النهايات والصورة غير المعينة

ماذا لو كان الجواب صفراً على صفر؟

فالأول أجاب عن جميع الأسئلة، وهذا يعني أن نسبة إجابته الصحيحة ١٠٠٪ بينما أجاب الثاني عن نصف الأسئلة، وهذا يعني أن نسبته ٥٠٪، أما الثالث فلم يستطع الإجابة عن أي سؤال، أي أن نسبته ٠٪ . لكن ماذا عن الطالب الرابع، هل نستطيع الحكم على مستواه؟

• عدد حقيقي، فيكون هذا العدد هو قيمة النهاية المطلوبة.
• $\frac{أ}{٠}$ ، أ ≠ ٠ ولن نتطرق لهذا النوع من النهايات في هذه الحالة.
• $\frac{٠}{٠}$ ، كمية غير معينة، و نبحث عن قيمة النهاية في هذه الحالة.
• الطريقة: نبسّط الاقتران بالتحليل إلى العوامل أو الضرب بالمرافق أو توحيد المقامات، ثم نجد النهاية.

التحليل إلى العوامل: نختصر ما يصنع الصفر

أجد:

$\lim_{س \to ٣} \frac{س^{٢} - ٣س}{س - ٣}$ $\lim_{س \to ١} \frac{س^{٢} + س - ٢}{١ - س}$ $\lim_{س \to ٢} \frac{س^{٣} - ٨}{٢س^{٢} - ٨}$ $\lim_{س \to ٣} \frac{س^{٤} - ٨١}{س - ٣}$

$\lim_{س \to أ} \frac{س^{ن} - أ^{ن}}{س - أ}$ = ن أ^ن-١^

نطبّق القاعدة ونبحث عن الثوابت

1. نعوّض في المقام: نعوّض قيمة النهاية في المقام فنجده صفراً.
2. نجعل البسط صفراً: لأن النهاية موجودة، يجب أن يصير البسط صفراً بعد التعويض.
3. نحلّ المعادلة: نحل المعادلة الناتجة لنجد الثابت المجهول.

الضرب بالمرافق: نتخلص من الجذر

أجد قيمة $\lim_{س \to ١} \frac{\sqrt{٢س + ٢} - ٢}{س - ١}$

توحيد المقامات: نجمع الكسور

أجد قيمة ما يأتي:

$\lim_{س \to ٠}$ ($\frac{١}{س}$) ($\frac{١}{(س + ١)^{٢}}$ - ١) $\lim_{س \to ٥}$ ($\frac{١}{س}$ - $\frac{١}{٥}$) ($\frac{١}{س^{٢} - ٢٥}$)

نتدرب: نختار الطريقة المناسبة

أجد كلاً من النهايات الآتية، وأتحقق باستخدام برنامج ⁦Microsoft Mathematics⁩ : أ) $\lim_{س \to -٢} \frac{س^{٢} + ٢س}{س^{٢} - ٤}$

• ب. $\lim_{س \to ٥} \frac{س^{٢} - ٧س + ١٠}{س - ٥}$

• جـ. $\lim_{س \to ٣} \frac{س^{٣} - ٥س^{٢} + ٦س}{س - ٣}$

• د. $\lim_{س \to \sqrt{٢}} \frac{س^{٨} - ١٦}{س^{٤} - ٤}$

• هـ. $\lim_{س \to ٥} \frac{\sqrt{٢س + ٦} - ٤}{٢س - ١٠}$

إذا كان ق(س) = { $\frac{س^{٢} + ٢س - ٨}{س - ٢}$ ، س < ٢ ؛ $\frac{أس^{٢} + س - ٤}{س^{٢} + ١}$ ، س > ٢ } أجد قيمة أ التي تجعل $\lim_{س \to ٢}$ ق(س) موجودة.

إذا كانت $\lim_{س \to ٢} \frac{أس^{٢} - ب س - ٦}{س - ٢}$ = ٥ ، أجد قيم أ ، ب.