جداول الصواب وأدوات الربط

تعلمت في درس سابق أن العبارة الرياضية ف إما أن تكون صائبة أو خاطئة، أي أن قيمة صوابها يمكن أن تكون صائبة أو خاطئة.

• بطارية
• خ

ويمكن أن نمثل العبارة الرياضية بالدارة الكهربائية. (أنظر الشكل المجاور) التي لها فرصتان للتشغيل، فإما أن تكون مغلقاً ويقابل ذلك قيمة الصواب (ص)، وإما أن تكون مفتوحاً، ويقابل ذلك قيمة الصواب (خ).

أما إذا كان لدينا العبارتان ف، ن فإن لهاتين العبارتين الرياضيتين معاً أربع حالات لقيم صوابهما، وهي: العبارتان صائبتان، أو الأولى صائبة والثانية خاطئة، أو الأولى خاطئة والثانية صائبة، أو الاثنتان خاطئتان، ولتسهيل كتابة إمكانات صواب أو خطأ عبارتين رياضيتين مركبتين معاً، فقد تم تنظيم هذه الإمكانات في جداول خاصة تسمى جداول الصواب، وهي مفيدة لنا لدراسة العبارات الرياضية المركبة في جوانب عديدة كما سيتضح لاحقاً، والجدول الموضح هو جدول الصواب الخاص بالعبارتين ف، ن

أفكر وأناقش: عدد الإمكانات الممكنة لقيم صواب ك عبارة رياضية مركبة يساوي $٢^ك$.

في خضم حديثنا عن التراث الفلسطيني، تتردد بعض الجمل مثل: المسخن أكلة فلسطينية، والخبيصة (حلوى الخروب) من الحلويات الشعبية الفلسطينية التي دأبت على إعدادها الجدّات، والقمباز والكوفية، أو الحطة والعقال، أزياء تراثية طالما ارتداها أجدادنا...

العبارة الرياضية المركبة: هي عبارة رياضية تتكون من عبارتين رياضيتين، أو أكثر تربط بينها أدوات ربط مثل (و) ، (أو) ، (إذا كان... فإن ...) ، (...إذا وفقط إذا ...).

١ أداة الربط (و) ⁦(and)⁩

يرمز لأداة الربط (و) بالرمز $\wedge$.

نشاط ١: وعد والد كريم ابنه كريماً بأنه سيصحبه في رحلة إلى بيت لحم، وسيقدم له هديةً إن حصل على معدلٍ عالٍ، وبعد حصول كريم على معدل عالٍ، فكر في وعد والده، فوجد إمكانات أربعة لتنفيذ الوالد وعده، فإما أن ينفذ وعده كاملاً، حيث سيصحبه إلى بيت لحم ويقدم له الهدية، وهذا هو السلوك الصائب الذي يتماشى مع القيم الإيجابية السائدة، في الإيفاء بالوعد، وإما ألّا ينفذ وعده جزئياً، بمعنى سوف لن يصحبه إلى بيت لحم ولكن سيقدم له هدية، أو سيصحبه إلى بيت لحم ولن يقدم له هدية، أو ألّا ينفذ وعده كاملاً أي لن يصحبه إلى بيت لحم ولن يقدم له هدية، ترى كيف تصرّف الأب تجاه وعده لابنه؟

إذا رمزنا ف: صحب الأب ابنه كريماً إلى بيت لحم، ن: قدم الأب هدية لكريم، فإنه يمكن بناء جدول الصواب للعبارة الرياضية: ف $\wedge$ ن بإمكاناته الأربعة المقابلة لإمكانات تنفيذ والد كريم للوعد كما يأتي: ويلاحظ من الجدول أن ف $\wedge$ ن تكون صائبةً في الحالة الوحيدة التي تكون كل من مركبتيها صائبة، وفيما سوى ذلك تكون خاطئة.

أفكر وأناقش: ما أوجه الشبه بين قيم الصواب الممكنة للعبارة الرياضية ف $\wedge$ ن وإمكانات تشغيل الدارة الكهربائية ذي المفتاح المزدوج الممثلة بالشكل المجاور؟

نشاط ٢: أكتب قيمة الصواب لكل من العبارات الرياضية المركبة الآتية في المكان المخصص، موضحاً السبب:

1. العسل مفيد لصحة الإنسان، والنحلة حشرة مفيدة للبيئة.

   ألاحظ أن مركبتي العبارة صحيحتان، وأداة الربط هي (و) لذا فالعبارة المركبة صحيحة.

