البرهان الرياضي

نشاط ١ : نحتاج في حياتنا اليومية في كثير من الأحيان، إثبات صحة فرضية ما، فمثلاً: إذا أراد أبو سعيد الذي يمتلك مصنعاً للجلود اختبار الفرضية «كلما زاد عدد العمال، زاد ربح المصنع» فهو بحاجة لاختبار صحة أو خطأ هذه الفرضية، وللوصول إلى النتيجة، يجب التسلسل بخطوات منطقية ومقنعة ومبنية على الحجج والبراهين، للاقتناع بصحة أو خطأ هذه الفرضية.

كيف يمكن التحقق من صحة هذه الفرضية؟

في هذا الدرس سنتطرق لبعض طرق البرهان لإثبات صحة عبارة رياضية شرطية، تكتب على الصورة : ف $\leftarrow$ ن.

لنتذكر أن العبارة الشرطية ف $\leftarrow$ ن ، تكون صائبةً عندما: (ف صائبة ، ن صائبة)، (ف خاطئة، ن صائبة)، (ف خاطئة، ن خاطئة)، لذلك لإثبات صحة هذه العبارة الشرطية، سنستخدم عدة طرق: البرهان المباشر، والبرهان غير المباشر، والبرهان بالتناقض، والبرهان بالاستقراء الرياضي.

في هذه الطريقة، نفرض أن العبارة ف صائبة، ومن خلال خطوات منطقية مبررة نصل إلى أن ن صائبة، وبهذا تكون العبارة : ف $\leftarrow$ ن صائبةً.

مثال ١ : إذا كانت أ ، ب ،جـ ثلاثة أعداد صحيحة موجبة، وكان أ أحد عوامل ب ، ب أحد عوامل جـ ، فأثبت أن أ أحد عوامل جـ.

الحل : نفرض ف : أ أحد عوامل ب و ب أحد عوامل جـ ، ن : أ أحد عوامل جـ.

المطلوب إثبات صحة: ف $\leftarrow$ ن .

أ أحد عوامل ب، إذن ب = أ ك ، حيث ك عدد صحيح موجب.

بتعويض قيمة ب نجد أن جـ = أ ك ل، لكن ك ل عدد صحيح موجب نفرضه م .

جـ = أ م إذن أ أحد عوامل جـ.

إذا كان أ عدداً فردياً و ب عدداً زوجياً، فإن أب = عدد زوجي.

الحل

نفرض ف : أ عدد فردي و ب عدد زوجي، $\therefore$ أ = ٢ ك + ١ حيث ك $\in$ ص

و ب = ٢ ل حيث ل $\in$ ص

أ $\times$ ب = (٢ ك + ١)(٢ ل) = ٤ ك ل + ٢ ل = ٢ (٢ ك ل + ل)

لكن ٢ ك ل = عدد صحيح ونفرض أنه م........... لماذا؟

$\therefore$ أ $\times$ ب = ٢ (م + ل) = ٢ و، حيث و $\in$ ص....... لماذا؟

$\therefore$ أ ب عدد زوجي.

إذا كانت أ ، ب ، جـ ثلاثة أعداد حقيقية، أثبت أن: أ$^٢$ + ب$^٢$ + جـ$^٢$ $\ge$ أ ب + أ جـ + ب جـ .

نفرض ف : أ ، ب ، جـ أعداد حقيقية.

ن : أ$^٢$ + ب$^٢$ + جـ$^٢$ $\ge$ أ ب + أ جـ + ب جـ .

