المجال الكهربائي

• أصف خطوط المجال لتوزيعات متصلة من الشحنات.
• أصف التدفق الكهربائي الذي يخترق سطحًا بمعادلة رياضية.
• أحسب مقدار المجال الكهربائي لتوزيعات متصلة من الشحنات.
• أصف حركة جسيم مشحون في مجال كهربائي منتظم.

خطوط المجال: كيف نرسم ما لا نراه؟

عند شحن جسم موصل؛ فإن الشحنات تستقر على سطحه الخارجي.

• الجسم المشحون يُولد في الحيز المحيط به مجالًا كهربائيًا.
• يظهر تأثيره على شكل قوة كهربائية تؤثر في الأجسام المشحونة الأخرى التي تقع ضمن المجال.
• للكشف عن المجال تُستخدم شحنة اختبار صغيرة موجبة، يؤثر المجال فيها بقوة كهربائية.
• خطوط المجال الكهربائي: المسارات التي تسلكها شحنة الاختبار المتحركة تحت تأثير قوة المجال، وبها يُمثَّل المجال الكهربائي.

• شحنة نقطية موجبة (الشكل 1/أ):
• تنطلق الخطوط من الشحنة باتجاهات مختلفة، وتتباعد عن بعضها بزيادة البُعد عن الشحنة.
• فالمجال الناشئ عنها غير منتظم؛ متغير مقدارًا واتجاهًا.
• صفيحتان موصلتان مشحونتان بشحنتين متساويتين في المقدار؛ إحداهما موجبة والأخرى سالبة (الشكل 1/ب):
• الخطوط في الحيز بينهما مستقيمة ومتوازية وتشير بالاتجاه نفسه.
• فتدلُّ على مجال كهربائي منتظم.

وكم خطًا يخترق سطحًا يوضع في هذا المجال؟

التدفق الكهربائي: كم خطًا يخترق السطح؟

• سطح عمودي على المجال (الشكل 2/أ): مساحته (A)، يخترقه مجال كهربائي منتظم مقداره (E).
• عدد خطوط المجال لكل وحدة مساحة يتناسب طرديًا مع مقدار المجال.
• لذلك يتناسب عدد الخطوط الكلي التي تخترق السطح طرديًا مع ناتج الضرب ⁨(EA)⁩، ويُسمى الناتج التدفق الكهربائي.

• إذا دار السطح (الشكل 2/ب) ليصبح غير متعامد مع خطوط المجال؛ فإن عدد الخطوط التي تخترقه يقل.
• لحساب التدفق في هذه الحالة نُعرّف متجه المساحة (A).

• نحدد الزاوية (θ) بين متجهي المجال (E) والمساحة (A).

• التدفق الكهربائي كمية قياسية، ووحدة قياسه حسب النظام الدولي للوحدات ($\text{N.m}^2/\text{C}$).

ما العوامل التي يعتمد عليها التدفق الكهربائي عبر سطح مستوٍ؟

وماذا عن التدفق عبر سطح يحيط بحجم كامل؟

السطح المغلق: ماذا يبقى من التدفق الكلي؟

• المكعب (الشكل 4) في مجال كهربائي منتظم مثال على سطح مغلق.
• نحسب التدفق عبر أحد أوجهه بالعلاقة ($\Phi = EA \cos \theta$)، بعد رسم متجه المساحة عموديًا على الوجه نحو الخارج وتحديد الزاوية (θ) بين متجهي المجال والمساحة.

• السطح (1): خطوط المجال خارجة منه والزاوية ($\theta = 0^{\circ}$)؛ فالتدفق موجب:
• $\Phi_{1} = EA \cos 0^{\circ} = EA$
• السطح (2): خطوط المجال داخلة فيه والزاوية ($\theta = 180^{\circ}$)؛ فالتدفق سالب:
• $\Phi_{2} = EA \cos 180^{\circ} = -EA$
• لا تخترق خطوط المجال السطحين العلوي والسفلي (3، 4) حيث الزاوية ($\theta = 90^{\circ}$)، ولا الأسطح الجانبية الموازية للمجال؛ فالتدفق عبرها يساوي صفرًا.
• التدفق الكلي ($\Phi_{\text{net}}$) عبر المكعب مجموع التدفق عبر سطوحه ويساوي صفرًا.

• بوجه عام: التدفق الكهربائي الكلي الناتج عن مجال كهربائي منتظم عبر سطح مغلق موضوع في المجال يساوي صفرًا.

