ضرب المتجهات

أفكّر وأناقش: أراد سعيد أن يسحب صندوقين لهما نفس الكتلة، فإذا سحب الصندوق الأول بحبل أفقي مسافة ٦م نحو الشرق، ثم سحب الصندوق الثاني بنفس القوة ونفس المسافة والاتجاه بحبل يميل عن الأفقي بزاوية قياسها $٦٠^\circ$. في أي الحالتين بُذلَ شغلٌ أكبر وما الوحدة المستخدمة في الشغل؟

تعريف : إذا كان $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ متجهين ، فإنّ الضرب القياسي لهذين المتجهين هو $\vec{أ} \cdot \vec{ب}$ حيث $\vec{أ} \cdot \vec{ب} = |\vec{أ}| |\vec{ب}| \text{جتا } هـ$ حيث $هـ$ قياس الزاوية الصغرى المحصورة بين المتجهين $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ حيث $هـ \in [٠ ، \pi]$.

أفكّر وأناقش: حاصل الضرب القياسي (الداخلي) لأي متجهين كمية قياسية وليس كمية متجهة.

مثال ١ : إذا كان $\vec{أ} = (٢ ، ٢)$ ، $\vec{ب} = (٠ ، ٣)$ ، أجد $\vec{أ} \cdot \vec{ب}$ باستخدام تعريف الضرب الداخلي للمتجهات.

الحل : بتمثيل المتجهين هندسياً في المستوى ، فإنّ قياس الزاوية المحصورة بين المتجه $\vec{أ}$ والاتجاه الموجب لمحور السينات يساوي $٤٥^\circ$ لماذا؟ ومنها ينتج أن: $هـ = ٤٥^\circ$

نشاط ١: ما قيمة ١ $\vec{و_١} \cdot \vec{و_٢}$ ٢ $\vec{و_٢} \cdot \vec{و_٢}$ ٣ $\vec{و_١} \cdot -٢ \vec{و_٢}$

الحل :

١ $\vec{و_١} \cdot \vec{و_٢} = |\vec{و_١}| |\vec{و_٢}| \text{جتا } ٩٠^\circ$ = ـــــــــ

٢ $\vec{و_٢} \cdot \vec{و_٢}$ = ـــــــــ

٣ $\vec{و_١} \cdot -٢ \vec{و_٢}$ = ـــــــــ

إذا كان $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ ، $\vec{جـ}$ متجهاتٍ غيرَ صفريةٍ و كان $د \in \mathbb{R}^*$ ، فإنّ

١ $\vec{أ} \cdot \vec{أ} = |\vec{أ}|^٢$ لماذا ؟

٢ $\vec{أ} \cdot \vec{ب} = \vec{ب} \cdot \vec{أ}$ (الخاصية التبديلية) لماذا؟

٣ $\vec{أ} \cdot (\vec{ب} + \vec{جـ}) = (\vec{أ} \cdot \vec{ب}) + (\vec{أ} \cdot \vec{جـ})$ (التوزيع من اليمين)

٥ $د(\vec{أ} \cdot \vec{ب}) = (د\vec{أ}) \cdot \vec{ب} = \vec{أ} \cdot (د\vec{ب})$ لكل $د \in \mathbb{R}^*$

أفكّر وأناقش: هل يوجد للتعبير $\vec{أ} \cdot \vec{ب} \cdot \vec{جـ}$ معنى؟

نشاط ٢: أثبت أن: $|\vec{أ} + \vec{ب}| \leq |\vec{أ}| + |\vec{ب}|$

= ـــــ + ـــــ + $٢ |\vec{أ}| |\vec{ب}|$ جتا هـ

$\leq |\vec{أ}|^٢ + |\vec{ب}|^٢ + ٢ |\vec{أ}| |\vec{ب}|$ (لماذا؟)

$\leq$ ( ـــــ + ـــــ )$^٢$

ومنها $|\vec{أ} + \vec{ب}| \leq |\vec{أ}| + |\vec{ب}|$

استخدم الضرب الداخلي؛ لإثبات نظرية فيثاغورس

الحل : $\vec{ع} = \vec{س} + \vec{ص}$ $\vec{ع} \cdot \vec{ع} = (\vec{س} + \vec{ص}) \cdot (\vec{س} + \vec{ص})$ $|\vec{ع}|^٢ = |\vec{س}|^٢ + \vec{س} \cdot \vec{ص} + \vec{ص} \cdot \vec{س} + |\vec{ص}|^٢$ $|\vec{ع}|^٢ = |\vec{س}|^٢ + |\vec{ص}|^٢ \quad \text{لماذا؟}$

$\vec{س}$ $\vec{ص}$ $\vec{ع}$

نظرية : إذا كان $\vec{أ} = (أ_١ ، أ_٢)$ ، $\vec{ب} = (ب_١ ، ب_٢)$ فإنّ $\vec{أ} \cdot \vec{ب} = أ_١ ب_١ + أ_٢ ب_٢$

البرهان: $\vec{أ} = أ_١ \vec{و_١} + أ_٢ \vec{و_٢}$ ، $\vec{ب} = ب_١ \vec{و_١} + ب_٢ \vec{و_٢}$