تذكر أن س$^٢$ $\ge$ ٠ ............. لماذا؟

إذن (أ - ب)$^٢$ + (أ - جـ)$^٢$ + (ب - جـ)$^٢$ $\ge$ ٠ ........ لماذا؟

أ$^٢$ - ٢ أ ب + ب$^٢$ + أ$^٢$ - ٢ أ جـ + جـ$^٢$ + ب$^٢$ - ٢ ب جـ + جـ$^٢$ $\ge$ ٠

(٢ أ$^٢$ + ٢ ب$^٢$ + ٢ جـ$^٢$) - (٢ أ ب + ٢ أ جـ + ٢ ب جـ) $\ge$ ٠ بالقسمة على ٢

(أ$^٢$ + ب$^٢$ + جـ$^٢$) - (أ ب + أ جـ + ب جـ) $\ge$ ٠

$\therefore$ (أ$^٢$ + ب$^٢$ + جـ$^٢$) $\ge$ (أ ب + أ جـ + ب جـ)

لقد عرفت سابقاً أن العبارة ف $\leftarrow$ ن $\equiv$ $\sim$ ن $\leftarrow$ $\sim$ ف ، لذلك إذا تحققت صحة $\sim$ ن $\leftarrow$ $\sim$ ف تتحقق ضمناً صحة ف $\leftarrow$ ن . لذلك نفرض صحة $\sim$ ن ونثبت صحة $\sim$ ف. تسمى هذه الطريقة بالبرهان غير المباشر.

أستخدم البرهان غير المباشر لإثبات أن «إذا كان المثلث متساوي الأضلاع، فإن جميع قياسات زواياه متساوية».

الحل : المعطيات: ف : أ ب جـ مثلث متساوي الأضلاع.

ن : $\hat{أ} = \hat{ب} = \hat{جـ}$.

البرهان: باستخدام البرهان غير المباشر لإثبات أن :

صحة ف $\leftarrow$ ن، نثبت أن $\sim$ ن $\leftarrow$ $\sim$ ف صحيحة.

نفرض $\sim$ ن: أ ب جـ مثلث قياسات زواياه غير متساوية صائبة.

المطلوب إثبات أن $\sim$ ف: أ ب جـ مثلث أضلاعه غير متساوية.

نفرض أن $\hat{ب} \neq \hat{جـ}$ ، إذن أب $\neq$ أ جـ لماذا؟

إذن أطوال أضلاع المثلث غير متساوية.

أ ب جـ

أستخدم البرهان غير المباشر لإثبات أن «إذا كان س$^٢$ عدد فردي، فإن س عدد فردي».

الحل : المعطيات: ف : س$^٢$ عدد فردي

ن : س عدد فردي.

البرهان: باستخدام البرهان غير المباشر، لإثبات أن : ف $\leftarrow$ ن، نثبت أن: $\sim$ ن $\leftarrow$ $\sim$ ف

نفرض $\sim$ ن: س عدد زوجي عبارة صائبة.

المطلوب: إثبات أن: $\sim$ ف: س$^٢$ عدد زوجي .

س عدد زوجي إذن س = ٢ك حيث ك عدد صحيح

$\therefore$ س$^٢$ = ٤ ك$^٢$

= ٢ (٢ ك$^٢$) $\therefore$ س$^٢$ عدد زوجي.

لإثبات صحة العبارة ف $\leftarrow$ ن بطريقة التناقض، نفرض أنها خاطئة، وهذا يعني أن (ف صائبة و ن خاطئة)، ونتسلسل بخطوات منطقية للوصول لنتيجة خاطئة أو لتناقض، ويكون سبب هذا التناقض هو الفرض أن العبارة ف $\leftarrow$ ن خاطئة أي أن العبارة صائبة.

د ، ب ، و ، ل

تستخدم هذه الطريقة لإثبات كثير من النظريات والتعميمات في الرياضيات والمتعلقة بالأعداد الطبيعية. عند استخدام هذه الطريقة بالبرهان:

• نتحقق أن العبارة صحيحة عندما ن = ١ .

• نفرض أنها صحيحة عندما ن = ك ، ك $\in$ ط$^*$

• نثبت صحتها عندما ن = ك + ١

مثال ٨ : أثبت أن $١ + ٢ + ٣ + \dots + \text{ن} = \frac{\text{ن} (\text{ن} + ١)}{٢}$

الحل : أولاً: عندما ن = ١ فإن $١ = \frac{١ (١ + ١)}{٢} = \frac{٢}{٢} = ١$

إذن عندما ن = ١ العبارة صحيحة.

