النظير الضربي للمصفوفة المربعة من الرتبة الثانية

أرباح أبو عارف: كيف تنظّم المصفوفة بيانات تجارته؟

يتاجر أبو عارف بالأعلاف. اشترى خلال شهر أيلول 200 كيساً من الأعلاف بسعر 10 دنانير للكيس الواحد، وباع منها 192 كيساً بسعر 13 ديناراً للكيس الواحد.

• المصفوفة أ: تنظم بيانات تجارة أبو عارف خلال شهر أيلول.

أ = $\begin{bmatrix} ٢٠٠ & ١٠ \\ ١٩٢ & ١٣ \end{bmatrix}$

• مجمل سعر البيع المتوقع لو باع جميع الأكياس = ⁦200 × 13 = 2600⁩ دينار.

مجمل سعر التكلفة لما تم بيعه فعلاً من أكياس العلف = ____.

الفرق بين سعر البيع المتوقع وسعر التكلفة لما تم بيعه = ____.

المحدد: عدد واحد تلخّص به المصفوفة

مثال: كيف نحسب المحدد؟

متى تكون المصفوفة منفردة؟

ماذا يحدث للمحدد إذا ضربنا المصفوفة في عدد؟

فهل يتغير المحدد بنفس نسبة تكبير المصفوفة؟

النظير الضربي: المصفوفة التي تلغي أثر أخرى

قانون النظير الضربي: كيف نجده؟

إذا كانت أ = $\begin{bmatrix} ٢ & ٥ \\ ٣ & ١ \end{bmatrix}$، فإن: |أ| = ⁦(2 × 1) - (5 × 3) = 2 - 15 = -13⁩ ومنها: أ⁦-1 = 1/⁩|أ| $\begin{bmatrix} أ22 & -أ12 \\ -أ21 & أ11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} \div -13$ |أ-1| = __، |أ|⁦-1 =⁩ __ ماذا تلاحظ؟

نظام المعادلات يصبح معادلة مصفوفية

9س + 2ص = -7، 3س + 2ص = 12

• أ: مصفوفة المعاملات في النظام.
• جـ: مصفوفة الثوابت في النظام.
• ع: مصفوفة المتغيرات في النظام.
• $\begin{bmatrix} ٩ & ٢ \\ ٣ & ٢ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} س \\ ص \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -٧ \\ ١٢ \end{bmatrix}$

نحلّ النظام بالنظير الضربي

1. نرتّب المعادلات: على الصورة أ × ع = جـ.
2. نجد النظير الضربي: لمصفوفة المعاملات أ.
3. نضرب من اليمين: طرفي المعادلة في النظير الضربي لمصفوفة المعاملات.

إذا كانت $\begin{bmatrix} ٢ & ١ \\ ٢ & ٥ \end{bmatrix} \times س = \begin{bmatrix} -٣ \\ ٢ \end{bmatrix}$ فلإيجاد المصفوفة س:

النظير الضربي للمصفوفة أ يساوي 1/8 $\begin{bmatrix} ٥ & -١ \\ -٢ & ٢ \end{bmatrix}$ $س = 1/8 \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}$ ومنها: س = ______.

تمارين: نطبّق المحدد والنظير الضربي

1. أجد قيمة س التي تحقق 3س - ⁦12 = 5 - 6⁩

2. إذا كان |4ب| = -32، أجد: قيمة |ب| + |3ب|، حيث ب مصفوفة مربعة من الرتبة الثانية.

3. أجد النظير الضربي لكل من المصفوفات الآتية (إن أمكن):

4. أكتب كلاً من الأنظمة الخطية الآتية على صورة معادلات مصفوفية:

• أ. 5س - ص = 2، 3س + 4ص = -5

• ب. ص + ⁦2 =⁩ س - ص، س = 12

5. أحل كلاً من المعادلات المصفوفية الآتية:

$أ) س × \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 26 \\ 39 & -13 \end{bmatrix}$ $ب) 2س × \begin{bmatrix} 5 & -6 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}$

6. أستخدم طريقة النظير الضربي لحل أنظمة المعادلات الآتية:

• أ. 2س - ص = -7، س + 2ص = -1

• ب. 2س - 3ص = 13، ص + ⁦6 =⁩ س