحده يحقق الاتزان عندما تكون القوى المؤثرة فيه في الموقع نفسه، مثل المسطرة في الشكل (9/أ).

• الشكل (9/أ): قوّتان أفقيتان متساويتان ومتعاكستان اتجاهًا في الموقع نفسه؛ المسطرة في حالة اتزان سكوني، لأنَّ القوّة المُحصلة تساوي صفرًا.
• الشكل (9/ب): القوّتان نفسهما في موقعين مختلفين؛ المسطرة غير مُتزنة، لأن العزم المحصل المؤثر فيها لا يساوي صفرًا، مع أن القوة المحصلة تساوي صفرًا.
• قوى عدة في مواقع مختلفة: يكون الجسم مُتزنًا عندما يُحقّق الشرطين الآتيين معًا:

الشرط الأول: أن تكون القوّة المُحصلة المؤثرة فيه تساوي صفرًا ($\sum F = 0$).

الشرط الثاني: أن يكون العزم المُحصل المؤثر فيه يساوي صفرًا ($\sum \tau = 0$).

1. القوى: أحدد القوى المؤثرة في الجسم ومواقع تأثيرها، وأعيّن الاتجاه الموجب.
2. محور الدوران: أختار محورًا يمر بنقطة تأثير قوة مجهولة، فيصبح عزمها صفرًا.
3. الشرط الثاني: أساوي مجموع العزوم بصفر، فأحصل على القوة أو المسافة المجهولة.
4. الشرط الأول: أساوي مجموع القوى بصفر في الاتجاه المناسب لأجد باقي المجاهيل.

لماذا لا تعد المسطرة المبينة في الشكل (9/ب) متزنة؟

مركز الكتلة: أين تتركّز كتلة الجسم؟

• موقعه: قد يقع مركز الكتلة داخل الجسم أو خارجه، اعتمادًا على شكل الجسم.
• الجسم المُتماثل مُنتظم توزيع الكتلة (متجانس): ينطبق مركز كتلته على مركزه الهندسي.
• أمثلة: قضيب فلزي، أو مسطرة، أو أسطوانة، أو كرة؛ مركز كتلة كلٍّ منها في مركزه الهندسي.
• كرة مجوفة أو حلقة دائرية: مركز كتلتها في مركزها الهندسي، بالرغم من عدم وجود مادة عند تلك النقطة، الشكل (11).
• الجسم غير منتظم الشكل: مركز كتلته أقرب إلى المنطقة ذات الكتلة الأكبر.

• عمليًا: يمكن تحديد موقع مركز الكتلة باتباع الخطوات الموضحة في التجربة الآتية.
• أُعلّق قطعة الورق المقوّى من أحد الثقبين وأرسم خطًا رأسيًا على امتداد خيط الشاقول.
• أُكرّر الخطوة بتعليق قطعة الورق المقوّى من الثقب الآخر.

أين يقع مركز كتلة جسم منتظم متماثل؟ وأين يقع مركز كتلة جسم غير منتظم الشكل؟

أحدّد نقطة تقاطع الخطين على قطعة الورق المقوّى، ما الذي تمثله هذه النقطة؟ ماذا أستنتج؟

أصدر حكما: أي من النقاط الثلاث من المحتمل أن يقع مركز الكتلة عندها؟ أبرر إجابتي. أقترح خطوة إضافية على الطالبة أن تقوم بها لتحدد موقع مركز الكتلة بدقة.

وماذا عن نظام من جسمين مختلفين في الكتلة؟

جسمان في نظام: أين يقع مركز الكتلة؟

• جسمان متساويان في الكتلة (رافع أثقال يرفع ثقلين): مركز كتلة النظام عند منتصف المسافة بين الجسمين، الشكل (12).

• جسمان مختلفان في الكتلة ($m_A, m_B$): مركز الكتلة على الخط الواصل بينهما وأقرب إلى الكتلة الأكبر، الشكل (13).
• أختار نظام محاور يقع فيه الجسمان على محور $x$ عند موقعين ($x_A, x_B$).
• الإحداثي $x$ لموقع مركز كتلة النظام ($x_{CM}$) يُحسب بالعلاقة الآتية:

أين يقع مركز الكتلة لنظام من جسمين مختلفين في الكتلة؟ وبأي علاقة أحدد إحداثيه؟

في المثال (5)؛ أثبتُ أن مجموع العزوم الناتجة عن أوزان مكونات النظام حول محور عمودي على الصفحة يمر في مركز الكتلة يساوي صفرا.