ثانياً: نفرض أن العبارة صحيحة عندما ن = ك

أي أن : $١ + ٢ + ٣ + \dots + \text{ك} = \frac{\text{ك} (\text{ك} + ١)}{٢}$

ثالثاً: نثبت صحتها عندما ن = ك + ١ .

نعلم أن $١ + ٢ + ٣ + \dots + \text{ك} = \frac{\text{ك} (\text{ك} + ١)}{٢}$ بالفرض

$١ + ٢ + ٣ + \dots + \text{ك} + (\text{ك} + ١) = \frac{\text{ك} (\text{ك} + ١)}{٢} + (\text{ك} + ١)$ ... لماذا؟

$= (\text{ك} + ١) (\frac{\text{ك}}{٢} + ١)$ ... لماذا؟

$= (\text{ك} + ١) (\frac{\text{ك} + ٢}{٢})$ ... لماذا؟

$= \frac{(\text{ك} + ١) (\text{ك} + ٢)}{٢}$ ... لماذا؟

أثبت أن $٣^ن - ١$ يقبل القسمة على ٢.

أولاً: نتحقق من صحة العبارة عندما ن = ١ $٣^{١} - ١ = ٣ - ١ = ٢$ تقبل القسمة على ٢ عبارة صحيحة.

ثانياً: نفرض أن العبارة صحيحة عندما ن = ك ،

أي أن : $٣^{ك} - ١ = ٢$ م حيث م عدد صحيح موجب.

ثالثاً: نثبت صحتها عندما ن = ك + ١ $٣^{ك} - ١ = ٢$ م بالفرض $\therefore$ $٣ (٣^{ك} - ١) = ٢$ م $\times ٣$ بضرب الطرفين بالعدد ٣ ، أي أن: $٣^{١ + ك} - ٣ = ٦$ م $\therefore$ $٣^{١ + ك} - ١ = ٦$ م $+ ٢$ بجمع العدد ٢ للطرفين $\therefore$ $٣^{١ + ك} - ١ = ٢ (٣$ م $+ ١)$ ، لكن $(٣$ م $+ ١) =$ عدد صحيح موجب مثل و ... لماذا؟ $\therefore$ $٣^{١ + ك} - ١ = ٢$ و $\therefore$ إذن $٣^{١ + ك} - ١$ يقبل القسمة على ٢ $\therefore$ العبارة صحيحة عندما ن = ك + ١

(أحاول أن أحل هذا المثال بطريقة أخرى).

أثبت أن: $\frac{١}{٢ \times ١} + \frac{١}{٣ \times ٢} + \frac{١}{٤ \times ٣} + \dots + \frac{١}{(١ + \text{ن}) \times (\text{ن})} = \frac{\text{ن}}{(١ + \text{ن})}$

أولاً: نتحقق من صحة العبارة عندما ن = ١ أي أن: $\frac{١}{٢ \times ١} = \frac{١}{(١ + ١)} = \frac{١}{٢ \times ١}$

ثانياً: نفرض أن العبارة صحيحة عندما ن = ك أي أن : $\frac{١}{٢ \times ١} + \frac{١}{٣ \times ٢} + \frac{١}{٤ \times ٣} + \dots + \frac{١}{(١ + \text{ك}) \times (\text{ك})} = \frac{\text{ك}}{(١ + \text{ك})}$ ثالثاً: نثبت صحتها عندما ن = ك + ١

$\therefore$ العبارة صحيحة عندما ن = ك + ١ .

1. أثبت أن: إذا كان ك عدداً فردياً فإن $\text{ك}^٢$ عدد فردي.

2. إذا كانت ك ، ل ، م ، ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ، وكان باقي قسمة ك على م = باقي قسمة ل على م، أثبت أن ك - ل يقبل القسمة على م.

3. أستخدم أحد طرق البرهان لإثبات أن: إذا كان أ ، ب عددين حقيقيين،

فإن $\sqrt{\text{أ}^٢ + \text{ب}^٢} \le |\text{أ}| + |\text{ب}|$

4. أستخدم البرهان غير المباشر لإثبات أن: إذا كان $\text{ك}^٢$ يقبل القسمة على ٣ فإن ك يقبل القسمة على ٣.

