القطع المكافئ

القطع المكافئ: نقطة ثابتة ومستقيم ثابت

إذا نظرت إلى أحد صحون البث للأقمار الصناعية فإن أحد مقاطع هذا الصحن هو قطع مكافئ

• التطبيقات: للقطع المكافئ تطبيقات كثيرة في البصريات مثل النظارات الطبية، وفي مرايا السيارات ومصابيحها الأمامية، وفي التصميم المعماري.

• محور القطع: المستقيم المار بالبؤرة ب والعمودي على الدليل ل، والقطع المكافئ متماثل حوله.
• رأس القطع: النقطة م الواقعة في منتصف المسافة بين البؤرة والدليل.
• البعد البؤري: المسافة بين الرأس والبؤرة.
• الوضع القياسي: الرأس نقطة الأصل، ومحور التماثل أحد المحورين الإحداثيين.
• هناك أربعة أوضاع ينتج عنها أربع معادلات، تختلف تبعاً لاتجاه فتحة القطع.

ما المقصود بالبعد البؤري للقطع المكافئ؟

الحالات الأربع في جدول واحد

مفتوح لليمين: كيف نصل إلى معادلته؟

• الرأس (٠ ، ٠)، وتقع البؤرة على الجزء الموجب لمحور السينات: ب (أ ، ٠)، أ > ٠.
• الدليل: س = -أ.
• حسب تعريف القطع المكافئ: ن ب = ن د، حيث د(-أ ، ص) على الدليل.

$\sqrt{(س - أ)^{٢} + (ص - ٠)^{٢}}$ = $\sqrt{(س + أ)^{٢} + (٠)^{٢}}$

ص^٢^ = ٤أ س

القطع المكافئ ص^٢^ = ٨ س: أجد البؤرة ومعادلة الدليل والبعد البؤري.

مفتوح لليسار: ماذا يتغير؟

• الرأس (٠ ، ٠)، وتقع البؤرة على الجزء السالب من محور السينات: ب (-أ ، ٠)، أ > ٠.
• الدليل: س = أ.

ص^٢^ = -٤أ س

أكتب معادلة القطع المكافئ القياسي الذي بؤرته ب (-٣ ، ٠)

مفتوح للأعلى: البؤرة على محور الصادات

• الرأس (٠ ، ٠)، وتقع البؤرة على الجزء الموجب من محور الصادات: ب (٠ ، أ)، أ > ٠.
• الدليل: ص = -أ.

س^٢^ = ٤أ ص

قطع مكافئ مفتوح للأعلى بؤرته (٠ ، ١) ودليله ص = -١: أجد محور التماثل والبعد البؤري ومعادلة القطع.

مفتوح للأسفل: الحالة الأخيرة

• الرأس (٠ ، ٠)، وتقع البؤرة على الجزء السالب من محور الصادات: ب (٠ ، -أ)، أ > ٠.
• الدليل: ص = أ.

س^٢^ = -٤أ ص

نقطة متحركة ترسم قطعاً مكافئاً

تمارين القطع المكافئ

أجد كلاً من: الرأس، و البؤرة، ومعادلة الدليل، ومعادلة محور التماثل، لكل من القطوع المكافئة الآتية: أ) ص^٢^ = -٤ س

ب) س^٢^ = -٨ ص

أجد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه (٠ ، ٠) ويمر بالنقطة (-٣ ، ٦) ومحور تماثله محور السينات.

قطع مكافئ رأسه (٠ ، ٠) ومفتوح لجهة اليمين، فإذا كانت النقطة (س١ ، ٦) الواقعة عليه تبعد عن بؤرته ١٠ وحدات، أجد معادلة هذا القطع؟

قطع مكافئ قياسي يمر بالنقطة (٢ ، ٨). أكتب معادلته (أكتب جميع الحالات الممكنة).

تتحرك النقطة و (س ، ص) في المستوى بحيث أن موقعها يتحدد بالمعادلتين س = $\frac{٤}{ظا^{٢}(٢هـ) + ١}$ ، ص = ١ - ٢جا^٢^ هـ ، أكتب معادلة المحل الهندسي للنقطة.