$\vec{أ} \cdot \vec{ب} = (أ_١ \vec{و_١} + أ_٢ \vec{و_٢}) \cdot (ب_١ \vec{و_١} + ب_٢ \vec{و_٢})$

$= أ_١ ب_١ + أ_٢ ب_٢ \quad \text{لماذا؟}$

ويمكن تعميم النظرية من المستوى إلى الفراغ كما يلي :

إذا كان $\vec{أ} = (أ_١ ، أ_٢ ، أ_٣)$ ، $\vec{ب} = (ب_١ ، ب_٢ ، ب_٣)$

فإنّ $\vec{أ} \cdot \vec{ب} = أ_١ ب_١ + أ_٢ ب_٢ + أ_٣ ب_٣$

إذا كان $\vec{أ} = (٣ ، ٥ ، -١)$ ، $\vec{ب} = (٢ ، -٢ ، ٤)$ أجد $\vec{أ} \cdot \vec{ب}$

الحل : $\vec{أ} \cdot \vec{ب} = ٣ \times ٢ + ٥ \times -٢ + -١ \times ٤ = -٨$

نشاط ٣: إذا كان $\vec{أ} = (٣ ، ٠)$ ، $\vec{ب} = (٠ ، ٤)$

١ أعيّن المتجهين في المستوى الدّيكارتي. ٢ أجد $\vec{أ} \cdot \vec{ب}$ ، فسّر إجابتك.

نتيجة: يكون المتجهان غير الصفريين $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ متعامدين إذا وفقط إذا كان $\vec{أ} \cdot \vec{ب} = \text{صفرًا}$

أبيّن أن كل زوجين من المتجهات الآتية متعامدان :

1. $\vec{أ} = (٢ ، ٤ ، -٢)$ ، $\vec{ب} = (٣ ، ١ ، ٥)$

2. $\vec{و_١}$ ، $\vec{و_٢}$ في الفراغ

1. $(٢ ، ٤ ، -٢) \cdot (٣ ، ١ ، ٥) = ٦ + ٤ - ١٠ = \text{صفرًا إذن } \vec{أ} \perp \vec{ب}$

2. $\vec{و_١} \cdot \vec{و_٢} = (١ ، ٠ ، ٠) \cdot (٠ ، ١ ، ٠) = \text{صفرًا إذن } \vec{و_١} \perp \vec{و_٢}$

إذا كان $\vec{أ} = (٢ \text{ جا س} ، \text{جا س})$ ، $\vec{ب} = (\text{جا س} ، ١)$ متعامدين، ما قيمة/ قيم س :

$(٢ \text{ جا س} ، \text{جا س}) \cdot (\text{جا س} ، ١) = ٠$ $٢ \text{ جا}^٢ \text{س} + \text{جا س} = ٠$ $\text{جا س} (٢ \text{ جا س} + ١) = ٠$

إما $\text{جا س} = ٠$ ومنها $\text{س} = ٠ ، \pi ، ٢\pi$ (ترفض)

أو $\text{جا س} = -\frac{١}{٢}$ ومنها $\text{س} = \{\pi \frac{٧}{٦} ، \pi \frac{١١}{٦}\}$

نظرية : إذا كان المتجه $\vec{أ} = (أ_١ ، أ_٢ ، أ_٣)$ وكانت هـ$_١$ ، هـ$_٢$ ، هـ$_٣$ قياسات الزوايا التي يصنعها المتجه مع المحاور الإحداثية الموجبة س ، ص ، ع على الترتيب، فإنّ :

أ) $\text{جتا هـ}_١ = \frac{أ_١}{|\vec{أ}|} \quad ، \quad \text{جتا هـ}_٢ = \frac{أ_٢}{|\vec{أ}|} \quad ، \quad \text{جتا هـ}_٣ = \frac{أ_٣}{|\vec{أ}|}$

ب) $\text{جتا}^٢ \text{هـ}_١ + \text{جتا}^٢ \text{هـ}_٢ + \text{جتا}^٢ \text{هـ}_٣ = ١$

تُسمّى الزوايا هـ$_١$ ، هـ$_٢$ ، هـ$_٣$ الزوايا الاتجاهية للمتجه $\vec{أ}$ ، وهي الزوايا التي تحدد اتجاه المتجه في الفراغ.

1. أجد قياسات الزوايا التي يصنعها المتجه $\vec{\text{أ}} = (١ ، ٠ ، \sqrt{٣})$ مع المحاور الإحداثية.