قد يكون التدفق الكهربائي عبر جزء من سطح مغلق موجبًا أو سالبًا. علام تدل إشارة التدفق؟

وهل يتبع هذا التدفق الكلي شيئًا داخل السطح؟

قانون غاوس: التدفق يتبع الشحنة داخل السطح

• قانون غاوس يوضح العلاقة بين التدفق الكهربائي الكُلّي عبر سطح مغلق، والشحنة الكهربائية المحتواة داخله.

• حيث ($q_{in}$) الشحنة الكلية المحتواة داخل السطح، و($\varepsilon_0$) السماحية الكهربائية للهواء.
• لا يعتمد التدفق على شكل السطح: يتساوى عبر ثلاثة أسطح مختلفة ($S_1, S_2, S_3$) تحيط بشحنة نقطية ($q$)؛ لأن عدد الخطوط التي تخترق كُلًّا منها متساوٍ.

• الشحنة المسببة للمجال خارج السطح (الشكل 5/ب): التدفق صفر؛ فعدد الخطوط الداخلة إلى السطح يساوي عدد الخطوط الخارجة منه.

سطح غاوس كروي الشكل يحيط بشحنة نقطية ($q$)، موضوعة عند مركز السطح. أوضح ما يحدث للتدفق الكهربائي في الحالات الآتية:

• أ. إزاحة الشحنة عن المركز مع بقائها داخل السطح.

• ب. مضاعفة الشحنة داخل السطح ثلاث مرات.

• ج. مضاعفة نصف قطر السطح الكروي المحيط بالشحنة ($q$) مرتين.

• د. استخدام مكعب يحيط بالشحنة ($q$) بدلاً من السطح الكروي.

الشحنة على الموصل: أين تستقر ولماذا؟

• من التطبيقات المهمة لقانون غاوس حساب المجالات الناشئة عن توزيعات متصلة من الشحنات؛ مثل الموصل الكروي المشحون.
• عند شحن جسم موصل تتباعد الشحنات عن بعضها بسبب تنافرها وتستقر على السطح الخارجي للموصل.
• ناتج قسمة شحنة الموصل ($Q$) على مساحة سطحه ($A$) هو الكثافة السطحية للشحنة ($\sigma$).

• نقتصر على ثلاثة توزيعات:
• موصل كروي مشحون.
• قشرة رقيقة مشحونة.
• صفيحتان متوازيتان مشحونتان بشحنتين مختلفتين في النوع ومتساويتين في المقدار.

لماذا تتوزع الشحنات على السطح الخارجي للموصل المشحون، ولا تستقر في الداخل؟

فكيف نحسب مجال الموصل الكروي المشحون نفسه؟

الكرة الموصلة: مجال يشبه الشحنة النقطية

• كرة موصلة نصف قطرها ($R$)، تتوزع على سطحها الخارجي شحنة ($Q$) بشكل منتظم.
• نحسب المجال الكهربائي عند نقطة خارج الكرة وعلى بعد ($r > R$) من مركزها.

1. سطح غاوس: أرسم سطحًا وهميًا مغلقًا يمر بالنقطة المطلوبة، ويتماثل مع توزيع الشحنة.
2. متجه المساحة: أرسم متجه المساحة عموديًا على السطح نحو الخارج، وأحدد زاويته مع المجال.
3. قانون غاوس: أكتب التدفق بدلالة المجال والمساحة، وأساويه بالشحنة داخل السطح على السماحية.
4. الحل: أعوّض الشحنة داخل السطح، وأحلّ المعادلة لأجد مقدار المجال.

• سطح غاوس: سطح كروي وهمي مغلق يحيط بالكرة، نصف قطره ($r$)، ومركزه مركز الكرة؛ فمقدار المجال ($E$) متساوٍ عند نقاطه جميعها.
• متجه المساحة موازٍ للمجال عند نقاط السطح جميعها ($\theta = 0^\circ$)؛ فيكون التدفق الكلي عبر السطح:

• حيث مساحة سطح غاوس ($A = 4\pi r^2$).

• بتطبيق قانون غاوس يمكن التعبير عن التدفق بالصورة الآتية:

• نعوّض شحنة الكرة على أنها الشحنة داخل سطح غاوس ($q_{in} = Q$)؛ فنتوصل إلى أن المجال الكهربائي:

• يمكن التعبير عن الثوابت بالرمز ($k$)، حيث:

• وبذلك يمكن التعبير عن المجال الكهربائي بالصورة الآتية:

• تُستخدم هذه العلاقة عند نقطة تقع خارج الكرة الموصلة المشحونة، أو قريبة جدًا من سطحها.
• المجال خارج الكرة يُماثل مجال الشحنة النقطية.
• المجال داخل الكرة يساوي صفرًا (الشكل 10).

