القطع الزائد

القطع الزائد: فرق ثابت بدل مجموع ثابت

الشكل المجاور يمثل صورة لأبراج تبريد تستخدم في المفاعلات النووية.

• أبراج التبريد: تزيد سرعة البخار عند منطقة الوسط، ثم تتسع الفتحة عند الطرف العلوي لتقليل سرعة خروج البخار.

في القطع الناقص المجموع ثابت، وهنا الفرق المطلق بين البعدين هو الثابت.

• نقتصر في هذا الدرس على الوضع القياسي للقطع الزائد، وهناك حالتان.

ما تعريف القطع الزائد؟

السيني: عناصر القطع الزائد ومعادلته

• البؤرتان ب١ (جـ ، ٠) ، ب٢ (- جـ ، ٠)، والبعد بينهما يسمى البعد البؤري للقطع الزائد = ٢ جـ ، النقطة م (٠ ، ٠) المركز.
• الرأسان ر١(أ ، ٠) ، ر٢(-أ ، ٠)، وهما طرفا المحور القاطع وطوله = ٢ أ
• النقطتان ط١(٠ ، ب) ، ط٢(٠، -ب) ، وهما طرفا المحور المرافق وطوله = ٢ب.
• ويشكل محورا القطع الزائد (القاطع والمرافق) محوري تماثل له.

$\frac{س^{٢}}{أ^{٢}}$ - $\frac{ص^{٢}}{ب^{٢}}$ = ١

هـ = $\frac{جـ}{أ}$ > ١

جـ^٢^ = أ^٢^ + ب^٢^

• معامل س^٢^ موجب في معادلة القطع الزائد السيني.

قطع زائد رأساه (∓ ١٢ ، ٠) ، وطول محوره المرافق ١٠ وحدات: أكتب معادلته وأحسب اختلافه المركزي.

الصادي: البؤرتان على محور الصادات

• البؤرتان ب١ (٠، جـ) ، ب٢ (٠، -جـ) والبعد بينهما يسمى البعد البؤري وطوله = ٢ جـ
• النقطة م (٠ ، ٠) المركز.
• الرأسان ر١(٠، أ) ، ر٢(٠ ، -أ) وهما طرفا المحور القاطع وطوله = ٢ أ.
• النقطتان ط١(ب ، ٠) ، ط٢(- ب ، ٠) وهما طرفا المحور المرافق وطوله = ٢ب.

$\frac{ص^{٢}}{أ^{٢}}$ - $\frac{س^{٢}}{ب^{٢}}$ = ١

قطع مخروطي في وضع قياسي رأساه (٠ ، ∓ ٦) ، واختلافه المركزي = $\frac{٥}{٣}$: أكتب معادلته وأجد إحداثيات بؤرتيه.

النقطة ($\sqrt{٥}$ ، $\frac{\sqrt{٥}}{٢}$) على سطح مرآة على شكل قطع زائد، والنقطة (٣ ، ٠) إحدى بؤرتيها: أجد رأس هذه المرآة.

تمارين القطع الزائد

أجد إحداثيات البؤرتين و الرأسين وطولي المحورين والاختلاف المركزي لكل من القطوع المخروطية التالية ثم أرسم منحنى تقريباً في كل حالة: أ) ٩س^٢^ - ص^٢^ = ٣٦

• ب. ٦ص^٢^ - ٢س^٢^ = ٣

• جـ. ٩س^٢^ - ١٦ص^٢^ = ١

قطع مخروطي معادلته ١٦س^٢^ - ٩ص^٢^ - ١٤٤ = صفر، أجد الفرق المطلق للبعد بين النقطة ($\frac{٣\sqrt{٥}}{٢}$ ، ٢) و بؤرتي القطع .

ما معادلة القطع الزائد الذي مركزه (٠ ، ٠) وإحدى بؤرتيه هي نفس بؤرة القطع المكافئ س^٢^ = ٢٠ ص واختلافه المركزي يساوي $\frac{٥}{٣}$ ؟

أجد معادلة القطع الزائد القياسي الذي طول محوره القاطع يساوي ٨ وحدات، واختلافه المركزي هـ = $\frac{٥}{٤}$ (أكتب جميع الحلول الممكنة) .

قطع زائد معادلته $\frac{س^{٢}}{ك}$ - $\frac{ص^{٢}}{٤ - ك}$ = ١ ، حيث ٠ < ك < ٤ ، واختلافه المركزي $\frac{٣}{٢}$ . إذا كانت ن (س ، ص) نقطة تنتمي للقطع الزائد فجد الفرق المطلق للبعد بين ن ، وبؤرتي القطع الزائد.

تمارين عامة على القطوع الثلاثة

ما معادلة القطع المكافئ الذي رأسه (٠ ، ٠) وبؤرته (٠ ، -٢)؟ أ) س^٢^ = ٨ ص

• ب. س^٢^ = -٨ ص

• جـ. ص^٢^ = ٨ س

• د. ص^٢^ = -٨ س

ما معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل و معادلة دليله س = ٢,٥ ؟ أ) س^٢^ = ١٠ص

• ب. س^٢^ = -١٠ص

• جـ. ص^٢^ = ١٠س

• د. ص^٢^ = -١٠س

اذا كان القطع المكافئ ص^٢^ = ٤أ س يمر بالنقطة (١ ، ٢) فما معادلة دليل هذا القطع؟ أ) س = -١

• ب. س = ١

• جـ. ص = -١

• د. ص = ١

ما نوع القطع المخروطي الذي تمثله المعادلة $\frac{س^{٢}}{٩}$ + $\frac{ص^{٢}}{١٦}$ = ١ ؟ أ) قطع ناقص صادي

• ب. قطع ناقص سيني

• جـ. قطع زائد سيني

• د. قطع زائد صادي

ما البعد البؤري للقطع ٣٦ س^٢^ + ١٠٠ ص^٢^ = ٣٦٠٠؟ أ) ١٢وحدة

• ب. ٢ $\sqrt{١٣٦}$ وحدة

• جـ. ٨ وحدات

• د. ١٦ وحدة

أجد بؤرتي القطع الزائد $\frac{ص^{٢}}{٢٥ - د}$ - $\frac{س^{٢}}{د - ١٦}$ = ١

أجد معادلة القطع الزائد الذى مركزه نقطة الاصل ومحوره القاطع ينطبق على محور الصادات ويمر بالنقطتين (٤ ، ٦) ، (١ ، -٣) ؟

المعادلتان س = ٢ن^٢^ ، ص = ٦ن حيث ن ≥ ٠، تحددان موقع جسم على منحنى في اللحظة ن، أكتب معادلة المنحنى الذي يتحرك عليه الجسم على صورة س = ق(ص)، وأعين نوع المنحنى.

تشتهر المباني الفلسطينية القديمة بأقواسها، إذا كان طول قاعدة أحد الأقواس في سجن عكا على شكل قطع مكافئ يساوي ٨م، وبعد أعلى نقطة في القوس عن قاعدته يساوي ٣م، أكتب معادلة هذا القوس (علماً أنه في الوضع القياسي).

قيّم نفسك وجرّب برنامجاً

ص^٢^ - ٦س = ٠ أوضح نوع القطع المخروطي وعناصره.

$\frac{ص^{٢}}{٤}$ - $\frac{س^{٢}}{١٦}$ = ١ أوضح نوع القطع المخروطي وعناصره.

٤س^٢^ - ٩ص^٢^ = ٣٦ أوضح نوع القطع المخروطي وعناصره.

$\frac{ص^{٢}}{٤ + س^{٢}}$ = ١ أوضح نوع القطع المخروطي وعناصره.