5. قطع وليد مسافة تزيد عن ٣٦٠ كم في رحلة ، وتوقف أثناء سفره مرتين فقط، أستخدم البرهان بالتناقض لإثبات أن وليداً قطع أكثر من ١٢٠ كم في إحدى مراحل رحلته الثلاث على الأقل.

6. أثبت أن: $٨^ن - ١$ يقبل القسمة على ٧ ، باستخدام الاستقراء الرياضي.

7. أثبت أن : $(٢)^١ + (٢)^٢ + (٢)^٣ + ... + (٢)^ن = (٢)^{ن+١} - ٢$ ، باستخدام الاستقراء الرياضي.

8. أثبت أن : $\frac{\text{أ} + ١}{\text{أ} + ٢} < \frac{\text{أ} + ٢}{\text{أ} + ٣}$ ، حيث أ > صفر.

١ أضع دائرةً حول رمز الإجابة الصحيحة فيما يأتي

١ إذا كانت ف عبارةً رياضيةً صائبةً، ن عبارةً رياضيةً صائبةً، ما العبارة الرياضية المركبة الصائبة فيما يأتي؟

• أ. ف $\leftarrow \sim$ ن

• ب. ن $\leftarrow \sim$ ف

• جـ. ف $\wedge \sim$ ن

• د. ف $\vee \sim$ ن

٢ ما نفي العبارة الرياضية ($٣ + ٤ \ne ٧$) $\wedge$ ($٥ \le ١$)؟

• أ. ($٣ + ٤ = ٧$) $\vee$ ($٥ \le ١$)

• ب. ($٣ + ٤ = ٧$) $\vee$ ($٥ > ١$)

• جـ. ($٣ + ٤ \ne ٧$) $\vee$ ($٥ \le ١$)

• د. ($٣ + ٤ = ٧$) $\vee$ ($٥ < ١$)

٣ ما الجملة التي تمثل عبارة رياضية فيما يأتي؟

• أ. عدد يقل عن س بـ ١

• ب. يا عالماً بحالي

• د. الصفر عدد زوجي.

٤ ما العبارة الرياضية الصائبة فيما يأتي؟

• أ. $-٣ \in$ ص $\leftarrow ٣$ عدد نسبي

• ب. $-٣ \in$ ص $\leftrightarrow -٣ \notin$ ح

• جـ. $-٣ \in$ ص $\leftrightarrow -٣ < -٥$

• د. $-٣ \in$ ص $\wedge -٣ \notin$ ح

٥ ما العبارة الرياضية التي تكافئ ف فيما يأتي؟

• أ. $\sim$ ف

• ب. ف $\wedge \sim$ ف

• جـ. $\sim$(ف $\leftarrow \sim$ ف)

• د. ف $\vee \sim$ ف

٦ ما المعاكس الإيجابي للعبارة الرياضية $\sim$ ف $\leftarrow$ ن ؟

• أ. $\sim$ ف $\leftarrow \sim$ ن

• ب. $\sim$ ن $\leftarrow \sim$ ف

• جـ. $\sim$ ن $\leftarrow$ ف

• د. ف $\leftarrow$ ن

٧ ما مجموعة حل ق(س) : س$^٢$ - $٣$س - $١٨ =$ صفر ، س $\in$ ط ؟

• أ. $\{٦\}$

• ب. $\{٦ ، ٣\}$

• جـ. $\{٣\}$

• د. $\emptyset$

٨ ما مجموعة حل ق(س) : س$^٢$ + $١ =$ صفر ، س $\in$ ص؟

• أ. $\{-١\}$

• ب. $\{-١ ، ١\}$

• جـ. $\{١\}$

٩ ما نفي العبارة المسورة ⁦E⁩ س : س عدد مربع إذن س عدد زوجي ؟

• أ. $\forall$ س ، س ليس عدداً مربعاً أو زوجياً

• ب. $\forall$ س ، س عدد مربع إذن س عدد زوجي

• د. $\forall$ س ، س عدد مربع و ليس زوجياً

  ٢ ما قيم صواب كل مما يأتي:

