العبارات الرياضية المتكافئة

من الاستخدامات المهمة لجداول الصواب، هو استخدامها في إثبات تكافؤ عبارتين رياضيتين، ويتم ذلك بكتابة قيم الصواب الممكنة لكل من العبارتين، وملاحظة القيم المتناظرة لهما:

مثال ١ : أتأمل جدول الصواب للعبارتين: $\sim (\text{ف} \land \text{ن})$ ، $\sim \text{ف} \lor \sim \text{ن}$

ألاحظ أن قيم صواب العبارتين المتناظرة في الجدول هي ذاتها، فأقول: إن العبارتين متكافئتان،

وأكتب ذلك بالرموز $\sim (\text{ف} \land \text{ن}) \equiv \sim \text{ف} \lor \sim \text{ن}$

والتكافؤ السابق يوضح لنا كيف ننفي العبارة المركبة $(\text{ف} \land \text{ن})$ ، حيث يتم ذلك بنفي مركبتيها، وتحويل أداة الربط $\land$ إلى $\lor$ ، فعند قولنا ليس صحيحاً أن «الفول من البقوليات والزعتر نبات طبي» فإن ذلك يعني: إما أن الفول ليس من البقوليات أو أن الزعتر ليس نباتاً طبياً.

تعريف: تكون العبارتان الرياضيتان المركبتان متكافئتين، إذا كان لهما نفس قيم الصواب المتناظرة في جدول صوابهما.

مثال ٢ : أبيّن تكافؤ أو عدم تكافؤ العبارتين ف $\lor \sim$ ن ، $\sim$ ف $\land$ ن باستخدام جدول الصواب

الحل :

ألاحظ أن قيم الصواب المتناظرة للعبارتين ليست نفسها، لذا ف $\lor \sim$ ن لا تكافئ $\sim$ ف $\land$ ن

نشاط ١: إليك العبارتين التاليتين:

• أعبر عن ف $\leftarrow$ ن ، $\sim$ ن $\leftarrow$ $\sim$ ف بالكلمات
• أملأ الفراغات اللازمة في جدول الصواب الآتي:

• ماذا ألاحظ على قيم الصواب المتناظرة للعبارتين ف $\leftarrow$ ن ، $\sim$ ن $\leftarrow$ $\sim$ ف ؟

  ألاحظ أن ف $\leftarrow$ ن $\equiv$ $\sim$ ن $\leftarrow$ $\sim$ ف وهذا يوصلني إلى التعريف الآتي:

تعريف: المعاكس الإيجابي للعبارة الرياضية ف $\leftarrow$ ن هو $\sim$ ن $\leftarrow$ $\sim$ ف

أكتب المعاكس الإيجابي لكل مما يأتي:

1. إذا ساد العدل أمن المجتمع.
2. إذا كان العدد ١٧ أولياً فإن مجموعة قواسمه ليست ثنائية.
3. $(\text{س} - ٢)$ من عوامل $\text{س}^٣ - ٨$ ، إذن $\text{س}^٣ - ٨ = (\text{س} - ٢) (\text{س}^٢ + ٤)$

1. إذا لم يأمن المجتمع لم يسد العدل.
2. إذا كانت مجموعة قواسم العدد ١٧ ثنائية فإنه ليس أولياً.
3. إذا كان $\text{س}^٣ - ٨ \neq (\text{س} - ٢) (\text{س}^٢ + ٤)$ فإن $(\text{س} - ٢)$ ليس من عوامل $\text{س}^٣ - ٨$

أثبت أن العبارتين ف $\leftarrow$ ن ، $\sim$ ف $\lor$ ن متكافئتان.

الحل

بتكوين جدول الصواب المناسب، وملاحظة قيم الصواب المتناظرة للعبارتين السابقتين:

بما أن قيم الصواب المتناظرة للعبارتين: ف $\leftarrow$ ن ، $\sim$ ف $\lor$ ن

$\therefore$ ف $\leftarrow$ ن $\equiv \sim$ ف $\lor$ ن

ومن التكافؤ السابق أتوصل إلى أن: نفي العبارة الرياضية الشرطية إذا كان فإن هو ف وليس ن أي تثبيت مقدمتها ونفي تاليها.

تعلمنا في الدرس السابق كيفية إثبات تكافؤ عبارتين، باستخدام جدول الصواب الخاص بهما، حيث توصلنا إلى أنه إذا تشابهت قيم الصواب المتناظرة لعبارتين رياضيتين، فإنهما تتكافئان، والسؤال الآن: هل هذه هي الطريقة الوحيدة التي تمكننا من إثبات ذلك؟ والإجابة طبعاً لا، حيث نستطيع إثبات ذلك باستخدام مجموعة من الخصائص، أو من العبارات التي تم إثبات تكافئها عن طريق الجدول وسواه.