ما العوامل التي يعتمد عليها المجال الكهربائي عند نقطة تقع خارج موصل كروي مشحون؟

أثبت باستخدام قانون غاوس أن «المجال الكهربائي داخل الموصل الكروي يساوي صفرًا».

وماذا لو كانت الشحنة موزعة على قشرة مستوية كبيرة؟

القشرة اللانهائية: مجال لا يتغير مع البعد

• قشرة رقيقة مستوية لا نهائية الأبعاد مشحونة بشحنة موجبة، تتوزع على سطحها بكثافة سطحية منتظمة ($\sigma$).
• خطوط المجال عمودية على سطح القشرة، واتجاه المجال على أحد جانبيها عكس اتجاهه على الجانب الآخر.

• سطح غاوس: اسطوانة تحيط بجزء من القشرة مساحته ($A$)، ومساحة كل من قاعدتيها ($A$).
• متجه المساحة عمودي على قاعدتي الاسطوانة؛ فهو موازٍ للمجال ($\theta = 0^\circ$) على جانبي القشرة.
• أما السطح الجانبي للاسطوانة فلا تخترقه خطوط المجال.
• نطبق قانون غاوس لحساب التدفق الكلي عبر سطح غاوس:

• حيث يمثل ($2A$) مجموع مساحتي وجهي الاسطوانة.
• نعوّض الشحنة داخل غاوس ($q_{in} = \sigma A$)؛ فنتوصل إلى أن المجال الكهربائي:

• المجال منتظم لا يعتمد على بعد النقطة التي يُقاس عندها عن القشرة.
• تُستخدم العلاقة لحساب مقدار المجال سواء كانت شحنة القشرة موجبة أو سالبة، وتعوض الكثافة السطحية للشحنة بدون الإشارة.

الصفيحتان المتوازيتان: مجال منتظم بينهما

• للحصول على مجال كهربائي منتظم نضع صفيحتين موصلتين متماثلتين متوازيتين ومتقابلتين، تفصل بينهما مسافة قصيرة مقارنة بأبعادهما.
• ثم نشحنهما بشحنتين مختلفتين نوعًا، متساويتين مقدارًا (الشكل 14).

• بين الصفيحتين: نفترض أن كل صفيحة قشرة رقيقة؛ فالمجال الناشئ عن الصفيحة الموجبة ($E_1$)، وعن السالبة ($E_2$).
• المجال المحصل ($E$) مساوٍ لناتج جمع المجالين؛ لأنهما بالاتجاه نفسه.

• حيث ($\sigma$) مقدار الكثافة السطحية للشحنة على الصفيحة الواحدة.

كيف يمكن حساب المجال الكهربائي في الحيز بين صفيحتين متوازيتين مشحونتين بشحنتين مختلفتين نوعًا متساويتين مقدارًا؟

وكيف يتحرك جسيم مشحون داخل هذا المجال؟

الجسيم المشحون: قوة ثابتة وتسارع ثابت

• جسيم مشحون في مجال كهربائي منتظم تؤثر فيه قوة ثابتة في المقدار والاتجاه أينما كان موقعه داخل المجال.
• اتجاه القوة (الشكل 16):
• في جسيم موجب الشحنة: باتجاه المجال.
• في جسيم سالب الشحنة: بعكس اتجاه المجال.
• القوة الكهربائية ($F_E$) تُعطى بالعلاقة الآتية:

• حيث ($q$) مقدار شحنة الجسيم المشحون،
• و($E$) مقدار المجال الكهربائي المنتظم.

• بإهمال وزن الجسيم مقارنةً بالقوة الكهربائية؛ فإن ($F_E$) هي القوة المحصلة ($\Sigma F$) المؤثرة فيه.
• وبتطبيق القانون الثاني لنيوتن ($\Sigma F = ma$) يكتسب الجسيم، وكتلته ($m$)، تسارعًا ثابتًا يعطى بالعلاقة:

• اتجاه التسارع باتجاه القوة الكهربائية.
• وبما أن التسارع ثابت؛ فإن حركة الجسيم تُوصف بمعادلات الحركة بتسارع ثابت:

• نقتصر على الحركة في بعد واحد (موازية للمجال).

وأين يُستخدم المجال لتنقية الغاز؟

المرشّح الكهروستاتيكي: المجال في خدمة الصناعة