2. الأسد مفترس، والحمامة جارحة ____
3. $(٢ \in \text{ح}) \wedge (٢ < -٥)$ (خ) لأن $٢ \in \text{ح}$ صائبة، $٢ < -٥$ خاطئة $\therefore$ ص $\wedge$ خ هو خ
4. $(٢^٣ = ٨) \wedge (\text{لو}_٢ (٨) = ٣)$ ____
5. $(\text{جتا} \frac{\pi}{٤} = \sqrt{٣}) \wedge (\text{ظا} \frac{\pi}{٤} = \sqrt{٣})$ ( ____ )

٢ أداة الربط (أو) ⁦(or)⁩

وتكون العبارة الرياضية المركبة التي تربط مركبتيها أداة الربط (أو) خاطئةً في الحالة الوحيدة التي تكون كل من مركبتيها خاطئةً، وفيما سوى ذلك تكون صائبةً لاحظ الجدول:

مصدر مياه ف ن

نشاط ٣: أتأمل الشكل المجاور، كيف يمكن الربط بين إمكانية تدفق الماء من مصدره، والوصول للخزان، مع أداة الربط (أو) وجدول صوابها.

1. أذكر الحالات التي سيتدفق بها الماء من المصدر وصولاً إلى الخزان.

1. المحبسان ف ، ن مفتوحان
2. ____
3. ____

2. ما الحالة التي لن يصل بها الماء إلى الخزان؟ ____.
3. أستخدم الرمز ص إذا كان المحبس مفتوحاً، خ إذا كان مغلقاً، ثم أمثل الحالات السابقة في جدول، وأقارنه بجدول الصواب الخاص بأداة الربط (أو).

أوضح قيم صواب العبارات الرياضية المركبة الآتية:

1. المثلث مجسم أو الإسطوانة شكل مستوٍ.
2. $(\{٠\} \supset \varnothing)$ أو $(٢ \notin \{٢٣\})$
3. (مجموع قواسم العدد ١٨ > ٤٠) أو ٧ تقسم على ٢٨ دون باقٍ.
4. إما المسجد الأقصى أو المسجد الحرام أولى القبلتين.
5. باب الساهرة أحد أبواب الخليل أو الطور أحد جبالها.

الحل

1. لتكن ف: النيون من العناصر النبيلة ، ن: الكبريت فلز

   أعبر عن العبارات الرياضية الرمزية الآتية بالكلمات، وأبيّن قيمة صواب كل منها:

• أ. $ف \wedge \sim ن$
• ب. $\sim ف \wedge \sim ن$
• جـ. $\sim ف \vee ن$

2. أبين قيمة صواب كل من العبارات الرياضية المركبة الآتية:

• أ. يحدث الخسوف للشمس و يحدث الكسوف للقمر
• ب. م $(٢ ، ٥)$ تحقق ص = $٢$ س + $١$ أو ك $(-٢ ، -١)$ تقع في الربع الثالث في المستوى الديكارتي
• جـ. $(\sqrt{٢} \in \text{ح})$ و ($\pi$ عدد نسبي)

3. أضع دائرة حول رمز الإجابة الصحيحة فيما يأتي:

1. إذا كانت ف عبارة رياضية صائبة ، ن خاطئة ، ما العبارة الرياضية المركبة الصائبة فيما يأتي؟

• أ. $ف \wedge ن$
• ب. $\sim ف \wedge ن$
• جـ. $\sim ف \vee \sim ن$
• د. $ن \vee \sim ف$

2. ما العبارة الرياضية الصائبة فيما يأتي؟

• أ. الألوان الأساسية هي: أحمر، أصفر، أزرق
• ب. الألوان الثانوية هي: أحمر، أصفر، أزرق

• د. الألوان المحايدة هي: أحمر، أصفر، أزرق.

3. ما العبارة الرياضية التي قيمة صوابها (خ) فيما يأتي؟

• أ. ابن الهيثم عالم بصريات و أبو قراط أبو الطب.
• ب. ابن الهيثم ليس عالم بصريات أو أبو قراط أبو الطب.
• جـ. ابن الهيثم عالم بصريات أو أبو قراط ليس أبا الطب.
• د. ابن الهيثم ليس عالم بصريات و أبو قراط أبو الطب.

4. ما العبارة الرياضية الصحيحة فيما يأتي؟

• أ. $-٣$ عدد غير صحيح $\vee \sqrt{٢}$ عدد غير نسبي.
• ب. $-٣$ عدد غير صحيح $\vee \sqrt{٢}$ عدد نسبي.
• جـ. $-٣$ عدد غير صحيح $\wedge \sqrt{٢}$ عدد نسبي.
• د. $-٣$ عدد غير صحيح $\wedge \sqrt{٢}$ عدد غير نسبي.