جمع المصفوفات وطرحها

نبدأ بجدول نقاط: كيف نجمع سباقين؟

ضمن النشاطات الرياضية السنوية لمدرسة عكا الثانوية للبنين، جرى على ملاعب المدرسة سباق لمسافات ١٠٠م ، ٢٠٠م ، ٥٠٠م وكانت النقاط التي حصل عليها أعلى ٣ طلاب كما في الجدول الآتي:

• المصفوفة التي تمثل نقاط سباق (١٠٠م) هي

• المصفوفة التي تمثل مجموع نقاط سباق (١٠٠م) ، (٢٠٠م) تساوي

$\begin{bmatrix} ٨ + ٦ \\ ١١ + ٣ \\ ٦ + ٥ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} ١٤ \\ ١٤ \\ ١١ \end{bmatrix}$

ما المصفوفة التي تمثل نقاط علي؟

ما المصفوفة التي تمثل نقاط صلاح؟

ما المصفوفة التي تمثل نقاط محمد؟

ما المصفوفة التي تمثل نقاط سباق (٢٠٠م)؟

ما مصفوفة الفرق بين نقاط (١٠٠م) ، (٥٠٠م)؟

الجمع والطرح: الرتبة نفسها والمدخلات المتناظرة

1. اجمع أولاً.: اجمع المدخلات المتناظرة في المصفوفتين لتحصل على مصفوفة واحدة.
2. ساوِ المدخلات.: ساوِ كل مدخلة بالمدخلة التي في موضعها من المصفوفة الأخرى.
3. حلّ المعادلات.: أوجد قيمة كل مجهول من معادلته.

متى تجمع المصفوفتان أ ، ب أو تطرحان؟

ما رتبة مصفوفة الناتج؟

ضرب مصفوفة بعدد: كل مدخلة تُضرب في العدد

1. اضرب أولاً.: اضرب كل مدخلة من كل مصفوفة بالعدد الذي أمامها.
2. اجمع أو اطرح.: اجمع أو اطرح المدخلات المتناظرة للمصفوفات الناتجة.
3. راجع الرتبة.: مصفوفة الناتج من الرتبة نفسها التي للمصفوفات المجموعة.

المعكوس الجمعي: ما الذي يجمع مع أ فيعطي الصفر؟

1. افرض المجهولة.: اكتب مصفوفة مجهولة المدخلات من الرتبة المطلوبة.
2. ساوِ بالصفر.: اجعل مجموع كل مدخلتين متناظرتين يساوي صفراً.
3. حلّ المعادلات.: أوجد قيمة كل مدخلة مجهولة من معادلتها.

ماذا تسمى المصفوفة $-أ$؟

ما قيمة: المصفوفة + المعكوس الجمعي لها؟

قوانين الجمع وحلّ المعادلة المصفوفية

• اذا كانت أ ، ب ، جـ مصفوفات من نفس الرتبة ، ك ∈ ح:
• الخاصية التبديلية: $أ + ب = ب + أ$
• الخاصية التجميعية: $(أ + ب) + جـ = أ + (ب + جـ)$
• المصفوفة الصفرية: $أ + و = و + أ = أ$
• المعكوس الجمعي: $أ + (-أ) = (-أ) + أ = و$
• ضرب عدد في مجموع مصفوفتين: $ك (أ + ب) = ك أ + ك ب$

ما اسم الخاصية: $أ + ب = ب + أ$؟

ما اسم الخاصية: $أ + (-أ) = (-أ) + أ = و$؟

ما اسم الخاصية: $ك (أ + ب) = ك أ + ك ب$؟

تمارين: جمع المصفوفات وطرحها وضربها بعدد

تحتوي مكتبة جامعة الخليل على ٢٠٠٠ كتاب علمي، ٢٥٠٠ كتاب تاريخي، ٤٠٠٠ كتاب أدبي، وتحتوي مكتبة جامعة بيت لحم على ٥٠٠٠ كتاب علمي، ٥٥٠٠ كتاب تاريخي، ٦٥٠٠ كتاب أدبي، وتحتوي مكتبة جامعة النجاح الوطنية على ٣٥٠٠ كتاب علمي، ٤٥٠٠ كتاب تاريخي، ٥٠٠٠ كتاب أدبي.

• أ. أرتب أعداد الكتب في كل مكتبة في مصفوفات، وأرمز لها بالرموز أ ، ب ، جـ على الترتيب؟

• ب. أجد العدد الكلي للكتب من كل نوع في المكتبات الثلاث، وأضعها في مصفوفة؟

• جـ. كم يزيد عدد الكتب من كل نوع في ب على عدد الكتب التي في أ ؟ أرتب ذلك في مصفوفة؟

أجد ناتج ما يأتي:

1. $\begin{bmatrix} -٢ & -١ \\ ٣ & -٢ \\ -٥ & -١ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} ٠ & ٠ \\ ٠ & ٠ \\ ٠ & ٠ \end{bmatrix}$

2. $\begin{bmatrix} ٥ & ٤ & ٣ \\ ١ & -٢ & ٦ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} ١ & ١ & ١ \\ ١ & ١ & ١ \end{bmatrix}$

إذا كانت $أ = \begin{bmatrix} ١ & ٠ \\ -٢ & ٣ \\ -١ & ٤ \end{bmatrix}$ $ب = \begin{bmatrix} ٣ & ٥ \\ ١ & -٣ \\ ٠ & ٢ \end{bmatrix}$ $جـ = \begin{bmatrix} -٢ & ٤ \\ ٠ & ٥ \\ ٢ & ٣ \end{bmatrix}$ ١) $(أ + ب) - ٢جـ$ ٢) $(أ + ب) + جـ$ ٣) $أ + (ب + جـ)$ ٤) $٢(أ + جـ)$ ٥) $(ب + جـ)$ ٦) $(جـ + ب)$

أحل المعادلات المصفوفية الآتية:

1. $\begin{bmatrix} ٨ & س + ص \\ ٠ & ٧ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٨ & ٤ \\ س - ٣ص & ٧ \end{bmatrix}$

2. $\begin{bmatrix} س \\ ١ \\ ٤ \end{bmatrix} + ٣\begin{bmatrix} ٥ \\ ٢ص \\ -١ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ١١ \\ ١٣ \\ ١ \end{bmatrix}$