نهاية الاقتران عند نقطة

ماذا يعني أن تقترب س من عدد؟

بنايتان أ ، ب قيد الإنشاء، يقوم العمال بإلقاء المخلفات في أكياس بلاستيكية من أعلى البنايتين إلى حاوية موجودة على الأرض (انظر الشكل).

• من اليسار: س أقل من ٢ وقيمها تزداد لتقترب من العدد ٢.
• من اليمين: س أكبر من ٢ وقيمها تقل لتقترب من العدد ٢.
• س تقترب من ٢: س ≠ ٢، وإنما عدد يقل عن ٢ أو يزيد عنه بمقدار صغير جداً.

ما معنى نهاية الاقتران عند نقطة؟

• من اليسار ومن اليمين: قيم ق(س) تقترب من العدد ٤ في الجهتين.

فكيف نفرّق بين الجهتين في الكتابة؟

• س ≠ أ وإنما س عدد إما أن يكون أقل من العدد أ بمقدار صغير جداً وتسمى النهاية في هذه الحالة النهاية من جهة اليسار،

$\lim_{س \to أ^{-}}$ ق(س)

$\lim_{س \to أ^{+}}$ ق(س)

• اليمين: إذا كانت س أكبر من أ بمقدار صغير جداً تسمى النهاية من جهة اليمين.

• لإيجاد $\lim_{س \to أ}$ ق(س) ليس من الضروري أن يكون ق(س) معرفاً عند س = أ وإنما يجب أن يكون ق(س) معرفاً بجوار العدد أ.

كيف نقرأ النهاية من رسم الاقتران؟

ق(س) = { س^٢^ + ١ ، س ≤ -١ ؛ س + ٣ ، س > -١ } أجد $\lim_{س \to -١}$ ق(س).

ق(س) = $\frac{|س - ٣|}{س - ٣}$ ، س ≠ ٣ ، أجد $\lim_{س \to ٣}$ ق(س).

نتدرب: هل النهاية موجودة؟

إذا كان ق(س) = س^٢^ - ٢س، أمثل ق(س) بيانياً، ثم أجد $\lim_{س \to -١}$ ق(س).

إذا كان ق(س) = $\sqrt{س - ٢}$ ، أمثل ق(س) بيانياً، ثم أجد $\lim_{س \to ٣}$ ق(س).

إذا كان ق(س) = جاس ، أمثل ق(س) بيانياً، ثم أجد $\lim_{س \to \frac{\pi}{٢}}$ ق(س).