التكامل غير المحدود

التكامل هو عكس الاشتقاق

هناك عمليتا الجمع والطرح، وعملية إيجاد مربع عدد حقيقي موجب، هي عكس عملية إيجاد الجذر التربيعي لهذا المربع. إن عملية إيجاد الاقتران ق(س) الذي عُلِمت مشتقته الأولى ق'(س) هي عملية عكسية لعملية الاشتقاق التي تعلمتها في الوحدة السابقة.

• الفرق بين أي اقترانين لهما نفس المشتقة هو عدد ثابت.
• الاقتران الذي مشتقته $٤س^{٣}$ يكون على الصورة $ق(س) = س^{٤} + جـ$ .
• التكامل عملية عكسية للتفاضل.

ما التكامل غير المحدود؟

وبالرموز يكتب: $\int ق'(س) \, دس = ق(س) + جـ$ ، $جـ ∈ ح$

وماذا لو كان الاقتران حدًّا من الدرجة الثانية؟

أيّ الاقترانين هو الاقتران الأصلي؟

وإذا كتبنا الاقتران على صورة تكامل ثم اشتققناه، فماذا نحصل؟

أتحقق: التكامل غير المحدود

أكمل الجدول الآتي:

1. المشتقة: $٤س^{٣}$

2. الاقتران الأصلي: $س^{٤} + س^{٣} + ٢س + جـ$

3. المشتقة: $٢س + ١$

4. الاقتران الأصلي: $\int (٤س^{٢} + ٣) \, دس$

أضع إشارة ✓ أمام العبارة الصائبة وإشارة ✗ أمام العبارة الخاطئة:

• أ. $\int (٥س + ٤) \, دس = \frac{٥س^{٢}}{٢} + ٤س$

• ب. $\int (٦س^{٥} + ٣س^{٢}) \, دس = س^{٦} + س^{٣} + جـ$

• ج. $\int (٢س^{٣} + ٣س) \, دس = ٦س^{٢} + ٣$

• د. $\int \frac{-٥}{س^{٢}} \, دس = \frac{٥}{س} + جـ$

• هـ. $\int ٢نق \, دس = نق^{٢} + جـ$

• و. $\int ٢نق \, دنق = نق^{٢} + جـ$

إذا كان $ق(س) = \int \frac{س^{٢} + ٣}{س + ١} \, دس$ ، أجد $ق'(س)$.

هل توجد قواعد تسهّل إيجاد الاقتران الأصلي؟

وللعلوم الأخرى في الحياة قوانين وقواعد تسهّل فهم المسائل والمشكلات العملية والعلمية، وتعمل على تحليلها وحلّها.

• الاقتران الأصلي للمشتقة $ق'(س) = ٣س^{٢}$ هو $س^{٣} + جـ$
• الاقتران الأصلي لِـ $٤س^{٣}$ هو $س^{٤} + جـ$
• الاقتران الأصلي لِـ $٣س^{٢}$ هو $س^{٣} + جـ$

تكامل الثابت

وماذا لو تغيّر اسم المتغير، أو كان الثابت جذرًا أو كسرًا؟

• الاقتران بدلالة المتغير نفسه: س أو ص أو ع.

قاعدة القوة: نزيد الأس واحدًا ونقسم عليه

الثابت المضروب يخرج من التكامل

تكامل مجموع اقترانين أو الفرق بينهما

1. $\int (ق + هـ)(س) \, دس = \int ق(س) \, دس + \int هـ(س) \, دس$

2. $\int (ق - هـ)(س) \, دس = \int ق(س) \, دس - \int هـ(س) \, دس$

وماذا لو كان في الاقتران كسر، أو حدّ بأس سالب؟

أكثر من اقترانين

أبسّط قبل أن أكامل، ثم أتحقق بالاشتقاق

1. أفكّ الأقواس أو أحلّل.: أكتب الاقتران على صورة مجموع حدود، وأختصر العوامل المشتركة إن وُجدت.
2. أكامل حدًّا حدًّا.: أطبّق قاعدة القوة على كل حد، وأُخرج المعامل الثابت أمام التكامل.
3. أضيف الثابت.: أكتب ثابت التكامل جـ في نهاية الناتج.

وإذا عرفنا ناتج التكامل، فكيف نتحقق منه بالاشتقاق؟

أتحقق: قواعد التكامل غير المحدود

أجد التكاملات الآتية:

• أ. $\int \frac{٢}{٣} \, دس$

• ب. $\int π \, دع$

• ج. $\int -\sqrt{٥} \, س \, دس$

• د. $\int (٢س^{٢} + ٣) \, دس$

• هـ. $\int (٧س^{٣} - \frac{٢}{س^{٢}} + ١) \, دس$

• و. ك٢ دس ، ك ثابت ٠

أجد (٢ص - ٥)(ص + ٣) دص

أجد ل٢ - ٥ل + ٦ل - ٢ دل ، ل ٢

أجد (٢س + ١)(س٣ + س٢ - ٣س + ٤) دس

إذا كان ق(س) = (٣س٣ + ٥س٢ - ٢س + ٤) دس ، أجد $ق'(س)$.

إذا كانت ص = (٢س + ٢)(س٢ + ٢س)٥ دس ، أجد $\frac{دص}{دس}$.

من ميل المنحنى إلى قاعدة الاقتران

كيف يمكن معرفة قاعدة الاقتران، إذا علم ميل منحنى هذا الاقتران عند أي نقطة؟ كيف يمكن إيجاد قيمة الثابت جـ؟

• إذا مرّ منحنى الاقتران $ق(س)$ بالنقطة $(٠ ، ٣)$ أمكن إيجاد قاعدة الاقتران وصورة أي عنصر فيه.

1. أكامل ميل المماس.: أجد الاقتران مع ثابت التكامل جـ.
2. أعوّض النقطة المعطاة.: أعوّض إحداثيي النقطة في الاقتران لأجد قيمة الثابت.
3. أكتب القاعدة.: أعوّض قيمة الثابت في الاقتران.

وماذا لو أُعطينا المشتقة الثانية بدل المشتقة الأولى؟

أتحقق: تطبيقات هندسية

إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران $ق(س)$ عند أي نقطة عليه يعطى بالعلاقة ق'(س) = ٥ ، أجد قاعدة الاقتران $ق(س)$ علماً بأن منحناه يمر بالنقطة (٢ ، ٣).

إذا كان ق''(س) = -١٢س + ٢ وكان ميل المماس يساوي ٤ عند النقطة $(٠ ، ٣)$ ، أجد قاعدة الاقتران $ق(س)$.