• أ. $(٢ \le ١) \leftrightarrow (٣^٢ = ٦)$
• ب. $(٢ > ١) \lor (٣^٢ \ne ٦)$
• جـ. $(٣^٢ \ne ٦) \leftarrow (٢ > ١)$
• د. $E$ س : هـ $^{س + ١}$ = هـ $^{٢ س}$ ، س $\in$ ص
• هـ. $\forall$ س $\in$ ح ، قا$^٢$س - ظا$^٢$س = ١

٣ أوضح تكافؤ أو عدم تكافؤ كل زوج من العبارات الرياضية الآتية:

• أ. ف $\leftarrow$ ن ، ن $\leftarrow$ ف
• ب. ف $\leftarrow$ ن ، $\sim$ ف $\leftarrow$ $\sim$ ن
• جـ. ف $\leftarrow$ ن ، $\sim$ ن $\leftarrow$ $\sim$ ف

٤ أثبت صحة العبارات الرياضية الآتية دون استخدام جداول الصواب:

• أ. (ف $\leftarrow$ ن) $\lor$ (ف $\leftarrow$ م) $\equiv$ ف $\leftarrow$ (ن $\lor$ م)
• ب. $\sim$ ف $\lor$ (ن $\land$ $\sim$م) $\equiv$ $\sim$ ((ف $\leftarrow$ ن) $\leftarrow$ (ف $\land$ م))

٥ إذا كان (ف $\leftarrow$ ن) $\land$ ن عبارة رياضية صائبة ، (ف $\leftrightarrow$ ن) خاطئة، أجد قيم صواب كل من ف ، ن.

٦ أثبت أن : إذا كان س $\ne$ ص فإن أ$^س$ $\ne$ أ$^ص$، حيث أ > ٠ ، أ $\ne$ ١

٧ أثبت باستخدام الاستقراء الرياضي أن: $(١)^٣ + (٢)^٣ + (٣)^٣ + ... + (ن)^٣ = \frac{ن^٢ (ن + ١)^٢}{٤}$

٨ أثبت باستخدام الاستقراء الرياضي أن: $١ + \frac{١}{٤} + \frac{١}{٩} + ... + \frac{١}{ن^٢} \le ٢ - \frac{١}{ن}$

أقيم ذاتي أعبر بلغتي عن كيفية نقاط القوة والضعف الواردة في هذه الوحدة بما لا يزيد عن ٤ أسطر.

هناك كثير من البرامج الحاسوبية التي نستخدمها في حل بعض المسائل الرياضية، ومن هذه البرامج: برنامج مايكروسوفت ماثماتيكس ⁦(Microsoft Mathematics)⁩ عند الدخول إلى البرنامج، نجد كثيراً من التطبيقات الرياضية، ومن ضمنها ⁦(standard)⁩ نجد أيقونات خاصة بالمنطق مثل : ⁦isTrue⁩ ، ⁦and⁩ ، ⁦or⁩ ، ⁦not⁩ وكلها أيقونات معرفة للحاسوب. ويستخدم هذا التطبيق في:

مثال ١ : أجد قيمة الصواب للعبارة الرياضية ($-٥ < ٥$ أو $٥ = ٤ + ٣$)

الحل : يمكن كتابة العبارة الرياضية المركبة ⁦isTrue (⁩$٥ > -٥ \text{ or } ٣ + ٤ = ٥$) ثم نضغط ⁦enter⁩ فنحصل على قيمة الصواب true

مثال ٢ : أجد قيمة الصواب للعبارة الرياضية. (المضاعف المشترك الأصغر للعددين ($٢$ ، $١٠$) يساوي $٣$ أو $١٥ = ٣ \times ٥$)

الحل : يرمز للمضاعف المشترك الأصغر ⁦Least Common Multiple (lcm)⁩ نكتب العبارة ⁦isTrue(lcm(⁩٢.١٠) = ٣ ⁦or⁩ ١٥ = (٥) . (٣) ثم نضغط ⁦enter⁩ فتظهر النتيجة true

