القيم القصوى

القيم القصوى: أعلى القمم وأدنى القيعان

ففي شهر نيسان يجمع الصيادون أكبر كمية ممكنة من سمك السردين، وتقل كمية هذا النوع من السمك في شهر أيلول، حيث تكون الكمية قليلة جداً، وتتفاوت الكمية في باقي أشهر السنة.

• قيمة عظمى محلية: قيمة الاقتران عند $س = س_{١}$ أكبر من قيمته عند جميع قيم س المجاورة لـ $س_{١}$ ، فهي $ق(س_{١})$.
• قيمة صغرى محلية: قيمة الاقتران عند $س = س_{٢}$ أصغر من قيمته عند جميع قيم س المجاورة لـ $س_{٢}$ ، فهي $ق(س_{٢})$.

أحاول مع زميلي رسم منحنى تقريبي يبين كميات السمك التي تجمع في أشهر السنة.

متى تكون القيمة عظمى أو صغرى محلية؟

• إذا كان $ص = ق(س)$ اقتراناً وكانت $س = جـ$ في مجال الاقتران، فإنه يقال أن $ق(جـ)$:

كيف تكشف إشارة المشتقة القمة والقاع؟

إن التمثيل البياني لأي اقتران على مجاله يساعد في تحديد نقط القيم القصوى المحلية للاقتران، ولكن: كيف تساعدنا المشتقة الأولى لهذا الاقتران في تعيين القيم القصوى المحلية له؟

• قيمة عظمى محلية عند جـ: $ق'(جـ) = $ صفر ، وتتغير إشارة $ق'(س)$ من موجبة لقيم $س < جـ$ إلى سالبة لقيم $س > جـ$.
• قيمة صغرى محلية عند جـ: $ق'(جـ) = $ صفر ، وتتغير إشارة $ق'(س)$ من سالبة لقيم $س < جـ$ إلى موجبة لقيم $س > جـ$.
• لا قيمة قصوى: $ق'(جـ) = $ صفر ، لكن إشارة $ق'(س)$ موجبة لقيم $س < جـ$ وموجبة لقيم $س > جـ$.
• $ق(جـ)$ ليست قيمة قصوى محلية للاقتران.

فماذا نستنتج من تغيّر إشارة المشتقة حول النقطة؟

اختبار المشتقة الأولى: متى نجزم بقمة أو قاع؟

1. نشتق: نجد المشتقة الأولى للاقتران.
2. نساوي بالصفر: نجعل المشتقة تساوي صفراً ونحل المعادلة لإيجاد قيم س.
3. ندرس الإشارة: نرسم جدول إشارة المشتقة حول كل قيمة ونلاحظ هل تتغير.
4. نحكم: موجبة ثم سالبة: عظمى. سالبة ثم موجبة: صغرى. بلا تغيّر: لا قيمة قصوى.

مثال: قيمة عظمى وقيمة صغرى لاقتران واحد

مثال: اقتران له قيمة صغرى فقط

وماذا لو أعطت المشتقة قيمة واحدة فقط لـ س؟

أصفار المشتقة: قمة وقاع معاً

وماذا لو أعطت المشتقة قيمتين مختلفتين لـ س؟

مثال: المشتقة صفر ولا قيمة قصوى

وهل يكفي أن تساوي المشتقة صفراً لنجزم بوجود قيمة قصوى؟

أطبّق: أجد القيم القصوى بنفسي

س١: أعيّن القيمة/القيم القصوى إن وجدت لكل من الاقترانات الآتية:

• أ. $ق(س) = ٤س - ٢س^{٢}$ ، $س \in$ ح

• ب. $ق(س) = س(س^{٢} - ١٢)$ ، $س \in$ ح

• ج. $ق(س) = س^{٣} - ٣س + ٢$ ، $س \in$ ح

• د. $ق(س) = -س^{٢} + ١٠س + ٥$ ، $س \in$ ح

س٢: أعيّن القيم القصوى المحلية للاقتران $ق(س) = س^{٢} - ٢س + ١$ ، $س \in$ ح

س٣: إذا كان للاقتران $ق(س) = -س^{٢} + ب س - ٣$ ، $س \in$ ح قيمة عظمى محلية عند $س = -٢$ فما قيمة ب؟

س٤: إذا كان $ق(س) = س^{٣} - ٥$ ، $س \in$ ح ، أبيّن أنه لا توجد للاقتران $ق(س)$ أي قيم قصوى.

س٥: الشكل الآتي يبين إشارة $ق'(س)$ ، أجد قيم س التي عندها قيم قصوى للاقتران $ق(س)$ وأبيّن نوعها ، علماً بأن $ق(س)$ كثير حدود معرّف على ح.

تمارين عامة: أراجع ما تعلمته في الوحدة

إذا كان متوسط تغير الاقتران $ق(س)$ في الفترة $[-٤ ، ٢]$ يساوي ٣ ، $ق(-٤) = ٢$ ما قيمة $ق(٢)$؟

• أ. ٢٠

• ب. ٢٦

• ج. ١٦

• د. ١٨

ما ميل المستقيم القاطع لمنحنى الاقتران $ق(س)$ المارّ في النقطتين أ $(١ ، ٣)$ ، ب $(٣ ، ٩)$؟

• أ. -٣

• ب. ٣

• ج. ٢

• د. ٦

ما ميل المماس لمنحنى الاقتران $ق(س) = \frac{٥}{س^{٢} - ١}$ عند $س = ٢$ ؟

• أ. $\frac{٤}{٩}$

• ب. $-\frac{٢٠}{٩}$

• ج. ١٥

• د. $\frac{٥}{٣}$

إذا كانت $ص = (س - ١)^{٥}$ ما قيمة $\frac{دص}{دس}$ عندما $س = -١$ ؟

• أ. ٥

• ب. ٢٥

• ج. صفر

• د. ٨٠

إذا كانت $ص = (١ - ٢س)^{٢}$ ما قيمة $\frac{د^{٢}ص}{دس^{٢}}$ عندما $س = ٣$ ؟

• أ. -٢٠

• ب. ٨

• ج. -٨

• د. ٢٠

س٢: إذا كان متوسط تغير الاقتران $ق(س)$ عندما تتغير س من $س_{١} = ٢$ إلى $س_{٢} = ٥$ هو ١٠ ، أجد $ق(٥)$ علماً بأن $ق(٢) = ٦$ ؟

س٣: إذا كان متوسط التغير للاقتران $ق(س) = س^{٢} + ٣$ عندما تتغير س من ٢ إلى أ يساوي ٦ فما قيمة الثابت أ ؟

س٤: إذا كان $ق(س) = س^{٢} + ١$ ، أجد $ق'(٣)$ باستخدام تعريف المشتقة عند نقطة.

س٥: إذا كان $ق(س) = (س^{٢} + ٢)(٣س + ٤)$ أجد $\lim_{هـ \to ٠} \frac{ق(٢ + هـ) - ق(٢)}{هـ}$

س٦: إذا كان $م(س) = س^{٢} × ق(س)$ أجد $م'(٣)$ علماً بأن $ق'(٣) = ٥$ ، $ق(٣) = -٢$

س٧: أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى $ق(س) = س^{٣} + ٥س^{٢} - ٣$ عند النقطة التي إحداثيها السيني = ١

س٨: أجد قيمة الثابت أ التي تجعل ميل المماس لمنحنى الاقتران $ص = أس^{٢} + ٣س + ١$ مساوياً ٤ عندما $س = ١$

س٩: أجد القيم القصوى للاقتران $ق(س) = س^{٣} + ٣س^{٢} + ٧$