شرح الموضوع
أحد صور التوزيعات التكرارية وأهمها، ويمتاز بأنه متماثل حول الوسط الحسابي، ويأخذ شكل منحناه شكل الجرس، ويسمى توزيع جاوس، وهو يتعين بمعرفة التوقع (الوسط الحسابي) μ والانحراف المعياري σ.
التوزيع الطبيعي (المعتدل)
منحنى الجرس: لماذا يظهر في كثير من الظواهر؟
بلغ عدد الطلبة الذين تقدموا لامتحان شهادة الدراسة الثانوية العامة (التوجيهي) للعام الدراسي ٢٠١٦ / ٢٠١٧م في فلسطين حوالي ٧٣ ألفاً متقدم هل نستطيع حساب نسبة الطلبة الذين حصلوا على علامات تزيد عن ٩٠ ؟
لنحسب هذه النسبة نحتاج توزيعاً يصف علامات آلاف الطلبة.
- التوزيع الطبيعي من أهم صور التوزيعات التكرارية.
- متماثل حول الوسط الحسابي، ومنحناه على شكل الجرس.
- يسمى توزيع جاوس نسبة للعالم الألماني جاوس.
- أمثلته: توزيعات الأطوال والكتل، ودرجات الحرارة، ومعاملات الذكاء.
- تعيّنه معادلة بمعرفة التوقع μ والانحراف المعياري σ .
نحوّل أي توزيع طبيعي إلى توزيع معياري
فإن هو توزيع طبيعي معياري
كيف أقرأ المساحة من الجدول؟
- الجدول يربط العلامات المعيارية بأجزاء المساحة تحت المنحنى.
- نستخدم الجدول الذي يعطي المساحة على يسار قيمة معيارية ع.
- الهامش الرأسي يمثل العدد الصحيح والجزء العشري الأول.
- الهامش الأفقي يمثل الجزء العشري الثاني (جزء من مائة).
- الأعداد داخل الجدول احتمالات وقوع ع في الفترة (-∞ ، أ).
| \ | ع \ | ٠,٠٠ \ | ٠,٠١ \ | ٠,٠٢ \ | ٠,٠٣ \ | ٠,٠٤ \ | ٠,٠٥ \ | ٠,٠٦ \ | ٠,٠٧ \ | ٠,٠٨ \ | ٠,٠٩ \ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| --- | ||||||||||||
| \ | ٠,٨ \ | ٠,٧٨٨١ \ | ٠,٧٩١٠ \ | ٠,٧٩٣٩ \ | ٠,٧٩٦٧ \ | ٠,٧٩٩٥ \ | ٠,٨٠٢٣ \ | ٠,٨٠٥١ \ | ٠,٨٠٧٨ \ | ٠,٨١٠٦ \ | ٠,٨١٣٣ \ |
أقل من، أكبر من، وسالبة
ملاحظة: يطبع الكتاب رمزي أكبر وأصغر بعكس اتجاه الشكل المظلّل، وكتبناهما هنا بالاتجاه الصحيح.
٤ - ٦ التوزيع الطبيعي (المعتدل)
وماذا لو كانت القيمة المعيارية سالبة؟
ل(أ ≤ ع ≤ ب): أطرح مساحتين
أعكس القراءة: من المساحة إلى القيمة
أحوّل س إلى ع ثم أستعمل الجدول
وإذا كان المتغير طبيعياً وغير معياري؟
أطبّق: أقرأ الجدول وأحوّل
أمثلة
إذا كان ع متغيراً عشوائياً يتبع التوزيع الطبيعي المعياري، أجد: أ) ل(ع ≤ ١,٢٥)
- ب. ل(ع ≥ ٢,٤٨)
- جـ. ل(ع ≥ -١,٤٦)
- د. ل(-٢,٣٧ ≤ ع ≤ ١,٧)
إذا كان ع متغيراً عشوائياً يتبع التوزيع الطبيعي المعياري، أجد القيمة المعيارية ك بحيث: أ) ل(ع ≤ ك) = ٠,٩٩٠٩
- ب. ل(ع > ك) = ٠,٩٤٩٥
- جـ. ل(ع ≤ ك) = ٠,١٩٧٧
- د. ل(ك ≤ ع ≤ ٢,١) = ٠,٢٩٠٦
إذا كان ع متغيراً عشوائياً يتبع التوزيع الطبيعي المعياري، وكان ل(ع ≤ ك) = ٠,١٧٣٦ أجد ل(ك ≤ ع ≤ ١,٧).
إذا كان س متغيراً عشوائياً يتبع التوزيع الطبيعي وسطه الحسابي ٦٠ وانحرافه المعياري ٥ ، أجد: أ) ل(س ≤ ٥٠)
- ب. ل(٥٥ ≤ س ≤ ٧٥)
إذا كان س متغيراً عشوائياً يتبع التوزيع الطبيعي بانحراف معياري يساوي ٢ وكان ل(س > ٧٨) = ٠,٠٢٢٨ ، أجد الوسط الحسابي للتوزيع.
إذا كان س متغيراً عشوائياً طبيعياً، وسطه μ = ٨ وانحرافه المعياري σ = ٢ وكان ل(ع ≥ ك) = ٠,١٠٥٦ أجد: أ) قيمة ك
- ب. ل(س ≤ ١٢).