مثال ٣ : أحدد قيمة الصواب للعبارة ($(\sim(٢ > ٥)) \land (\sim(٤ \neq ٨))$)

الحل : أدخل ⁦isTrue(not(⁩٢>٥)⁦andnot(⁩٤≠٨)) ثم نضغط ⁦enter⁩ فتظهر النتيجة false

مثال ١ : أحل الجملة المفتوحة $١ - \text{س}^٢ = ٠$

الحل : أدخل $٠ = ١ - x^٢$ ثم أضغط ⁦enter⁩ فتظهر النتيجة $(x = ١ \text{ or } x = -١)$

مثال ٢ : لحل الجملة المفتوحة $\text{س}^٢ + \text{س} \ge ٣٠$

الحل : أدخل $x^٢ + x \ge ٣٠$ ثم أضغط ⁦enter⁩ فتظهر النتيجة $x \le -٦ \text{ or } x \ge ٥$

1. أحدد قيم الصواب للعبارات الرياضية مستعيناً ببرنامج ⁦Microsoft Mathematics⁩ المايكروسوفت ماثيماتيكس

1. $| ٥ | = - ٥$ أو $| - ٣ | = ٣$
2. $١٠ \ge ٨$ والمضاعف المشترك الأصغر للعددين ٨ ، ٢٠ هو ٤٠
3. $\text{جا } \pi = \text{صفر}$ أو $\text{جتا } \pi = -١$

2. أحل الجمل المفتوحة الآتية علماً بأن مجموعة التعويض هي ح :

1. ق(س): $\sqrt{\text{س}^٢ + ٢} = ٥$
2. م(س): $\text{هـ}^\text{س} = ١$
3. ع(س): $\text{جا س جتا س} = ٠$
4. $\text{س}^٢ - ٣\text{س} - ١٠ \le ٠$

ضمن فعاليات الإفادة من خامات البيئة اقتصاديا وجماليا، قامت معلمة التربية المهنية في إحدى مدارس الوطن فلسطين بتدريب طالبات الصف الحادي عشر على إنتاج أصص ورود من خامات البيئة، فأحضرت كومة من الحجارة الصغيرة وكمية من الرمل والاسمنت وقوالب لعمل الأصص، وبدأت بصف الحجارة داخل القالب وتغطيتها من الداخل بطبقة من مزيج الرمل والاسمنت والماء حتى أتمت ذلك العمل على كامل القالب ثم وضعت كمية من خلطة الاسمنت على الحافة النهائية للقالب، وتركته لليوم التالي ثم أزالت القالب فإذا به أصيص ورد أتقن صنعه، فخطرت على بال إحدى الطالبات فكرة إنتاج أصص وبيعها لصالح المدرسة.

ما علاقة الفكرة الريادية بمحتوى وحدة المنطق؟

ما المخاطر والأضرار والنجاحات المتوقعة؟

أكمل الجدول اللاحق يوضح المخاطر والأضرار والنجاحات المتوقعة:

كيف يدار الزمن لتنفيذ الفكرة الريادية ؟ ......................... ...................................................................

ما مصادر التمويل المتاحة ؟ ......................... ما الأدوات والمواد اللازمة للإنتاج؟ .................................................... ماهية المنتج: .................................................... كيفية تسويقها: من خلال الطلبة، أولياء الأمور، ....................................

.................................................... .................................................... ....................................................

معايير تقييم المنتج:

توفير عائد مادي للمدرسة والاعتماد الذاتي في توفير جزء من الميزانية، تحسين بيئة المدرسة، التركيز على منظومة القيم الإيجابية للطلبة، ربط محتوى الوحدة التعليمية بالفكرة الريادية

.................................................... ....................................................

روابط إلكترونية

• https://brilliant.org/wiki/truth-tables/
• https://www.mathgoodies.com/cd
• https://www.whitman.edu/mathematics/higher_math_online/section02.01.html