2. أبين أن: جتا^٢ هـ_١ + جتا^٢ هـ_٢ + جتا^٢ هـ_٣ = ١

الحل

1. جتا هـ_١ = أ_١|أ| = (١)/(٢) ومنها $هـ_١ = ٦٠^\circ$

جتا هـ_٢ = أ_٢|أ| = صفر٢ ومنها هـ_٢ = ٩٠^

جتا هـ_٣ = أ_٣|أ| = √(٣)٢ ومنها هـ_٣ = ٣٠^

2. جتا^٢ هـ_١ + جتا^٢ هـ_٢ + جتا^٢ هـ_٣ = ((١)/(٢))^٢ + (٠)^٢ + (√(٣)٢)^٢ = ١

أفكر وأناقش: ما قيمة المقدار جا^٢ هـ_١ + جا^٢ هـ_٢ + جا^٢ هـ_٣ ؟

نشاط ٤: بالاعتماد على الشكل المجاور، اثبت باستخدام المتجهات ان

• ص
• ع
• س
• $هـ$

|ع|^٢ = |س|^٢ + |ص|^٢ - ٢ |س| |ص| جتاهـ (قانون جيب التمام)

بالإضافة للضرب القياسي (الداخلي) للمتجهات هناك ضرب آخر للمتجهات يسمى الضرب المتجهي (الخارجي) وله تطبيقات فيزيائية مثل العزم والقوة المؤثرة على جسم يسير في مجال مغناطيسي ويمكن تعريفه كما يلي: أ × ب = |أ| |ب| جا هـ ن ، حيث $\hat{ن}$ متجه وحدة عمودي على كل من المتجهين $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ ، $هـ$ الزاوية الصغرى المحصورة بين المتجهين $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ ويتم تحديد اتجاهه باستخدام قاعدة اليد اليمنى.

مثال ٧ : إذا كان |أ| = ٨ وحدات ، |ب| = ٦ وحدات هـ = ٣٠^ ، أجد ما يلي: ١ أ × ب ٢ |أ + ب|

الحل : ١ أ × ب = |أ| |ب| جا هـ ن = ٨ × ٦ × (١)/(٢) ن = ٢٤ ن

ولتحديد اتجاهه نستخدم قاعدة اليد اليمنى كما يلي بحيث نوجه أصابع اليد اليمنى باتجاه $\vec{أ}$ ثم نحرك الأصابع باتجاه $\vec{ب}$ فيكون اتجاه الإبهام هو اتجاه أ × ب

أ × ب $هـ$ $\vec{أ}$ $\vec{ب}$

٢ |أ + ب|^٢ = |أ|^٢ + |ب|^٢ + ٢ |أ| |ب| جتا هـ = ٦٤ + ٣٦ + ٢ × ٨ × ٦ × جتا ٣٠^ ≈ ١٨٣ ومنها |أ + ب| ≈ ١٣.٥ ألاحظ أن: أ × ب = - (ب × أ)

أفكّر وأناقش: إذا كان أ × ب = ٠ ، ما العلاقة بين $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ ؟

بالاضافة للتطبيقات الفيزيائية توجد تطبيقات هندسية على الضرب الخارجي (المتجهي) وهي ايجاد مساحة متوازي الاضلاع ومساحة المثلث ففي الشكل المجاور

مساحة متوازي الأضلاع = القاعدة × الارتفاع

مساحة المثلث = (١)/(٢) مساحة متوازي الأضلاع المشترك معه في القاعدة والارتفاع.

نشاط٥: المتجهان $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ يمثلان ضلعين متجاورين في متوازي أضلاع بحيث إن

وقياس الزاوية بين المتجهين $\vec{أ}$ ، $\vec{ب}$ يساوي ٣٠^

1. |أ| = ، |ب| =
2. مساحة متوازي الاضلاع =
3. مساحة المثلث المشترك مع متوازي الاضلاع في القاعدة والارتفاع =

١ أجد ما يلي : أ $\vec{أ} \cdot \vec{ب}$ علماً بأن: أ = (٥ ، ٣ ، ٠) ، ب = (-١ ، ٢ ، ٢) ب و_١ × و_٣

٢ أجد قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين (١ ، ٤ ، ٣) ، (٣ ، ١٢ ، ٩)

٣ أجد قيمة س فيما يلي : أ إذا كان أ = (س ، √(٣)) ، ب = (-س ، √(٣)) وقياس الزاوية بينهما $٦٠^\circ$ ب إذا كان أ = (جتاس ، -جاس) ، ب = (جتاس ، ١ + جاس)، وكان أ ب، س ]٠ ، π].

٤ إذا كانت أ نقطة تقع في الثمن الأول وكانت قياسات الزوايا الاتجاهية للمتجه $\vec{أ}$ هي هـ_١ ، هـ_٢ ، هـ_٣ بحيث إن: هـ_١ = (π)/(٤) ، هـ_٢ = (π)/(٣) ، ما قياس الزاوية هـ_٣؟

٥ أثبت باستخدام المتجهات أن قطري المعين متعامدان .

٦ إذا كان $\vec{أ}$ يعامد $\vec{ب}$ ، وكان $\vec{أ}$ يعامد $\vec{جـ}$ أثبت أن $\vec{أ}$ يعامد د حيث د = م ب + ن جـ ، م ، ن ح^*.

٧ إذا كان |أ × ب| = ٤٠ √(٢) ، |أ| = ١٦ ، |ب| = ٥ أ أجد الزاوية بين المتجهين أ ، ب . ب أجد |٢ أ + ٣ ب|

٨ أثبت باستخدام الضرب المتجهي أن المساحة الجانبية للاسطوانة = ٢ π نق ع .