نظريات في النهايات

متى تكفي التعويضة المباشرة؟

فالفلسطيني الذي أبعد عن أرضه ووطنه قصراً، له الحق في العودة إلى وطنه. ويبقى الحقّ قائماً مهما تغيرت الظروف والأحوال.

إذا كانت $\lim_{س \to أ}$ (أس + ٣أ) = ١٠ ، أجد قيمة / قيم أ.

كيف تتعامل النهاية مع الجمع والضرب والقسمة؟

$\lim_{س \to أ}$ (ق ± هـ)(س) = $\lim_{س \to أ}$ ق(س) ± $\lim_{س \to أ}$ هـ(س) = ل ± م

$\lim_{س \to أ}$ ك ق(س) = ك $\lim_{س \to أ}$ ق(س) = ك ل ، حيث ك ∈ ح

$\lim_{س \to أ}$ (ق × هـ)(س) = $\lim_{س \to أ}$ ق(س) × $\lim_{س \to أ}$ هـ(س) = ل × م

$\lim_{س \to أ}$ $\frac{ق(س)}{هـ(س)}$ = $\frac{\lim_{س \to أ} ق(س)}{\lim_{س \to أ} هـ(س)}$ = $\frac{ل}{م}$ ، م ≠ ٠

$\lim_{س \to أ}$ (ق(س))^ن^ = ($\lim_{س \to أ}$ ق(س))^ن^ = ل^ن^ ، حيث ن عدد صحيح موجب

$\lim_{س \to أ}$ $(ق(س))^{\frac{١}{ن}}$ = $(\lim_{س \to أ} ق(س))^{\frac{١}{ن}}$ = $(ل)^{\frac{١}{ن}}$ بشرط أن ل > ٠ عندما ن عدد زوجي

أين نحسب النهاية من الجهتين؟

قاعدتا القوة والجذر في المثال التالي.

• نقاط طرفية، وفي هذه الحالة تكون النهاية موجودة من جهة واحدة.
• نقاط تحول: وهي النقاط التي تتغير قاعدة الاقتران في جوارها، وفي هذه الحالة نجد النهاية من اليمين ومن اليسار.
• ليست نقاط تحول، وهي النقاط التي لا تتغير قاعدة الاقتران في جوارها، وفي هذه الحالة نبحث في النهاية في جوار النقطة.

إذا كان ق(س) = [-$\frac{١}{٢}$ س + ٢] ، س ∈ [-٢ ، ٤] ، أجد:

$\lim_{س \to ٢}$ ق(س) $\lim_{س \to -١}$ ق(س) $\lim_{س \to ٤}$ ق(س)

نهايتا الجيب وجيب التمام

أجد قيمة ما يأتي:

$\lim_{س \to ٠}$ (٥جتاس + ٢جا٢س) $\lim_{س \to \pi}$ (جا^٢^ س - جتا٤س)

هل العبارة السابقة صائبة دائماً؟

نتدرب على النظريات

إذا كانت $\lim_{س \to ١}$ ق(س) = -٢ ، $\lim_{س \to ١}$ هـ(س) = ١ أجد قيمة ما يأتي: أ) $\lim_{س \to ١}$ $\frac{س ق(س)}{٢هـ(س)}$

• ب. $\lim_{س \to ١}$ (ق(س) + ٢س)^٥^

• جـ. $\lim_{س \to ١}$ $\sqrt{٣ق(س) + ١٠}$

إذا كان ق(س) = [$\frac{١}{٣}$ س + ١] أجد ما يأتي: أ) $\lim_{س \to -٢}$ ق(س)

• ب. $\lim_{س \to ٣}$ (ق(س) + ٢س)

إذا كان ق(س) = أس^٢^ + ٣س - ٢أ ، $\lim_{س \to ٢}$ ق(س) = ١٠ ، أجد $\lim_{س \to ١}$ (ق(س) + ٣).

إذا كان ق(س) = { أس^٢^ + ٢س + ٣ ، س ≤ ٢ ؛ ٢س + ١٠أ ، س > ٢ } أجد قيمة أ علماً بأن $\lim_{س \to ٢}$ ق(س) موجودة.