تطبيقات التكامل المحدود

يزرع الحاج أبو رفيق سنوياً بالقمح والشعير، ويبيع المحصول في السوق الفلسطيني، فإذا كان ثمن ٣ أكياس من القمح مع ٥ أكياس من الشعير يساوي ١٤٠ ديناراً، وكان ثمن ٥ أكياس من القمح يزيد عن ثمن ٤ أكياس من الشعير بمقدار ٣٦ ديناراً. حاول أحمد كتابة النظام المكون للمسألة من معادلتين، بفرض أن س تمثل سعر الكيس الواحد من القمح، ص سعر الكيس الواحد من الشعير، فحصل على المعادلتين: (١) ٣س + ٥ص = ١٤٠

وكتب مصفوفة المعاملات أ = $\begin{bmatrix} ٣ & ٥ \\ ٥ & ٤- \end{bmatrix}$ ومصفوفة المتغيرات ك = $\begin{bmatrix} س \\ ص \end{bmatrix}$، ومصفوفة الثوابت ج = $\begin{bmatrix} ١٤٠ \\ ٣٦ \end{bmatrix}$

وتعرفنا في صفوف سابقة على حل أنظمة المعادلات الخطية (عدد المعادلات = عدد المتغيرات، ولها حل وحيد) بطريقتي الحذف والتعويض، وفي هذا الدرس سنبرز أهمية المصفوفات والمحددات في حل هذه الأنظمة، وسنتناول ثلاث طرق: ١) طريقة النظير الضربي ٢) طريقة كريمر ٣) طريقة جاوس

1. يمكننا تمثيل نظام من المعادلات الخطية على شكل معادلة مصفوفة باستخدام ثلاث مصفوفات.
2. تتكون هذه المصفوفات من مصفوفة المعاملات أ، ومصفوفة المتغيرات ك، ومصفوفة الثوابت ج.
3. يمثل نظام المعادلات الخطية الآتي: ٢س + ٣ص = ١٠، -٣س + ٥ص = ٤، مصفوفة المعاملات أ كما يأتي:

1. تمثل مصفوفة المتغيرات ك كما يأتي:

1. تمثل مصفوفة الثوابت ج كما يأتي:

1. يمثل النظام السابق من المعادلات الخطية بـ معادلة مصفوفة كما يأتي:

1. تأخذ هذه المعادلة الصورة أ . ك = ج.
2. تكون ك = أ$^{-١}$ . ج بشرط أن أ مصفوفة غير منفردة.
3. يتساءل النص عن سبب هذا الشرط.

حل النظام: ٢س + ص = ١، ٤س + ص = ١، باستخدام طريقة النظير الضربي.

نكتب المعادلة المصفوفة على النحو: $\begin{bmatrix} ٢ & ١ \\ ٤ & ١ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} س \\ ص \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ١ \\ ١ \end{bmatrix}$

أي أن: س = ١، ص = -٣ $\begin{bmatrix} س \\ ص \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -١/٢ & ١/٢ \\ ٢ & -١ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ١ \\ ١ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ٠ \\ ١ \end{bmatrix}$