وإليك خواص العمليات $\sim$ ، $\land$ ، $\lor$ وهي تعبر عن أزواج من العبارات الرياضية المتكافئة، وتساعد في إثبات تكافؤ عبارات رياضية دون اللجوء إلى جدول الصواب:

1. $\sim (\sim \text{ف}) \equiv \text{ف}$ نفي النفي (النفي المتكرر)
2. $\sim (\text{ف} \land \text{ن}) \equiv \sim \text{ف} \lor \sim \text{ن}$ ، $\sim (\text{ف} \lor \text{ن}) \equiv \sim \text{ف} \land \sim \text{ن}$ قانونا دي مورغان
3. $(\text{ف} \lor \text{ن}) \equiv (\text{ن} \lor \text{ف})$ ، $(\text{ف} \land \text{ن}) \equiv (\text{ن} \land \text{ف})$ خاصية التبديل
4. $(\text{ف} \land \text{ن}) \land \text{م} \equiv \text{ف} \land (\text{ن} \land \text{م})$ ، $(\text{ف} \lor \text{ن}) \lor \text{م} \equiv \text{ف} \lor (\text{ن} \lor \text{م})$ خاصية التجميع
5. $\text{ف} \land (\text{ن} \lor \text{م}) \equiv (\text{ف} \land \text{ن}) \lor (\text{ف} \land \text{م})$ ، $\text{ف} \lor (\text{ن} \land \text{م}) \equiv (\text{ف} \lor \text{ن}) \land (\text{ف} \lor \text{م})$ خاصية التوزيع

نشاط بيتي: أبين صحة القوانين السابقة باستخدام جداول الصواب.

مثال ١ : أثبت أن $\sim (\text{ف} \leftarrow \text{ن}) \equiv \text{ف} \wedge \sim \text{ن}$ دون استخدام جداول الصواب.

ونستنتج من هذا التكافؤ كيفية نفي العبارة الشرطية $\text{ف} \leftarrow \text{ن}$

نفي العبارة الرياضية الشرطية إذا كان ف فإن ن: هو ف و ليس ن أي بتثبيت مقدمتها ونفي تاليها.

مثال ٢ : أنفي ما يأتي:

1. إذا كان ق(س) اقتراناً زوجياً فإن منحناه متماثل حول نقطة الأصل.
2. $\text{هـ}^\text{س}$ اقتران متزايد إذن ($\text{هـ}^\text{٣} > \text{هـ}^\text{٢}$).

1. ق(س) اقتران زوجي ومنحناه غير متماثل حول نقطة الأصل..
2. $\text{هـ}^\text{س}$ اقتران متزايد و ($\text{هـ}^\text{٣} \le \text{هـ}^\text{٢}$).

١ أُبين تكافؤ أو عدم تكافؤ العبارات الرياضية الآتية باستخدام جداول الصواب: ١ ف $\leftarrow \sim$ن ، $\sim$ف $\land$ ن ٢ (ف $\land$ ن) $\leftarrow \sim$ف ، $\sim$ف $\lor \sim$ن

٢ أكتب المعاكس الإيجابي للعبارات الرياضية الآتية: ١ $(\text{٣} \in \text{ط}) \leftarrow (\sqrt{\text{٢}} \in \text{ص})$ ٢ إذا كان التدخين مضراً بالصحة أو الفواكه مفيدة فإن السمك عالي القيمة الغذائية.

٣ أنفي العبارات الرياضية الآتية: ١ إذا كان المثلث متساوي الأضلاع فإنه حاد الزوايا. ٢ المنطق من فروع الرياضيات إذن الرياضيات لغة العلوم. ٣ $\text{٢} < \sqrt{\text{٥}} \le \text{٣}$

٤ أثبت تكافؤ ما يأتي دون استخدام جداول الصواب: ١ أثبت أن $\sim$(ف $\leftarrow \sim$ن) $\equiv$ ف $\land$ ن ٢ ف $\leftarrow$ (ف $\lor \sim$ن) $\equiv$ (ف $\land$ ن) $\leftarrow$ ف ٣ ($\sim$ف $\lor$ ن) $\leftarrow$ (ف $\land \sim$ن) $\equiv \sim$(ف $\leftarrow$ ن) ٤ ف $\leftarrow$ (ن $\land \sim$م) $\equiv$ (ف $\leftarrow$ ن) $\land$ (ف $\leftarrow \sim$م) ٥ (ف $\leftarrow$ ن) $\lor$ (م $\leftarrow$ ل) $\equiv$ (ف $\land$ م) $\leftarrow$ (ن $\lor$ ل)